Номер 302, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 302, страница 90.

Условие.

302. Верно ли выполнены преобразования:

а) $(2x+3y)(3x-2y) = 6x^2 - 4xy + 9xy - 6y^2 = 6x^2 + 5xy - 6y^2;$

б) $(xy^2+x^2y)(xy+3) = x^2y^3 + 3xy^2 + x^3y^2 + 3x^2y?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Проверим, верны ли преобразования в выражении $(2x+3y)(3x-2y)=6x^2-4xy+9xy-6y^2=6x^2+5xy-6y^2$.

Данное выражение состоит из двух последовательных равенств. Проверим каждое из них.

1. Первое равенство: $(2x+3y)(3x-2y)=6x^2-4xy+9xy-6y^2$.
Чтобы проверить его, нужно перемножить многочлены в левой части. Для этого каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена (правило "фонтанчика" или FOIL):
$(2x+3y)(3x-2y) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot (-2y) + 3y \cdot 3x + 3y \cdot (-2y)$
Выполним умножение:
$2x \cdot 3x = 6x^2$
$2x \cdot (-2y) = -4xy$
$3y \cdot 3x = 9xy$
$3y \cdot (-2y) = -6y^2$
Сложив полученные одночлены, получаем: $6x^2 - 4xy + 9xy - 6y^2$.
Это в точности совпадает с правой частью первого равенства, следовательно, первое преобразование выполнено верно.

2. Второе равенство: $6x^2-4xy+9xy-6y^2=6x^2+5xy-6y^2$.
Чтобы проверить его, нужно привести подобные слагаемые в левой части. Подобными слагаемыми являются $-4xy$ и $9xy$.
Сложим их коэффициенты: $-4+9=5$.
Таким образом, $-4xy + 9xy = 5xy$.
Подставив результат в выражение, получаем: $6x^2+5xy-6y^2$.
Это совпадает с правой частью второго равенства, значит, и второе преобразование выполнено верно.

Так как оба преобразования верны, вся цепочка равенств является верной.
Ответ: преобразования выполнены верно.

б) Проверим, верно ли преобразование $(xy^2+x^2y)(xy+3)=x^2y^3+3xy^2+x^3y^2+3x^2y$.

Для проверки раскроем скобки в левой части выражения, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(xy^2+x^2y)(xy+3) = xy^2 \cdot (xy+3) + x^2y \cdot (xy+3)$
$= (xy^2 \cdot xy) + (xy^2 \cdot 3) + (x^2y \cdot xy) + (x^2y \cdot 3)$

Выполним умножение одночленов, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$xy^2 \cdot xy = x^{1+1}y^{2+1} = x^2y^3$
$xy^2 \cdot 3 = 3xy^2$
$x^2y \cdot xy = x^{2+1}y^{1+1} = x^3y^2$
$x^2y \cdot 3 = 3x^2y$

Теперь сложим полученные результаты:
$x^2y^3 + 3xy^2 + x^3y^2 + 3x^2y$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью равенства в задании. Подобных членов в итоговом многочлене нет, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: преобразования выполнены верно.