Номер 294, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 294, страница 89.

Условие.

Выполните умножение (294–295):

294. а) $(a + 1)(a + 1)$;

б) $(x + 1)(x + 2)$;

в) $(2 + y)(y + 3)$;

г) $(a + b)(a + b)$;

д) $(1 + x)(1 - x)$;

е) $(a - 2)(3 - a)$;

ж) $(x - y)(x + y)$;

з) $(a - b)(a - b)$;

и) $(2a + b)(a + 2b)$;

к) $(3x + 2y)(3x + 2y)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для умножения двух многочленов $(a + 1)$ и $(a + 1)$ необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные произведения. Это выражение также является квадратом суммы $(a+1)^2$.

$(a + 1)(a + 1) = a \cdot a + a \cdot 1 + 1 \cdot a + 1 \cdot 1 = a^2 + a + a + 1 = a^2 + 2a + 1$.

Можно также применить формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(a + 1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1$.

Ответ: $a^2 + 2a + 1$.

б) Умножим многочлен $(x + 1)$ на $(x + 2)$, используя правило умножения многочленов (каждый член первого на каждый член второго):

$(x + 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = x^2 + 2x + x + 2$.

Приведем подобные слагаемые ($2x$ и $x$):

$x^2 + (2x + x) + 2 = x^2 + 3x + 2$.

Ответ: $x^2 + 3x + 2$.

в) Умножим многочлен $(2 + y)$ на $(y + 3)$.

$(2 + y)(y + 3) = 2 \cdot y + 2 \cdot 3 + y \cdot y + y \cdot 3 = 2y + 6 + y^2 + 3y$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, а затем запишем результат в стандартном виде (в порядке убывания степеней $y$):

$y^2 + (2y + 3y) + 6 = y^2 + 5y + 6$.

Ответ: $y^2 + 5y + 6$.

г) Выражение $(a + b)(a + b)$ является квадратом суммы $(a + b)^2$. Раскроем скобки по правилу умножения многочленов или по формуле квадрата суммы.

$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

По формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$.

д) Выражение $(1 + x)(1 - x)$ представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Для его раскрытия можно использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a=1$ и $b=x$:

$(1 + x)(1 - x) = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$.

Либо можно раскрыть скобки напрямую:

$(1 + x)(1 - x) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-x) + x \cdot 1 + x \cdot (-x) = 1 - x + x - x^2 = 1 - x^2$.

Ответ: $1 - x^2$.

е) Умножим многочлен $(a - 2)$ на $(3 - a)$:

$(a - 2)(3 - a) = a \cdot 3 + a \cdot (-a) - 2 \cdot 3 - 2 \cdot (-a) = 3a - a^2 - 6 + 2a$.

Приведем подобные слагаемые и запишем результат в стандартном виде:

$-a^2 + (3a + 2a) - 6 = -a^2 + 5a - 6$.

Ответ: $-a^2 + 5a - 6$.

ж) Выражение $(x - y)(x + y)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a=x$ и $b=y$:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Проверим, раскрыв скобки:

$(x - y)(x + y) = x \cdot x + x \cdot y - y \cdot x - y \cdot y = x^2 + xy - xy - y^2 = x^2 - y^2$.

Ответ: $x^2 - y^2$.

з) Выражение $(a - b)(a - b)$ является квадратом разности $(a - b)^2$. Раскроем его по формуле сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

$(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Либо раскроем скобки напрямую:

$(a - b)(a - b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2$.

и) Выполним умножение многочленов $(2a + b)$ и $(a + 2b)$:

$(2a + b)(a + 2b) = 2a \cdot a + 2a \cdot 2b + b \cdot a + b \cdot 2b = 2a^2 + 4ab + ab + 2b^2$.

Приведем подобные слагаемые ($4ab$ и $ab$):

$2a^2 + (4ab + ab) + 2b^2 = 2a^2 + 5ab + 2b^2$.

Ответ: $2a^2 + 5ab + 2b^2$.

к) Выражение $(3x + 2y)(3x + 2y)$ является квадратом суммы $(3x + 2y)^2$. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=3x$ и $b=2y$.

$(3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$.

Либо раскроем скобки по правилу умножения многочленов:

$(3x + 2y)(3x + 2y) = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y = 9x^2 + 6xy + 6xy + 4y^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$.

Ответ: $9x^2 + 12xy + 4y^2$.