Страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

331. Укажите все значения $a$ и $b$, для которых верно равенство:

а) $a + b = 0$;

б) $a \cdot b = 1$;

в) $a \cdot b = a$;

г) $a \cdot b = -1$.

а)

Равенство $a + b = 0$ верно для чисел, которые в сумме дают ноль. Такие числа называются противоположными. Чтобы найти $b$, выразим его из уравнения:

$b = 0 - a$

$b = -a$

Это означает, что для любого выбранного значения $a$, значение $b$ должно быть ему противоположным. Например, если $a = 5$, то $b = -5$; если $a = -2.3$, то $b = 2.3$; если $a = 0$, то $b = 0$.

Ответ: $a$ и $b$ – любые противоположные числа, то есть $b = -a$.

б)

Равенство $a \cdot b = 1$ верно для чисел, произведение которых равно единице. Такие числа называются взаимно обратными. Чтобы найти $b$, выразим его из уравнения, разделив обе части на $a$:

$b = \frac{1}{a}$

Это равенство имеет смысл только в том случае, если $a \ne 0$, так как деление на ноль невозможно. Следовательно, и $b$ не может быть равно нулю. Таким образом, $a$ и $b$ – это пара любых взаимно обратных чисел. Например, если $a = 2$, то $b = \frac{1}{2}$; если $a = -\frac{3}{4}$, то $b = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $a$ и $b$ – любые взаимно обратные числа ($b = \frac{1}{a}$, где $a \ne 0$).

в)

Рассмотрим равенство $a \cdot b = a$. Перенесем все члены в левую часть:

$a \cdot b - a = 0$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a \cdot (b - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Исходя из этого, рассмотрим два возможных случая:

1. Первый множитель равен нулю: $a = 0$. В этом случае равенство $0 \cdot (b - 1) = 0$ будет верным при любом значении $b$.

2. Второй множитель равен нулю: $b - 1 = 0$, откуда следует, что $b = 1$. В этом случае равенство $a \cdot (1 - 1) = a \cdot 0 = 0$ будет верным при любом значении $a$.

Таким образом, исходное равенство верно в двух независимых случаях.

Ответ: 1) $a=0$, а $b$ – любое число; 2) $b=1$, а $a$ – любое число.

г)

Рассмотрим равенство $a \cdot b = -1$. Чтобы найти $b$, выразим его из уравнения, разделив обе части на $a$:

$b = \frac{-1}{a}$ или $b = -\frac{1}{a}$

Это равенство, как и в пункте б), имеет смысл только если $a \ne 0$. Значит, $a$ может быть любым числом, кроме нуля, а $b$ должно быть числом, обратным к $a$ и взятым с противоположным знаком. Например, если $a = 10$, то $b = -\frac{1}{10}$; если $a = -2$, то $b = \frac{1}{2}$.

Ответ: $a$ – любое число, кроме 0, а $b = -\frac{1}{a}$.

332. Доказываем. Докажите, что:

а) для любого числа x верно неравенство $x^2 - 5 \ge -5$;

б) для любых чисел x и y верно неравенство $x^2 + y^2 - 3 \ge -3$.

а) для любого числа x верно неравенство $x^2 - 5 \ge -5$;

Для доказательства данного неравенства воспользуемся свойством квадрата любого действительного числа. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Это записывается как:

$x^2 \ge 0$

Данное неравенство справедливо для любого значения $x$.

Теперь вычтем из обеих частей этого верного неравенства число 5. При вычитании одинакового числа из обеих частей неравенства его знак не меняется:

$x^2 - 5 \ge 0 - 5$

$x^2 - 5 \ge -5$

Мы получили исходное неравенство, которое, следовательно, верно для любого числа $x$.

Альтернативный способ — это преобразование исходного неравенства:

$x^2 - 5 \ge -5$

Прибавим 5 к обеим частям неравенства:

$x^2 - 5 + 5 \ge -5 + 5$

$x^2 \ge 0$

Последнее неравенство является верным для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Поскольку мы выполнили равносильное преобразование, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство $x^2 - 5 \ge -5$ верно, так как оно эквивалентно очевидно верному для любого $x$ неравенству $x^2 \ge 0$.

б) для любых чисел x и y верно неравенство $x^2 + y^2 - 3 \ge -3$.

Для доказательства воспользуемся тем же свойством, что и в предыдущем пункте. Для любых действительных чисел $x$ и $y$ верны следующие неравенства:

$x^2 \ge 0$

$y^2 \ge 0$

Сумма двух неотрицательных выражений также является неотрицательной. Сложим левые и правые части этих двух неравенств:

$x^2 + y^2 \ge 0 + 0$

$x^2 + y^2 \ge 0$

Это неравенство справедливо для любых значений $x$ и $y$. Теперь вычтем из обеих его частей число 3:

$x^2 + y^2 - 3 \ge 0 - 3$

$x^2 + y^2 - 3 \ge -3$

Таким образом, мы доказали, что исходное неравенство верно для любых чисел $x$ и $y$.

Ответ: Неравенство $x^2 + y^2 - 3 \ge -3$ верно, так как оно сводится к верному для любых $x$ и $y$ неравенству $x^2 + y^2 \ge 0$.