Номер 305, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 305, страница 91.

Условие.

305. Разложите многочлен на множители:

а) $2x + 2y$;

б) $6a - 3$;

в) $ax - ab$;

г) $2a + 6ab;

д) $a^2 + a;

е) $3x^3y - xy^2$;

ж) $ax + bx + cx$;

з) $5a^3 + 10a^2 + 15a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) В многочлене $2x + 2y$ оба члена имеют общий множитель 2. Вынесем его за скобки. Для этого каждый член многочлена разделим на 2: $2x : 2 = x$ и $2y : 2 = y$. Получаем выражение $2(x+y)$.
Ответ: $2(x+y)$

б) В многочлене $6a - 3$ оба члена делятся на 3. Это их наибольший общий делитель. Вынесем 3 за скобки: $6a : 3 = 2a$ и $-3 : 3 = -1$. Получаем выражение $3(2a - 1)$.
Ответ: $3(2a - 1)$

в) В многочлене $ax - ab$ оба члена имеют общий множитель $a$. Вынесем $a$ за скобки: $ax : a = x$ и $-ab : a = -b$. Получаем выражение $a(x - b)$.
Ответ: $a(x - b)$

г) В многочлене $2a + 6ab$ найдем общий множитель. Для коэффициентов 2 и 6 общим множителем является 2. Оба члена также содержат переменную $a$. Таким образом, общий множитель — $2a$. Вынесем его за скобки: $2a : (2a) = 1$ и $6ab : (2a) = 3b$. Получаем выражение $2a(1 + 3b)$.
Ответ: $2a(1 + 3b)$

д) В многочлене $a^2 + a$ оба члена содержат переменную $a$. Общим множителем будет $a$ в наименьшей степени, то есть $a^1=a$. Вынесем $a$ за скобки: $a^2 : a = a$ и $a : a = 1$. Получаем выражение $a(a+1)$.
Ответ: $a(a + 1)$

е) В многочлене $3x^3y - xy^2$ найдем общий множитель. Для переменных $x$ общим множителем является $x$ (наименьшая степень из $x^3$ и $x$). Для переменных $y$ общим множителем является $y$ (наименьшая степень из $y$ и $y^2$). Таким образом, общий множитель — $xy$. Вынесем его за скобки: $3x^3y : (xy) = 3x^2$ и $-xy^2 : (xy) = -y$. Получаем выражение $xy(3x^2 - y)$.
Ответ: $xy(3x^2 - y)$

ж) В многочлене $ax + bx + cx$ все три члена содержат общий множитель $x$. Вынесем $x$ за скобки. В скобках останется сумма коэффициентов при $x$: $(a+b+c)$. Получаем выражение $x(a+b+c)$.
Ответ: $x(a+b+c)$

з) В многочлене $5a^3 + 10a^2 + 15a$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 5, 10 и 15 равен 5. Общий множитель для переменных $a^3, a^2, a$ — это $a$ (в наименьшей степени). Значит, общий множитель всего выражения — $5a$. Вынесем его за скобки: $5a^3 : (5a) = a^2$, $10a^2 : (5a) = 2a$, $15a : (5a) = 3$. Получаем выражение $5a(a^2 + 2a + 3)$.
Ответ: $5a(a^2 + 2a + 3)$