Номер 332, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.8. Числовое значение целого выражения. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 332, страница 97.

Условие.

332. Доказываем. Докажите, что:

а) для любого числа x верно неравенство $x^2 - 5 \ge -5$;

б) для любых чисел x и y верно неравенство $x^2 + y^2 - 3 \ge -3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) для любого числа x верно неравенство $x^2 - 5 \ge -5$;

Для доказательства данного неравенства воспользуемся свойством квадрата любого действительного числа. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Это записывается как:

$x^2 \ge 0$

Данное неравенство справедливо для любого значения $x$.

Теперь вычтем из обеих частей этого верного неравенства число 5. При вычитании одинакового числа из обеих частей неравенства его знак не меняется:

$x^2 - 5 \ge 0 - 5$

$x^2 - 5 \ge -5$

Мы получили исходное неравенство, которое, следовательно, верно для любого числа $x$.

Альтернативный способ — это преобразование исходного неравенства:

$x^2 - 5 \ge -5$

Прибавим 5 к обеим частям неравенства:

$x^2 - 5 + 5 \ge -5 + 5$

$x^2 \ge 0$

Последнее неравенство является верным для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Поскольку мы выполнили равносильное преобразование, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство $x^2 - 5 \ge -5$ верно, так как оно эквивалентно очевидно верному для любого $x$ неравенству $x^2 \ge 0$.

б) для любых чисел x и y верно неравенство $x^2 + y^2 - 3 \ge -3$.

Для доказательства воспользуемся тем же свойством, что и в предыдущем пункте. Для любых действительных чисел $x$ и $y$ верны следующие неравенства:

$x^2 \ge 0$

$y^2 \ge 0$

Сумма двух неотрицательных выражений также является неотрицательной. Сложим левые и правые части этих двух неравенств:

$x^2 + y^2 \ge 0 + 0$

$x^2 + y^2 \ge 0$

Это неравенство справедливо для любых значений $x$ и $y$. Теперь вычтем из обеих его частей число 3:

$x^2 + y^2 - 3 \ge 0 - 3$

$x^2 + y^2 - 3 \ge -3$

Таким образом, мы доказали, что исходное неравенство верно для любых чисел $x$ и $y$.

Ответ: Неравенство $x^2 + y^2 - 3 \ge -3$ верно, так как оно сводится к верному для любых $x$ и $y$ неравенству $x^2 + y^2 \ge 0$.