Номер 300, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 300, страница 90.

Условие.

300. a) $ (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) $;

Б) $ (a - b + c)(a + b - c) $;

B) $ (a + 2b)(a - 2b)(a^2 + 4b^2) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы упростить выражение $(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$, воспользуемся формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.
В данном случае $x=a$ и $y=2b$. Проверим, соответствует ли вторая скобка формуле: $x^2-xy+y^2 = a^2 - a(2b) + (2b)^2 = a^2 - 2ab + 4b^2$.
Выражение полностью соответствует формуле. Следовательно, результат равен $x^3+y^3 = a^3 + (2b)^3$.
Вычислим $(2b)^3$: $(2b)^3 = 2^3 \cdot b^3 = 8b^3$.
Таким образом, получаем: $(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) = a^3 + 8b^3$.
Ответ: $a^3+8b^3$.

б) Чтобы упростить выражение $(a - b + c)(a + b - c)$, сгруппируем слагаемые. Заметим, что знаки при $b$ и $c$ во второй скобке противоположны знакам в первой. Перепишем выражение следующим образом:
$(a - (b - c))(a + (b - c))$.
Теперь мы можем применить формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x=a$ и $y=(b-c)$.
Применяя формулу, получаем: $a^2 - (b-c)^2$.
Теперь раскроем скобки $(b-c)^2$ по формуле квадрата разности $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$:
$(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$.
Подставим это обратно в наше выражение:
$a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 + 2bc - c^2$.
Ответ: $a^2 - b^2 + 2bc - c^2$.

в) Чтобы упростить выражение $(a + 2b)(a - 2b)(a^2 + 4b^2)$, будем выполнять умножение по шагам.
Сначала умножим первые две скобки: $(a + 2b)(a - 2b)$. Это формула разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$, где $x=a$ и $y=2b$.
$(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2)$.
Мы снова получили выражение, к которому можно применить формулу разности квадратов, но теперь $x=a^2$ и $y=4b^2$.
$(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = (a^2)^2 - (4b^2)^2$.
Возведем в степень: $(a^2)^2 = a^4$ и $(4b^2)^2 = 16b^4$.
Окончательный результат: $a^4 - 16b^4$.
Ответ: $a^4 - 16b^4$.