Номер 299, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 299, страница 90.

Условие.

299. а) $(0.1 - x)(x + 0.1);$

б) $(1.2 - a)(1.2 + a);$

в) $(\frac{1}{3} - m)(\frac{1}{2}m - 3);$

г) $(\frac{1}{5}a - \frac{3}{7}b)(14a + b);$

д) $(0.05y - 2.3x)(y - 0.2x);$

е) $(2.5a + 3b)(0.1b - 4a);$

ж) $(\frac{2}{3}m + 3n)(6m - \frac{1}{6}n);$

з) $(1\frac{1}{2}x - y)(2\frac{1}{3}y - \frac{1}{3}x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае слагаемые в скобках можно поменять местами: $(0,1 - x)(x + 0,1) = (0,1 - x)(0,1 + x)$. Здесь $a = 0,1$ и $b = x$.

$(0,1 - x)(0,1 + x) = (0,1)^2 - x^2 = 0,01 - x^2$.

Ответ: $0,01 - x^2$.

б) Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном выражении $a$ из формулы равно $1,2$, а $b$ из формулы равно переменной $a$.

$(1,2 - a)(1,2 + a) = (1,2)^2 - a^2 = 1,44 - a^2$.

Ответ: $1,44 - a^2$.

в) Для умножения двух двучленов перемножим каждый член первого двучлена на каждый член второго двучлена:

$(\frac{1}{3} - m)(\frac{1}{2}m - 3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}m + \frac{1}{3} \cdot (-3) - m \cdot \frac{1}{2}m - m \cdot (-3) = \frac{1}{6}m - 1 - \frac{1}{2}m^2 + 3m$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$-\frac{1}{2}m^2 + (\frac{1}{6}m + 3m) - 1 = -\frac{1}{2}m^2 + (\frac{1}{6}m + \frac{18}{6}m) - 1 = -\frac{1}{2}m^2 + \frac{19}{6}m - 1$.

Ответ: $-\frac{1}{2}m^2 + \frac{19}{6}m - 1$.

г) Перемножим двучлены, используя правило умножения многочленов (каждый член первого на каждый член второго):

$(\frac{1}{5}a - \frac{3}{7}b)(14a + b) = \frac{1}{5}a \cdot 14a + \frac{1}{5}a \cdot b - \frac{3}{7}b \cdot 14a - \frac{3}{7}b \cdot b$

$= \frac{14}{5}a^2 + \frac{1}{5}ab - \frac{3 \cdot 14}{7}ab - \frac{3}{7}b^2 = \frac{14}{5}a^2 + \frac{1}{5}ab - 6ab - \frac{3}{7}b^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{1}{5}ab - 6ab = (\frac{1}{5} - 6)ab = (\frac{1}{5} - \frac{30}{5})ab = -\frac{29}{5}ab$.

Итоговое выражение: $\frac{14}{5}a^2 - \frac{29}{5}ab - \frac{3}{7}b^2$.

Ответ: $\frac{14}{5}a^2 - \frac{29}{5}ab - \frac{3}{7}b^2$.

д) Раскроем скобки, перемножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(0,05y - 2,3x)(y - 0,2x) = 0,05y \cdot y + 0,05y \cdot (-0,2x) - 2,3x \cdot y - 2,3x \cdot (-0,2x)$

$= 0,05y^2 - 0,01xy - 2,3xy + 0,46x^2$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$-0,01xy - 2,3xy = -2,31xy$.

Запишем итоговый многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней $x$):

$0,46x^2 - 2,31xy + 0,05y^2$.

Ответ: $0,46x^2 - 2,31xy + 0,05y^2$.

е) Умножим двучлены, используя правило "каждый на каждый":

$(2,5a + 3b)(0,1b - 4a) = 2,5a \cdot 0,1b + 2,5a \cdot (-4a) + 3b \cdot 0,1b + 3b \cdot (-4a)$

$= 0,25ab - 10a^2 + 0,3b^2 - 12ab$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, расположив их в стандартном порядке:

$-10a^2 + (0,25ab - 12ab) + 0,3b^2 = -10a^2 - 11,75ab + 0,3b^2$.

Ответ: $-10a^2 - 11,75ab + 0,3b^2$.

ж) Раскроем скобки, перемножая двучлены:

$(\frac{2}{3}m + 3n)(6m - \frac{1}{6}n) = \frac{2}{3}m \cdot 6m + \frac{2}{3}m \cdot (-\frac{1}{6}n) + 3n \cdot 6m + 3n \cdot (-\frac{1}{6}n)$

$= \frac{12}{3}m^2 - \frac{2}{18}mn + 18mn - \frac{3}{6}n^2 = 4m^2 - \frac{1}{9}mn + 18mn - \frac{1}{2}n^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$-\frac{1}{9}mn + 18mn = (-\frac{1}{9} + 18)mn = (-\frac{1}{9} + \frac{162}{9})mn = \frac{161}{9}mn$.

Получаем итоговый многочлен: $4m^2 + \frac{161}{9}mn - \frac{1}{2}n^2$.

Ответ: $4m^2 + \frac{161}{9}mn - \frac{1}{2}n^2$.

з) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Выражение принимает вид: $(\frac{3}{2}x - y)(\frac{7}{3}y - \frac{1}{3}x)$.

Теперь раскроем скобки, перемножая двучлены:

$(\frac{3}{2}x - y)(\frac{7}{3}y - \frac{1}{3}x) = \frac{3}{2}x \cdot \frac{7}{3}y + \frac{3}{2}x \cdot (-\frac{1}{3}x) - y \cdot \frac{7}{3}y - y \cdot (-\frac{1}{3}x)$

$= \frac{21}{6}xy - \frac{3}{6}x^2 - \frac{7}{3}y^2 + \frac{1}{3}xy = \frac{7}{2}xy - \frac{1}{2}x^2 - \frac{7}{3}y^2 + \frac{1}{3}xy$.

Приведем подобные слагаемые (члены с $xy$):

$\frac{7}{2}xy + \frac{1}{3}xy = (\frac{7}{2} + \frac{1}{3})xy = (\frac{21}{6} + \frac{2}{6})xy = \frac{23}{6}xy$.

Запишем итоговый многочлен в стандартном виде:

$-\frac{1}{2}x^2 + \frac{23}{6}xy - \frac{7}{3}y^2$.

Ответ: $-\frac{1}{2}x^2 + \frac{23}{6}xy - \frac{7}{3}y^2$.