Номер 290, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.5. Произведение одночлена и многочлена. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 290, страница 87.

Условие.

290. Доказываем.

а) Докажите, что $(n + 1)! - n \cdot n! = n!$.

б) Вычислите: $11! - (1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + 10 \cdot 10!)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Докажем тождество $(n + 1)! - n \cdot n! = n!$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. По определению факториала, $(n + 1)!$ можно представить как произведение $(n + 1)$ и $n!$, то есть $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$(n + 1)! - n \cdot n! = (n + 1) \cdot n! - n \cdot n!$

Теперь вынесем общий множитель $n!$ за скобки:

$(n + 1) \cdot n! - n \cdot n! = ((n + 1) - n) \cdot n!$

Упростим выражение в скобках:

$(n + 1 - n) \cdot n! = 1 \cdot n! = n!$

Таким образом, левая часть тождества равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б) Вычислим значение выражения $11! - (1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + 10 \cdot 10!)$.

Для начала рассмотрим сумму, заключенную в скобках: $S = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + 10 \cdot 10!$. Эту сумму можно записать в виде $\sum_{k=1}^{10} k \cdot k!$.

Из тождества, доказанного в пункте а), следует, что $(k+1)! - k \cdot k! = k!$. Преобразуем это тождество, чтобы выразить слагаемое вида $k \cdot k!$:

$k \cdot k! = (k+1)! - k!$

Теперь мы можем использовать это соотношение для каждого члена суммы $S$:

• При $k=1$: $1 \cdot 1! = (1+1)! - 1! = 2! - 1!$
• При $k=2$: $2 \cdot 2! = (2+1)! - 2! = 3! - 2!$
• При $k=3$: $3 \cdot 3! = (3+1)! - 3! = 4! - 3!$
• ...
• При $k=10$: $10 \cdot 10! = (10+1)! - 10! = 11! - 10!$

Подставим эти выражения в сумму $S$:

$S = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \dots + (10! - 10!) + (11! - 10!)$

Эта сумма является телескопической, так как большинство слагаемых взаимно уничтожаются:

$S = -1! + (2! - 2!) + (3! - 3!) + \dots + (10! - 10!) + 11!$

В результате остаются только первый и последний члены:

$S = 11! - 1!$

Поскольку $1! = 1$, получаем $S = 11! - 1$.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим в него найденное значение суммы $S$:

$11! - S = 11! - (11! - 1) = 11! - 11! + 1 = 1$

Ответ: 1