Страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

295. а) $(5m + 7n)(2n + 4m)$;

б) $(12a + b)(3a + 5b);

в) $(2x - 3y)(2x + 3y);

г) $(5m - 2n)(3n - 5m);

д) $(-a - b)(2a - 3b);

е) $(-7x - 4y)(-5x + 7y);

ж) $(a^2 + b^2)(a^2 + b^2);

з) $(mn^3 - m^2)(m - 1);

и) $(2x^2 - y^2)(y^2 + 2x^3);

к) $(xy^2 + 3a^2)(3xy + a^3).

а) Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить. Сначала раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые.

$(5m + 7n)(2n + 4m) = 5m \cdot 2n + 5m \cdot 4m + 7n \cdot 2n + 7n \cdot 4m = 10mn + 20m^2 + 14n^2 + 28mn$.

Приведем подобные слагаемые (члены с $mn$):

$20m^2 + (10mn + 28mn) + 14n^2 = 20m^2 + 38mn + 14n^2$.

Ответ: $20m^2 + 38mn + 14n^2$

б) Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(12a + b)(3a + 5b) = 12a \cdot 3a + 12a \cdot 5b + b \cdot 3a + b \cdot 5b = 36a^2 + 60ab + 3ab + 5b^2$.

Приведем подобные слагаемые (члены с $ab$):

$36a^2 + (60ab + 3ab) + 5b^2 = 36a^2 + 63ab + 5b^2$.

Ответ: $36a^2 + 63ab + 5b^2$

в) Данное выражение является произведением разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

В нашем случае $A = 2x$ и $B = 3y$.

$(2x - 3y)(2x + 3y) = (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2$.

Ответ: $4x^2 - 9y^2$

г) Раскроем скобки, умножая каждый член на каждый:

$(5m - 2n)(3n - 5m) = 5m \cdot 3n + 5m \cdot (-5m) - 2n \cdot 3n - 2n \cdot (-5m) = 15mn - 25m^2 - 6n^2 + 10mn$.

Приведем подобные слагаемые и упорядочим члены многочлена:

$-25m^2 + (15mn + 10mn) - 6n^2 = -25m^2 + 25mn - 6n^2$.

Ответ: $-25m^2 + 25mn - 6n^2$

д) Раскроем скобки:

$(-a - b)(2a - 3b) = (-a) \cdot 2a + (-a) \cdot (-3b) + (-b) \cdot 2a + (-b) \cdot (-3b) = -2a^2 + 3ab - 2ab + 3b^2$.

Приведем подобные слагаемые (члены с $ab$):

$-2a^2 + (3ab - 2ab) + 3b^2 = -2a^2 + ab + 3b^2$.

Ответ: $-2a^2 + ab + 3b^2$

е) Раскроем скобки:

$(-7x - 4y)(-5x + 7y) = (-7x) \cdot (-5x) + (-7x) \cdot 7y + (-4y) \cdot (-5x) + (-4y) \cdot 7y = 35x^2 - 49xy + 20xy - 28y^2$.

Приведем подобные слагаемые (члены с $xy$):

$35x^2 + (-49xy + 20xy) - 28y^2 = 35x^2 - 29xy - 28y^2$.

Ответ: $35x^2 - 29xy - 28y^2$

ж) Это выражение является квадратом суммы: $(a^2 + b^2)^2$. Воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В данном случае $A = a^2$ и $B = b^2$.

$(a^2 + b^2)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$.

Ответ: $a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

з) Раскроем скобки:

$(mn^3 - m^2)(m - 1) = mn^3 \cdot m + mn^3 \cdot (-1) - m^2 \cdot m - m^2 \cdot (-1) = m^2n^3 - mn^3 - m^3 + m^2$.

В полученном выражении нет подобных слагаемых. Для стандартного вида упорядочим члены многочлена по убыванию степеней переменной $m$:

$-m^3 + m^2n^3 + m^2 - mn^3$.

Ответ: $-m^3 + m^2n^3 + m^2 - mn^3$

и) Раскроем скобки:

$(2x^2 - y^2)(y^2 + 2x^3) = 2x^2 \cdot y^2 + 2x^2 \cdot 2x^3 - y^2 \cdot y^2 - y^2 \cdot 2x^3 = 2x^2y^2 + 4x^5 - y^4 - 2x^3y^2$.

Подобных слагаемых нет. Упорядочим члены многочлена по убыванию степеней переменной $x$:

$4x^5 - 2x^3y^2 + 2x^2y^2 - y^4$.

Ответ: $4x^5 - 2x^3y^2 + 2x^2y^2 - y^4$

к) Раскроем скобки:

$(xy^2 + 3a^2)(3xy + a^3) = xy^2 \cdot 3xy + xy^2 \cdot a^3 + 3a^2 \cdot 3xy + 3a^2 \cdot a^3 = 3x^2y^3 + a^3xy^2 + 9a^2xy + 3a^5$.

Подобных слагаемых нет. Упорядочим члены многочлена по убыванию степеней переменной $a$:

$3a^5 + a^3xy^2 + 9a^2xy + 3x^2y^3$.

Ответ: $3a^5 + a^3xy^2 + 9a^2xy + 3x^2y^3$

Преобразуйте произведение многочленов в многочлен стандартного вида (296—300):

296. a) $(a + 1)(a + 1)(a + 1);$

б) $(x - 1)(x - 1)(x - 1);$

в) $(a + b)(a - b)(a + b);$

г) $(m - n)(m - n)(m + n);$

д) $(a + b + c)(a + 1);$

е) $(a - b - c)(a - 1);$

ж) $(x + 1)(x^2 - x + 1);$

з) $(x - 1)(x^2 + x + 1);$

и) $(x^3 + 2x - 3)(2 - 3x);$

к) $(5m^2 - 3mn + n^2)(2n - m^2);$

л) $(a + b + c)(a + b - c);$

м) $(a - b + c)(a - b - c).$

а) $(a + 1)(a + 1)(a + 1)$
Данное выражение можно записать в виде степени: $(a + 1)^3$.
Воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
В данном случае $x=a$ и $y=1$.
$(a+1)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 + 1^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1$.
Ответ: $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$.

б) $(x - 1)(x - 1)(x - 1)$
Данное выражение можно записать в виде степени: $(x - 1)^3$.
Воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В данном случае $x=x$ и $y=1$.
$(x-1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.
Ответ: $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

в) $(a + b)(a - b)(a + b)$
Сгруппируем множители для удобства: $((a + b)(a - b))(a + b)$.
Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ к первым двум множителям:
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
Теперь умножим результат на оставшийся множитель $(a + b)$:
$(a^2 - b^2)(a + b) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot b - b^2 \cdot a - b^2 \cdot b = a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$.
Приведем многочлен к стандартному виду: $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$.
Ответ: $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$.

г) $(m - n)(m - n)(m + n)$
Сгруппируем множители: $(m - n)((m - n)(m + n))$. Удобнее перемножить второй и третий множители, используя формулу разности квадратов.
$(m - n)(m + n) = m^2 - n^2$.
Теперь умножим результат на первый множитель $(m - n)$:
$(m - n)(m^2 - n^2) = m \cdot m^2 + m \cdot (-n^2) - n \cdot m^2 - n \cdot (-n^2) = m^3 - mn^2 - m^2n + n^3$.
Приведем многочлен к стандартному виду, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $m$: $m^3 - m^2n - mn^2 + n^3$.
Ответ: $m^3 - m^2n - mn^2 + n^3$.

д) $(a + b + c)(a + 1)$
Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена:
$(a + b + c)(a + 1) = a(a + b + c) + 1(a + b + c) = a^2 + ab + ac + a + b + c$.
Подобных членов нет, многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $a^2 + ab + ac + a + b + c$.

е) $(a - b - c)(a - 1)$
Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена:
$(a - b - c)(a - 1) = a(a - b - c) - 1(a - b - c) = a^2 - ab - ac - (a - b - c) = a^2 - ab - ac - a + b + c$.
Подобных членов нет, многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $a^2 - ab - ac - a + b + c$.

ж) $(x + 1)(x^2 - x + 1)$
Это выражение является формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.
Здесь $a=x$ и $b=1$.
$(x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.
Ответ: $x^3 + 1$.

з) $(x - 1)(x^2 + x + 1)$
Это выражение является формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
Здесь $a=x$ и $b=1$.
$(x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.
Ответ: $x^3 - 1$.

и) $(x^3 + 2x - 3)(2 - 3x)$
Выполним умножение многочленов:
$x^3(2 - 3x) + 2x(2 - 3x) - 3(2 - 3x) = (2x^3 - 3x^4) + (4x - 6x^2) - (6 - 9x)$
$= 2x^3 - 3x^4 + 4x - 6x^2 - 6 + 9x$.
Приведем подобные члены и запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней $x$):
$-3x^4 + 2x^3 - 6x^2 + (4x + 9x) - 6 = -3x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 13x - 6$.
Ответ: $-3x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 13x - 6$.

к) $(5m^2 - 3mn + n^2)(2n - m^2)$
Выполним умножение многочленов:
$5m^2(2n - m^2) - 3mn(2n - m^2) + n^2(2n - m^2)$
$= (10m^2n - 5m^4) - (6mn^2 - 3m^3n) + (2n^3 - m^2n^2)$
$= 10m^2n - 5m^4 - 6mn^2 + 3m^3n + 2n^3 - m^2n^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $m$:
$-5m^4 + 3m^3n - m^2n^2 + 10m^2n - 6mn^2 + 2n^3$.
Ответ: $-5m^4 + 3m^3n - m^2n^2 + 10m^2n - 6mn^2 + 2n^3$.

л) $(a + b + c)(a + b - c)$
Сгруппируем члены в скобках, чтобы использовать формулу разности квадратов: $((a + b) + c)((a + b) - c)$.
Применим формулу $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x = (a+b)$ и $y = c$:
$((a+b) + c)((a+b) - c) = (a+b)^2 - c^2$.
Теперь раскроем квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В результате получаем: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$.
Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$.

м) $(a - b + c)(a - b - c)$
Сгруппируем члены в скобках: $((a - b) + c)((a - b) - c)$.
Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x = (a-b)$ и $y = c$:
$((a-b) + c)((a-b) - c) = (a-b)^2 - c^2$.
Теперь раскроем квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В результате получаем: $a^2 - 2ab + b^2 - c^2$.
Ответ: $a^2 - 2ab + b^2 - c^2$.

297. а) $-(a + b)(a + b);$

б) $-(x - y)(x + y);$

в) $-(x - y)(x - y);$

г) $-(2m - n)(n - 3m);$

д) $-(5a - 2b)(3b + 2a);$

е) $-7(x + 8y)(y - 3x).$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $-(a + b)(a + b)$, сначала выполним умножение скобок. Произведение $(a + b)(a + b)$ равно квадрату суммы $(a + b)^2$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Теперь подставим полученное выражение обратно и применим знак минус:

$-(a^2 + 2ab + b^2) = -a^2 - 2ab - b^2$.

Ответ: $-a^2 - 2ab - b^2$

б) Чтобы раскрыть скобки в выражении $-(x - y)(x + y)$, сначала рассмотрим произведение $(x - y)(x + y)$. Это формула разности квадратов.

По формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Теперь применим знак минус к результату:

$-(x^2 - y^2) = -x^2 + y^2$. Для удобства можно записать как $y^2 - x^2$.

Ответ: $y^2 - x^2$

в) Чтобы раскрыть скобки в выражении $-(x - y)(x - y)$, сначала выполним умножение скобок. Произведение $(x - y)(x - y)$ равно квадрату разности $(x - y)^2$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Теперь подставим полученное выражение обратно и применим знак минус:

$-(x^2 - 2xy + y^2) = -x^2 + 2xy - y^2$.

Ответ: $-x^2 + 2xy - y^2$

г) Для преобразования выражения $-(2m - n)(n - 3m)$, сначала перемножим многочлены в скобках:

$(2m - n)(n - 3m) = 2m \cdot n + 2m \cdot (-3m) - n \cdot n - n \cdot (-3m) = 2mn - 6m^2 - n^2 + 3mn$.

Приведем подобные слагаемые: $2mn + 3mn - 6m^2 - n^2 = 5mn - 6m^2 - n^2$.

Теперь применим знак минус к полученному многочлену:

$-(5mn - 6m^2 - n^2) = -5mn + 6m^2 + n^2$.

Запишем результат в стандартном виде: $6m^2 - 5mn + n^2$.

Ответ: $6m^2 - 5mn + n^2$

д) Для преобразования выражения $-(5a - 2b)(3b + 2a)$, сначала перемножим многочлены в скобках:

$(5a - 2b)(3b + 2a) = 5a \cdot 3b + 5a \cdot 2a - 2b \cdot 3b - 2b \cdot 2a = 15ab + 10a^2 - 6b^2 - 4ab$.

Приведем подобные слагаемые: $10a^2 + (15ab - 4ab) - 6b^2 = 10a^2 + 11ab - 6b^2$.

Теперь применим знак минус к результату:

$-(10a^2 + 11ab - 6b^2) = -10a^2 - 11ab + 6b^2$.

Ответ: $-10a^2 - 11ab + 6b^2$

е) Для преобразования выражения $-7(x + 8y)(y - 3x)$, сначала перемножим многочлены в скобках:

$(x + 8y)(y - 3x) = x \cdot y + x \cdot (-3x) + 8y \cdot y + 8y \cdot (-3x) = xy - 3x^2 + 8y^2 - 24xy$.

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их: $-3x^2 + (xy - 24xy) + 8y^2 = -3x^2 - 23xy + 8y^2$.

Теперь умножим полученный многочлен на -7:

$-7(-3x^2 - 23xy + 8y^2) = (-7) \cdot (-3x^2) + (-7) \cdot (-23xy) + (-7) \cdot (8y^2) = 21x^2 + 161xy - 56y^2$.

Ответ: $21x^2 + 161xy - 56y^2$

298. a) $(8x - 3)(4x + 5);$

B) $(4a - 3) \cdot 2a - 3;$

б) $8x - 3 \cdot 4x + 5;$

Г) $4a - 3 (2a - 3).$

а) Чтобы раскрыть скобки, нужно каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго двучлена и сложить полученные произведения.

$(8x - 3)(4x + 5) = 8x \cdot 4x + 8x \cdot 5 - 3 \cdot 4x - 3 \cdot 5$

Выполним вычисления:

$32x^2 + 40x - 12x - 15$

Приведем подобные слагаемые (члены с $x$):

$40x - 12x = 28x$

Запишем итоговый многочлен:

$32x^2 + 28x - 15$

Ответ: $32x^2 + 28x - 15$

б) В этом выражении необходимо следовать порядку арифметических действий: сначала выполняется умножение, а затем вычитание и сложение.

$8x - 3 \cdot 4x + 5$

Выполним умножение:

$3 \cdot 4x = 12x$

Подставим результат в исходное выражение:

$8x - 12x + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$8x - 12x = -4x$

Запишем итоговое выражение:

$-4x + 5$

Ответ: $-4x + 5$

в) Согласно порядку действий, сначала выполним умножение, а затем вычитание. Умножим двучлен $(4a - 3)$ на одночлен $2a$.

$(4a - 3) \cdot 2a - 3$

Для этого умножим каждый член двучлена на $2a$:

$(4a \cdot 2a - 3 \cdot 2a) - 3$

Выполним вычисления:

$8a^2 - 6a - 3$

Подобных слагаемых в полученном выражении нет, поэтому это окончательный результат.

Ответ: $8a^2 - 6a - 3$

г) В данном выражении сначала нужно раскрыть скобки, умножив множитель $-3$ на каждый член в скобках, а затем привести подобные слагаемые.

$4a - 3(2a - 3)$

Раскроем скобки:

$4a - 3 \cdot 2a - 3 \cdot (-3)$

$4a - 6a + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$4a - 6a = -2a$

Запишем итоговое выражение:

$-2a + 9$

Ответ: $-2a + 9$

299. а) $(0.1 - x)(x + 0.1);$

б) $(1.2 - a)(1.2 + a);$

в) $(\frac{1}{3} - m)(\frac{1}{2}m - 3);$

г) $(\frac{1}{5}a - \frac{3}{7}b)(14a + b);$

д) $(0.05y - 2.3x)(y - 0.2x);$

е) $(2.5a + 3b)(0.1b - 4a);$

ж) $(\frac{2}{3}m + 3n)(6m - \frac{1}{6}n);$

з) $(1\frac{1}{2}x - y)(2\frac{1}{3}y - \frac{1}{3}x).$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае слагаемые в скобках можно поменять местами: $(0,1 - x)(x + 0,1) = (0,1 - x)(0,1 + x)$. Здесь $a = 0,1$ и $b = x$.

$(0,1 - x)(0,1 + x) = (0,1)^2 - x^2 = 0,01 - x^2$.

Ответ: $0,01 - x^2$.

б) Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном выражении $a$ из формулы равно $1,2$, а $b$ из формулы равно переменной $a$.

$(1,2 - a)(1,2 + a) = (1,2)^2 - a^2 = 1,44 - a^2$.

Ответ: $1,44 - a^2$.

в) Для умножения двух двучленов перемножим каждый член первого двучлена на каждый член второго двучлена:

$(\frac{1}{3} - m)(\frac{1}{2}m - 3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}m + \frac{1}{3} \cdot (-3) - m \cdot \frac{1}{2}m - m \cdot (-3) = \frac{1}{6}m - 1 - \frac{1}{2}m^2 + 3m$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$-\frac{1}{2}m^2 + (\frac{1}{6}m + 3m) - 1 = -\frac{1}{2}m^2 + (\frac{1}{6}m + \frac{18}{6}m) - 1 = -\frac{1}{2}m^2 + \frac{19}{6}m - 1$.

Ответ: $-\frac{1}{2}m^2 + \frac{19}{6}m - 1$.

г) Перемножим двучлены, используя правило умножения многочленов (каждый член первого на каждый член второго):

$(\frac{1}{5}a - \frac{3}{7}b)(14a + b) = \frac{1}{5}a \cdot 14a + \frac{1}{5}a \cdot b - \frac{3}{7}b \cdot 14a - \frac{3}{7}b \cdot b$

$= \frac{14}{5}a^2 + \frac{1}{5}ab - \frac{3 \cdot 14}{7}ab - \frac{3}{7}b^2 = \frac{14}{5}a^2 + \frac{1}{5}ab - 6ab - \frac{3}{7}b^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{1}{5}ab - 6ab = (\frac{1}{5} - 6)ab = (\frac{1}{5} - \frac{30}{5})ab = -\frac{29}{5}ab$.

Итоговое выражение: $\frac{14}{5}a^2 - \frac{29}{5}ab - \frac{3}{7}b^2$.

Ответ: $\frac{14}{5}a^2 - \frac{29}{5}ab - \frac{3}{7}b^2$.

д) Раскроем скобки, перемножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(0,05y - 2,3x)(y - 0,2x) = 0,05y \cdot y + 0,05y \cdot (-0,2x) - 2,3x \cdot y - 2,3x \cdot (-0,2x)$

$= 0,05y^2 - 0,01xy - 2,3xy + 0,46x^2$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$-0,01xy - 2,3xy = -2,31xy$.

Запишем итоговый многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней $x$):

$0,46x^2 - 2,31xy + 0,05y^2$.

Ответ: $0,46x^2 - 2,31xy + 0,05y^2$.

е) Умножим двучлены, используя правило "каждый на каждый":

$(2,5a + 3b)(0,1b - 4a) = 2,5a \cdot 0,1b + 2,5a \cdot (-4a) + 3b \cdot 0,1b + 3b \cdot (-4a)$

$= 0,25ab - 10a^2 + 0,3b^2 - 12ab$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, расположив их в стандартном порядке:

$-10a^2 + (0,25ab - 12ab) + 0,3b^2 = -10a^2 - 11,75ab + 0,3b^2$.

Ответ: $-10a^2 - 11,75ab + 0,3b^2$.

ж) Раскроем скобки, перемножая двучлены:

$(\frac{2}{3}m + 3n)(6m - \frac{1}{6}n) = \frac{2}{3}m \cdot 6m + \frac{2}{3}m \cdot (-\frac{1}{6}n) + 3n \cdot 6m + 3n \cdot (-\frac{1}{6}n)$

$= \frac{12}{3}m^2 - \frac{2}{18}mn + 18mn - \frac{3}{6}n^2 = 4m^2 - \frac{1}{9}mn + 18mn - \frac{1}{2}n^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$-\frac{1}{9}mn + 18mn = (-\frac{1}{9} + 18)mn = (-\frac{1}{9} + \frac{162}{9})mn = \frac{161}{9}mn$.

Получаем итоговый многочлен: $4m^2 + \frac{161}{9}mn - \frac{1}{2}n^2$.

Ответ: $4m^2 + \frac{161}{9}mn - \frac{1}{2}n^2$.

з) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Выражение принимает вид: $(\frac{3}{2}x - y)(\frac{7}{3}y - \frac{1}{3}x)$.

Теперь раскроем скобки, перемножая двучлены:

$(\frac{3}{2}x - y)(\frac{7}{3}y - \frac{1}{3}x) = \frac{3}{2}x \cdot \frac{7}{3}y + \frac{3}{2}x \cdot (-\frac{1}{3}x) - y \cdot \frac{7}{3}y - y \cdot (-\frac{1}{3}x)$

$= \frac{21}{6}xy - \frac{3}{6}x^2 - \frac{7}{3}y^2 + \frac{1}{3}xy = \frac{7}{2}xy - \frac{1}{2}x^2 - \frac{7}{3}y^2 + \frac{1}{3}xy$.

Приведем подобные слагаемые (члены с $xy$):

$\frac{7}{2}xy + \frac{1}{3}xy = (\frac{7}{2} + \frac{1}{3})xy = (\frac{21}{6} + \frac{2}{6})xy = \frac{23}{6}xy$.

Запишем итоговый многочлен в стандартном виде:

$-\frac{1}{2}x^2 + \frac{23}{6}xy - \frac{7}{3}y^2$.

Ответ: $-\frac{1}{2}x^2 + \frac{23}{6}xy - \frac{7}{3}y^2$.

300. a) $ (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) $;

Б) $ (a - b + c)(a + b - c) $;

B) $ (a + 2b)(a - 2b)(a^2 + 4b^2) $.

а) Чтобы упростить выражение $(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$, воспользуемся формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.
В данном случае $x=a$ и $y=2b$. Проверим, соответствует ли вторая скобка формуле: $x^2-xy+y^2 = a^2 - a(2b) + (2b)^2 = a^2 - 2ab + 4b^2$.
Выражение полностью соответствует формуле. Следовательно, результат равен $x^3+y^3 = a^3 + (2b)^3$.
Вычислим $(2b)^3$: $(2b)^3 = 2^3 \cdot b^3 = 8b^3$.
Таким образом, получаем: $(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) = a^3 + 8b^3$.
Ответ: $a^3+8b^3$.

б) Чтобы упростить выражение $(a - b + c)(a + b - c)$, сгруппируем слагаемые. Заметим, что знаки при $b$ и $c$ во второй скобке противоположны знакам в первой. Перепишем выражение следующим образом:
$(a - (b - c))(a + (b - c))$.
Теперь мы можем применить формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x=a$ и $y=(b-c)$.
Применяя формулу, получаем: $a^2 - (b-c)^2$.
Теперь раскроем скобки $(b-c)^2$ по формуле квадрата разности $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$:
$(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$.
Подставим это обратно в наше выражение:
$a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 + 2bc - c^2$.
Ответ: $a^2 - b^2 + 2bc - c^2$.

в) Чтобы упростить выражение $(a + 2b)(a - 2b)(a^2 + 4b^2)$, будем выполнять умножение по шагам.
Сначала умножим первые две скобки: $(a + 2b)(a - 2b)$. Это формула разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$, где $x=a$ и $y=2b$.
$(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2)$.
Мы снова получили выражение, к которому можно применить формулу разности квадратов, но теперь $x=a^2$ и $y=4b^2$.
$(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = (a^2)^2 - (4b^2)^2$.
Возведем в степень: $(a^2)^2 = a^4$ и $(4b^2)^2 = 16b^4$.
Окончательный результат: $a^4 - 16b^4$.
Ответ: $a^4 - 16b^4$.

301. Доказываем. Докажите равенство:

a) $(a + b)(a + c) = a^2 + (b + c)a + bc;$

б) $2x^2 - 11x + 15 = (x - 3)(2x - 5).$

а)

Для доказательства равенства $(a + b)(a + c) = a^2 + (b + c)a + bc$ преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, умножив каждый член первого двучлена на каждый член второго:

$(a + b)(a + c) = a \cdot a + a \cdot c + b \cdot a + b \cdot c = a^2 + ac + ab + bc$

Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $a$, и вынесем его за скобки:

$a^2 + (ac + ab) + bc = a^2 + a(c + b) + bc$

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($c+b = b+c$), мы можем записать выражение в виде:

$a^2 + (b + c)a + bc$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $(a + b)(a + c) = a^2 + (b + c)a + bc$ доказано.

б)

Для доказательства равенства $2x^2 - 11x + 15 = (x - 3)(2x - 5)$ преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, перемножив двучлены:

$(x - 3)(2x - 5) = x \cdot 2x + x \cdot (-5) - 3 \cdot 2x - 3 \cdot (-5)$

Выполним умножение:

$2x^2 - 5x - 6x + 15$

Приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$):

$2x^2 + (-5 - 6)x + 15 = 2x^2 - 11x + 15$

Полученное выражение полностью совпадает с левой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $2x^2 - 11x + 15 = (x - 3)(2x - 5)$ доказано.

302. Верно ли выполнены преобразования:

а) $(2x+3y)(3x-2y) = 6x^2 - 4xy + 9xy - 6y^2 = 6x^2 + 5xy - 6y^2;$

б) $(xy^2+x^2y)(xy+3) = x^2y^3 + 3xy^2 + x^3y^2 + 3x^2y?$

а) Проверим, верны ли преобразования в выражении $(2x+3y)(3x-2y)=6x^2-4xy+9xy-6y^2=6x^2+5xy-6y^2$.

Данное выражение состоит из двух последовательных равенств. Проверим каждое из них.

1. Первое равенство: $(2x+3y)(3x-2y)=6x^2-4xy+9xy-6y^2$.
Чтобы проверить его, нужно перемножить многочлены в левой части. Для этого каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена (правило "фонтанчика" или FOIL):
$(2x+3y)(3x-2y) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot (-2y) + 3y \cdot 3x + 3y \cdot (-2y)$
Выполним умножение:
$2x \cdot 3x = 6x^2$
$2x \cdot (-2y) = -4xy$
$3y \cdot 3x = 9xy$
$3y \cdot (-2y) = -6y^2$
Сложив полученные одночлены, получаем: $6x^2 - 4xy + 9xy - 6y^2$.
Это в точности совпадает с правой частью первого равенства, следовательно, первое преобразование выполнено верно.

2. Второе равенство: $6x^2-4xy+9xy-6y^2=6x^2+5xy-6y^2$.
Чтобы проверить его, нужно привести подобные слагаемые в левой части. Подобными слагаемыми являются $-4xy$ и $9xy$.
Сложим их коэффициенты: $-4+9=5$.
Таким образом, $-4xy + 9xy = 5xy$.
Подставив результат в выражение, получаем: $6x^2+5xy-6y^2$.
Это совпадает с правой частью второго равенства, значит, и второе преобразование выполнено верно.

Так как оба преобразования верны, вся цепочка равенств является верной.
Ответ: преобразования выполнены верно.

б) Проверим, верно ли преобразование $(xy^2+x^2y)(xy+3)=x^2y^3+3xy^2+x^3y^2+3x^2y$.

Для проверки раскроем скобки в левой части выражения, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(xy^2+x^2y)(xy+3) = xy^2 \cdot (xy+3) + x^2y \cdot (xy+3)$
$= (xy^2 \cdot xy) + (xy^2 \cdot 3) + (x^2y \cdot xy) + (x^2y \cdot 3)$

Выполним умножение одночленов, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$xy^2 \cdot xy = x^{1+1}y^{2+1} = x^2y^3$
$xy^2 \cdot 3 = 3xy^2$
$x^2y \cdot xy = x^{2+1}y^{1+1} = x^3y^2$
$x^2y \cdot 3 = 3x^2y$

Теперь сложим полученные результаты:
$x^2y^3 + 3xy^2 + x^3y^2 + 3x^2y$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью равенства в задании. Подобных членов в итоговом многочлене нет, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: преобразования выполнены верно.

303. Вместо звёздочки подберите одночлен, чтобы выполнялось равенство:

а) $(a+*)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2$;

б) $9 - 3a - 3a + a^2 = 9 - * + a^2$.

а)

Рассмотрим данное равенство: $(a + *)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2$.

Первым шагом упростим правую часть равенства. Слагаемые $-ab$ и $+ab$ являются противоположными, и их сумма равна нулю:

$a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$.

Теперь исходное равенство можно переписать в виде:

$(a + *)(a - b) = a^2 - b^2$.

Выражение в правой части $a^2 - b^2$ — это известная формула сокращенного умножения, называемая "разность квадратов", которая раскладывается на множители следующим образом:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Подставим это разложение обратно в наше уравнение:

$(a + *)(a - b) = (a + b)(a - b)$.

Теперь мы можем сравнить левую и правую части уравнения. Множитель $(a - b)$ присутствует с обеих сторон. Чтобы равенство было верным, второй множитель в левой части, $(a + *)$, должен быть равен второму множителю в правой части, $(a + b)$. Отсюда очевидно, что одночлен, который следует подставить вместо звёздочки, — это $b$.

Проверка: Подставим $b$ вместо звёздочки и раскроем скобки в левой части: $(a + b)(a - b) = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = a^2 - ab + ab - b^2$. Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства.

Ответ: $b$.

б)

Рассмотрим данное равенство: $9 - 3a - 3a + a^2 = 9 - * + a^2$.

Сначала упростим левую часть равенства, приведя подобные слагаемые. Сложим одночлены $-3a$ и $-3a$:

$-3a - 3a = -6a$.

После упрощения левая часть примет вид:

$9 - 6a + a^2$.

Теперь наше равенство выглядит так:

$9 - 6a + a^2 = 9 - * + a^2$.

Сравним левую и правую части этого равенства. Мы видим, что слагаемые $9$ и $a^2$ есть в обеих частях. Чтобы равенство оставалось верным, оставшиеся члены в обеих частях также должны быть равны друг другу. В левой части это $-6a$, а в правой — $-*$.

Приравняем их:

$-6a = -*$.

Умножив обе части этого небольшого уравнения на $-1$, мы найдем искомый одночлен:

$6a = *$.

Таким образом, вместо звёздочки нужно подставить одночлен $6a$.

Проверка: Исходная левая часть: $9 - 3a - 3a + a^2 = 9 - 6a + a^2$. Исходная правая часть с подставленным значением: $9 - (6a) + a^2 = 9 - 6a + a^2$. Левая и правая части равны, следовательно, решение верное.

Ответ: $6a$.

304. Доказываем.

Пользуясь рисунком 12, докажите, что для $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$ верно равенство $(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd$.

Рис. 12

Данное равенство представляет собой формулу умножения двух двучленов. Его можно доказать геометрически, используя предложенный рисунок, который иллюстрирует площадь прямоугольника. Рассмотрим площадь большого прямоугольника двумя способами. Условие $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$ означает, что все отрезки имеют положительную длину, что необходимо для геометрической интерпретации.

1. Площадь большого прямоугольника

На рисунке 12 изображен большой прямоугольник. Его стороны состоят из отрезков. Одна сторона имеет длину, равную сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $(a+b)$. Другая сторона имеет длину, равную сумме отрезков $c$ и $d$, то есть $(c+d)$. Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение длин его сторон. Таким образом, площадь большого прямоугольника равна:
$S = (a+b)(c+d)$

2. Сумма площадей четырех малых прямоугольников

Большой прямоугольник разделен на четыре меньших прямоугольника. Его общая площадь также может быть найдена как сумма площадей этих четырех частей.

• Площадь нижнего левого прямоугольника со сторонами $a$ и $c$ равна $S_1 = ac$.
• Площадь верхнего левого прямоугольника со сторонами $b$ и $c$ равна $S_2 = bc$.
• Площадь нижнего правого прямоугольника со сторонами $a$ и $d$ равна $S_3 = ad$.
• Площадь верхнего правого прямоугольника со сторонами $b$ и $d$ равна $S_4 = bd$.

Сложив площади этих четырех прямоугольников, мы получим общую площадь большой фигуры:
$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = ac + bc + ad + bd$

Заключение

Так как оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, полученные выражения должны быть равны. Приравнивая их, мы получаем доказываемое равенство:
$(a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd$
Таким образом, мы геометрически доказали справедливость данного равенства для любых положительных чисел $a, b, c, d$.

Ответ: Равенство $(a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd$ доказано путем вычисления площади прямоугольника, изображенного на рисунке, двумя различными способами.