Номер 287, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.5. Произведение одночлена и многочлена. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 287, страница 87.

Условие.

287. Напишите многочлен, противоположный данному:

а) $2a - 3bc + 2a^2;$

б) $-3xy^2 - 5x^3 + y^4;$

в) $-3x + mn - 2y;$

г) $3pq + 2p^2 - 3q^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Многочленом, противоположным данному многочлену $P$, называется такой многочлен (обозначим его $-P$), сумма которого с данным многочленом $P$ тождественно равна нулю: $P + (-P) = 0$. Чтобы записать многочлен, противоположный данному, необходимо у каждого члена (одночлена), входящего в состав исходного многочлена, изменить знак на противоположный. Это равносильно умножению всего многочлена на $-1$.

а) Дан многочлен $2a - 3bc + 2a^2$. Чтобы найти противоположный ему многочлен, изменим знак каждого его члена:

• Член $2a$ станет $-2a$.
• Член $-3bc$ станет $+3bc$.
• Член $+2a^2$ станет $-2a^2$.

Таким образом, противоположный многочлен имеет вид: $-(2a - 3bc + 2a^2) = -2a + 3bc - 2a^2$.
Проверка: $(2a - 3bc + 2a^2) + (-2a + 3bc - 2a^2) = (2a-2a) + (-3bc+3bc) + (2a^2-2a^2) = 0$.
Ответ: $-2a + 3bc - 2a^2$.

б) Дан многочлен $-3xy^2 - 5x^3 + y^4$. Чтобы найти противоположный ему многочлен, изменим знак каждого его члена:

• Член $-3xy^2$ станет $+3xy^2$.
• Член $-5x^3$ станет $+5x^3$.
• Член $+y^4$ станет $-y^4$.

Таким образом, противоположный многочлен имеет вид: $-(-3xy^2 - 5x^3 + y^4) = 3xy^2 + 5x^3 - y^4$.
Проверка: $(-3xy^2 - 5x^3 + y^4) + (3xy^2 + 5x^3 - y^4) = (-3xy^2+3xy^2) + (-5x^3+5x^3) + (y^4-y^4) = 0$.
Ответ: $3xy^2 + 5x^3 - y^4$.

в) Дан многочлен $-3x + mn - 2y$. Чтобы найти противоположный ему многочлен, изменим знак каждого его члена:

• Член $-3x$ станет $+3x$.
• Член $+mn$ станет $-mn$.
• Член $-2y$ станет $+2y$.

Таким образом, противоположный многочлен имеет вид: $-(-3x + mn - 2y) = 3x - mn + 2y$.
Проверка: $(-3x + mn - 2y) + (3x - mn + 2y) = (-3x+3x) + (mn-mn) + (-2y+2y) = 0$.
Ответ: $3x - mn + 2y$.

г) Дан многочлен $3pq + 2p^2 - 3q^3$. Чтобы найти противоположный ему многочлен, изменим знак каждого его члена:

• Член $3pq$ станет $-3pq$.
• Член $+2p^2$ станет $-2p^2$.
• Член $-3q^3$ станет $+3q^3$.

Таким образом, противоположный многочлен имеет вид: $-(3pq + 2p^2 - 3q^3) = -3pq - 2p^2 + 3q^3$.
Проверка: $(3pq + 2p^2 - 3q^3) + (-3pq - 2p^2 + 3q^3) = (3pq-3pq) + (2p^2-2p^2) + (-3q^3+3q^3) = 0$.
Ответ: $-3pq - 2p^2 + 3q^3$.