Номер 296, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 296, страница 90.

Условие.

Преобразуйте произведение многочленов в многочлен стандартного вида (296—300):

296. a) $(a + 1)(a + 1)(a + 1);$

б) $(x - 1)(x - 1)(x - 1);$

в) $(a + b)(a - b)(a + b);$

г) $(m - n)(m - n)(m + n);$

д) $(a + b + c)(a + 1);$

е) $(a - b - c)(a - 1);$

ж) $(x + 1)(x^2 - x + 1);$

з) $(x - 1)(x^2 + x + 1);$

и) $(x^3 + 2x - 3)(2 - 3x);$

к) $(5m^2 - 3mn + n^2)(2n - m^2);$

л) $(a + b + c)(a + b - c);$

м) $(a - b + c)(a - b - c).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $(a + 1)(a + 1)(a + 1)$
Данное выражение можно записать в виде степени: $(a + 1)^3$.
Воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
В данном случае $x=a$ и $y=1$.
$(a+1)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 + 1^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1$.
Ответ: $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$.

б) $(x - 1)(x - 1)(x - 1)$
Данное выражение можно записать в виде степени: $(x - 1)^3$.
Воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В данном случае $x=x$ и $y=1$.
$(x-1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.
Ответ: $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

в) $(a + b)(a - b)(a + b)$
Сгруппируем множители для удобства: $((a + b)(a - b))(a + b)$.
Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ к первым двум множителям:
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
Теперь умножим результат на оставшийся множитель $(a + b)$:
$(a^2 - b^2)(a + b) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot b - b^2 \cdot a - b^2 \cdot b = a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$.
Приведем многочлен к стандартному виду: $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$.
Ответ: $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$.

г) $(m - n)(m - n)(m + n)$
Сгруппируем множители: $(m - n)((m - n)(m + n))$. Удобнее перемножить второй и третий множители, используя формулу разности квадратов.
$(m - n)(m + n) = m^2 - n^2$.
Теперь умножим результат на первый множитель $(m - n)$:
$(m - n)(m^2 - n^2) = m \cdot m^2 + m \cdot (-n^2) - n \cdot m^2 - n \cdot (-n^2) = m^3 - mn^2 - m^2n + n^3$.
Приведем многочлен к стандартному виду, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $m$: $m^3 - m^2n - mn^2 + n^3$.
Ответ: $m^3 - m^2n - mn^2 + n^3$.

д) $(a + b + c)(a + 1)$
Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена:
$(a + b + c)(a + 1) = a(a + b + c) + 1(a + b + c) = a^2 + ab + ac + a + b + c$.
Подобных членов нет, многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $a^2 + ab + ac + a + b + c$.

е) $(a - b - c)(a - 1)$
Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена:
$(a - b - c)(a - 1) = a(a - b - c) - 1(a - b - c) = a^2 - ab - ac - (a - b - c) = a^2 - ab - ac - a + b + c$.
Подобных членов нет, многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $a^2 - ab - ac - a + b + c$.

ж) $(x + 1)(x^2 - x + 1)$
Это выражение является формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.
Здесь $a=x$ и $b=1$.
$(x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.
Ответ: $x^3 + 1$.

з) $(x - 1)(x^2 + x + 1)$
Это выражение является формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
Здесь $a=x$ и $b=1$.
$(x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.
Ответ: $x^3 - 1$.

и) $(x^3 + 2x - 3)(2 - 3x)$
Выполним умножение многочленов:
$x^3(2 - 3x) + 2x(2 - 3x) - 3(2 - 3x) = (2x^3 - 3x^4) + (4x - 6x^2) - (6 - 9x)$
$= 2x^3 - 3x^4 + 4x - 6x^2 - 6 + 9x$.
Приведем подобные члены и запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней $x$):
$-3x^4 + 2x^3 - 6x^2 + (4x + 9x) - 6 = -3x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 13x - 6$.
Ответ: $-3x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 13x - 6$.

к) $(5m^2 - 3mn + n^2)(2n - m^2)$
Выполним умножение многочленов:
$5m^2(2n - m^2) - 3mn(2n - m^2) + n^2(2n - m^2)$
$= (10m^2n - 5m^4) - (6mn^2 - 3m^3n) + (2n^3 - m^2n^2)$
$= 10m^2n - 5m^4 - 6mn^2 + 3m^3n + 2n^3 - m^2n^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $m$:
$-5m^4 + 3m^3n - m^2n^2 + 10m^2n - 6mn^2 + 2n^3$.
Ответ: $-5m^4 + 3m^3n - m^2n^2 + 10m^2n - 6mn^2 + 2n^3$.

л) $(a + b + c)(a + b - c)$
Сгруппируем члены в скобках, чтобы использовать формулу разности квадратов: $((a + b) + c)((a + b) - c)$.
Применим формулу $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x = (a+b)$ и $y = c$:
$((a+b) + c)((a+b) - c) = (a+b)^2 - c^2$.
Теперь раскроем квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В результате получаем: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$.
Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$.

м) $(a - b + c)(a - b - c)$
Сгруппируем члены в скобках: $((a - b) + c)((a - b) - c)$.
Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x = (a-b)$ и $y = c$:
$((a-b) + c)((a-b) - c) = (a-b)^2 - c^2$.
Теперь раскроем квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В результате получаем: $a^2 - 2ab + b^2 - c^2$.
Ответ: $a^2 - 2ab + b^2 - c^2$.