Номер 303, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 303, страница 90.

Условие.

303. Вместо звёздочки подберите одночлен, чтобы выполнялось равенство:

а) $(a+*)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2$;

б) $9 - 3a - 3a + a^2 = 9 - * + a^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Рассмотрим данное равенство: $(a + *)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2$.

Первым шагом упростим правую часть равенства. Слагаемые $-ab$ и $+ab$ являются противоположными, и их сумма равна нулю:

$a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$.

Теперь исходное равенство можно переписать в виде:

$(a + *)(a - b) = a^2 - b^2$.

Выражение в правой части $a^2 - b^2$ — это известная формула сокращенного умножения, называемая "разность квадратов", которая раскладывается на множители следующим образом:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Подставим это разложение обратно в наше уравнение:

$(a + *)(a - b) = (a + b)(a - b)$.

Теперь мы можем сравнить левую и правую части уравнения. Множитель $(a - b)$ присутствует с обеих сторон. Чтобы равенство было верным, второй множитель в левой части, $(a + *)$, должен быть равен второму множителю в правой части, $(a + b)$. Отсюда очевидно, что одночлен, который следует подставить вместо звёздочки, — это $b$.

Проверка: Подставим $b$ вместо звёздочки и раскроем скобки в левой части: $(a + b)(a - b) = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = a^2 - ab + ab - b^2$. Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства.

Ответ: $b$.

б)

Рассмотрим данное равенство: $9 - 3a - 3a + a^2 = 9 - * + a^2$.

Сначала упростим левую часть равенства, приведя подобные слагаемые. Сложим одночлены $-3a$ и $-3a$:

$-3a - 3a = -6a$.

После упрощения левая часть примет вид:

$9 - 6a + a^2$.

Теперь наше равенство выглядит так:

$9 - 6a + a^2 = 9 - * + a^2$.

Сравним левую и правую части этого равенства. Мы видим, что слагаемые $9$ и $a^2$ есть в обеих частях. Чтобы равенство оставалось верным, оставшиеся члены в обеих частях также должны быть равны друг другу. В левой части это $-6a$, а в правой — $-*$.

Приравняем их:

$-6a = -*$.

Умножив обе части этого небольшого уравнения на $-1$, мы найдем искомый одночлен:

$6a = *$.

Таким образом, вместо звёздочки нужно подставить одночлен $6a$.

Проверка: Исходная левая часть: $9 - 3a - 3a + a^2 = 9 - 6a + a^2$. Исходная правая часть с подставленным значением: $9 - (6a) + a^2 = 9 - 6a + a^2$. Левая и правая части равны, следовательно, решение верное.

Ответ: $6a$.