Страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

291. а) Чему равно произведение двух многочленов?

б) Зависит ли произведение двух многочленов от порядка множителей?

в) По какому правилу умножают три (и более) многочлена?

г) Что называют разложением многочлена на множители?

д) Следует ли приводить перемножаемые многочлены к стандартному виду?

е) Чему равно произведение многочленов, один из которых нулевой?

а) Чему равно произведение двух многочленов?
Чтобы умножить один многочлен на другой, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить. В результате этой операции получается новый многочлен. Например, для многочленов $(x+2)$ и $(x-3)$ произведение находится так: $(x+2)(x-3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-3) = x^2 - 3x + 2x - 6$. После приведения подобных членов получаем итоговый многочлен в стандартном виде: $x^2 - x - 6$.
Ответ: Произведение двух многочленов равно многочлену, который получается в результате сложения произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого.

б) Зависит ли произведение двух многочленов от порядка множителей?
Нет, произведение двух многочленов не зависит от порядка множителей. Это свойство называется переместительным или коммутативным законом умножения. Для любых двух многочленов $P$ и $Q$ справедливо равенство: $P \cdot Q = Q \cdot P$. Это следует из того, что и умножение, и сложение чисел (коэффициентов многочлена) обладают переместительным свойством.
Ответ: Нет, произведение двух многочленов не зависит от порядка множителей.

в) По какому правилу умножают три (и более) многочлена?
Чтобы умножить три или более многочлена, используют последовательное умножение. Сначала умножают первые два многочлена. Затем полученный в результате многочлен умножают на третий многочлен, и так далее, пока не будут перемножены все сомножители. Порядок умножения при этом не важен благодаря сочетательному (ассоциативному) закону умножения, который гласит, что $(P \cdot Q) \cdot R = P \cdot (Q \cdot R)$ для любых многочленов $P$, $Q$ и $R$.
Ответ: Чтобы найти произведение нескольких многочленов, сначала находят произведение первых двух, затем полученный результат умножают на третий, и так далее.

г) Что называют разложением многочлена на множители?
Разложением многочлена на множители называют представление этого многочлена в виде произведения двух или более многочленов (или одночлена и многочлена). Эти многочлены-сомножители, как правило, имеют степень ниже, чем у исходного многочлена. Например, разложение многочлена $x^2 - 4x + 4$ на множители — это представление его в виде $(x-2)(x-2)$ или $(x-2)^2$.
Ответ: Разложением многочлена на множители называют его представление в виде произведения других многочленов.

д) Следует ли приводить перемножаемые многочлены к стандартному виду?
Да, хотя это и не является строго обязательным, приводить многочлены к стандартному виду (то есть приводить подобные члены и располагать их в порядке убывания степеней) перед умножением очень рекомендуется. Это значительно упрощает сам процесс умножения, так как уменьшается количество слагаемых в каждом множителе. В итоге это помогает избежать ошибок и облегчает приведение подобных членов в конечном произведении.
Ответ: Да, рекомендуется приводить многочлены к стандартному виду перед умножением, чтобы упростить вычисления.

е) Чему равно произведение многочленов, один из которых нулевой?
Произведение многочленов, один из которых является нулевым многочленом (то есть многочленом, все коэффициенты которого равны нулю, или просто числом 0), всегда равно нулевому многочлену. Это следует из основного свойства умножения на ноль. Если $P$ — любой многочлен, а $O=0$ — нулевой многочлен, то их произведение $P \cdot O = P \cdot 0 = 0$.
Ответ: Произведение многочленов, один из которых нулевой, равно нулю.

292. Как называют данное выражение:

а) $(a + b)2a;$

б) $3a^2(a - b);$

в) $(x + y)(x + 1);$

г) $(x + 2y)(x^2 - y);$

д) $(m + n)^2;$

е) $(p - q)^2?$

а) Выражение $(a + b)2a$ представляет собой произведение двух множителей. Первый множитель — это сумма $(a + b)$, а второй — одночлен $2a$. Таким образом, данное выражение называют произведением суммы и одночлена. Если выполнить умножение, получится многочлен: $(a + b)2a = a \cdot 2a + b \cdot 2a = 2a^2 + 2ab$.
Ответ: произведение суммы и одночлена.

б) Выражение $3a^2(a - b)$ является произведением одночлена $3a^2$ и многочлена (в данном случае, разности) $(a - b)$. Следовательно, это выражение называют произведением одночлена и многочлена (или, более точно, разности). При раскрытии скобок получается многочлен: $3a^2(a - b) = 3a^2 \cdot a - 3a^2 \cdot b = 3a^3 - 3a^2b$.
Ответ: произведение одночлена и разности.

в) Выражение $(x + y)(x + 1)$ является произведением двух многочленов (двучленов): $(x + y)$ и $(x + 1)$. Чтобы найти его значение, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена: $(x + y)(x + 1) = x \cdot x + x \cdot 1 + y \cdot x + y \cdot 1 = x^2 + x + xy + y$.
Ответ: произведение многочленов.

г) Выражение $(x + 2y)(x^2 - y)$ также представляет собой произведение двух многочленов: $(x + 2y)$ и $(x^2 - y)$.
Ответ: произведение многочленов.

д) Выражение $(m + n)^2$ — это степень, основанием которой является сумма $m + n$, а показателем — число 2. Такое выражение имеет специальное название, которое относится к формулам сокращенного умножения. Это квадрат суммы. Раскрывается по формуле: $(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.
Ответ: квадрат суммы.

е) Выражение $(p - q)^2$ — это степень, основанием которой является разность $p - q$. Это также одна из формул сокращенного умножения. Название этого выражения — квадрат разности. Раскрывается по формуле: $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
Ответ: квадрат разности.

293. Запишите произведение:

a) квадрата $x$ и суммы $x$ и $y$;

б) удвоенного $a$ и разности $a$ и $5$;

в) суммы $a$ и $b$ и числа $7$;

г) разности $3$ и $x$ и половины $b$;

д) квадрата $a$ и суммы $x$ и удвоенного $y$;

е) удвоенного квадрата $a$ и разности $5$ и $b$;

ж) разности $a$ и $b$ и их удвоенной суммы;

з) квадрата $d$ и утроенной разности $a$ и $b$;

и) квадрата разности $a$ и $b$ и числа $6$.

а) Требуется найти произведение двух выражений: "квадрата x" и "суммы x и y". Квадрат x записывается как $x^2$. Сумма x и y записывается как $(x+y)$. Их произведение равно $x^2 \cdot (x+y)$.

Ответ: $x^2(x+y)$

б) Требуется найти произведение "удвоенного a" и "разности a и 5". Удвоенное число a — это $2a$. Разность a и 5 — это $(a-5)$. Их произведение равно $2a \cdot (a-5)$.

Ответ: $2a(a-5)$

в) Требуется найти произведение "суммы a и b" и "числа 7". Сумма a и b записывается как $(a+b)$. Произведение этой суммы и числа 7 равно $(a+b) \cdot 7$, что обычно записывается как $7(a+b)$.

Ответ: $7(a+b)$

г) Требуется найти произведение "разности 3 и x" и "половины b". Разность 3 и x записывается как $(3-x)$. Половина b — это $\frac{b}{2}$. Произведение этих выражений равно $(3-x) \cdot \frac{b}{2}$.

Ответ: $(3-x)\frac{b}{2}$

д) Требуется найти произведение "квадрата a" и "суммы x и удвоенного y". Квадрат a — это $a^2$. Удвоенное y — это $2y$. Сумма x и удвоенного y — это $(x+2y)$. Произведение квадрата a и этой суммы равно $a^2 \cdot (x+2y)$.

Ответ: $a^2(x+2y)$

е) Требуется найти произведение "удвоенного квадрата a" и "разности 5 и b". Удвоенный квадрат a — это $2a^2$. Разность 5 и b — это $(5-b)$. Произведение этих выражений равно $2a^2 \cdot (5-b)$.

Ответ: $2a^2(5-b)$

ж) Требуется найти произведение "разности a и b" и "их удвоенной суммы". Разность a и b — это $(a-b)$. Их сумма — это $(a+b)$. Их удвоенная сумма — это $2(a+b)$. Произведение разности и удвоенной суммы равно $(a-b) \cdot 2(a+b)$.

Ответ: $2(a-b)(a+b)$

з) Требуется найти произведение "квадрата d" и "утроенной разности a и b". Квадрат d — это $d^2$. Разность a и b — это $(a-b)$. Утроенная разность — это $3(a-b)$. Произведение квадрата d и утроенной разности равно $d^2 \cdot 3(a-b)$.

Ответ: $3d^2(a-b)$

и) Требуется найти произведение "квадрата разности a и b" и "числа 6". Разность a и b — это $(a-b)$. Квадрат этой разности — это $(a-b)^2$. Произведение квадрата разности и числа 6 равно $(a-b)^2 \cdot 6$.

Ответ: $6(a-b)^2$

Выполните умножение (294–295):

294. а) $(a + 1)(a + 1)$;

б) $(x + 1)(x + 2)$;

в) $(2 + y)(y + 3)$;

г) $(a + b)(a + b)$;

д) $(1 + x)(1 - x)$;

е) $(a - 2)(3 - a)$;

ж) $(x - y)(x + y)$;

з) $(a - b)(a - b)$;

и) $(2a + b)(a + 2b)$;

к) $(3x + 2y)(3x + 2y)$.

а) Для умножения двух многочленов $(a + 1)$ и $(a + 1)$ необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные произведения. Это выражение также является квадратом суммы $(a+1)^2$.

$(a + 1)(a + 1) = a \cdot a + a \cdot 1 + 1 \cdot a + 1 \cdot 1 = a^2 + a + a + 1 = a^2 + 2a + 1$.

Можно также применить формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(a + 1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1$.

Ответ: $a^2 + 2a + 1$.

б) Умножим многочлен $(x + 1)$ на $(x + 2)$, используя правило умножения многочленов (каждый член первого на каждый член второго):

$(x + 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = x^2 + 2x + x + 2$.

Приведем подобные слагаемые ($2x$ и $x$):

$x^2 + (2x + x) + 2 = x^2 + 3x + 2$.

Ответ: $x^2 + 3x + 2$.

в) Умножим многочлен $(2 + y)$ на $(y + 3)$.

$(2 + y)(y + 3) = 2 \cdot y + 2 \cdot 3 + y \cdot y + y \cdot 3 = 2y + 6 + y^2 + 3y$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, а затем запишем результат в стандартном виде (в порядке убывания степеней $y$):

$y^2 + (2y + 3y) + 6 = y^2 + 5y + 6$.

Ответ: $y^2 + 5y + 6$.

г) Выражение $(a + b)(a + b)$ является квадратом суммы $(a + b)^2$. Раскроем скобки по правилу умножения многочленов или по формуле квадрата суммы.

$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

По формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$.

д) Выражение $(1 + x)(1 - x)$ представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Для его раскрытия можно использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a=1$ и $b=x$:

$(1 + x)(1 - x) = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$.

Либо можно раскрыть скобки напрямую:

$(1 + x)(1 - x) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-x) + x \cdot 1 + x \cdot (-x) = 1 - x + x - x^2 = 1 - x^2$.

Ответ: $1 - x^2$.

е) Умножим многочлен $(a - 2)$ на $(3 - a)$:

$(a - 2)(3 - a) = a \cdot 3 + a \cdot (-a) - 2 \cdot 3 - 2 \cdot (-a) = 3a - a^2 - 6 + 2a$.

Приведем подобные слагаемые и запишем результат в стандартном виде:

$-a^2 + (3a + 2a) - 6 = -a^2 + 5a - 6$.

Ответ: $-a^2 + 5a - 6$.

ж) Выражение $(x - y)(x + y)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a=x$ и $b=y$:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Проверим, раскрыв скобки:

$(x - y)(x + y) = x \cdot x + x \cdot y - y \cdot x - y \cdot y = x^2 + xy - xy - y^2 = x^2 - y^2$.

Ответ: $x^2 - y^2$.

з) Выражение $(a - b)(a - b)$ является квадратом разности $(a - b)^2$. Раскроем его по формуле сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

$(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Либо раскроем скобки напрямую:

$(a - b)(a - b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2$.

и) Выполним умножение многочленов $(2a + b)$ и $(a + 2b)$:

$(2a + b)(a + 2b) = 2a \cdot a + 2a \cdot 2b + b \cdot a + b \cdot 2b = 2a^2 + 4ab + ab + 2b^2$.

Приведем подобные слагаемые ($4ab$ и $ab$):

$2a^2 + (4ab + ab) + 2b^2 = 2a^2 + 5ab + 2b^2$.

Ответ: $2a^2 + 5ab + 2b^2$.

к) Выражение $(3x + 2y)(3x + 2y)$ является квадратом суммы $(3x + 2y)^2$. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=3x$ и $b=2y$.

$(3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$.

Либо раскроем скобки по правилу умножения многочленов:

$(3x + 2y)(3x + 2y) = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y = 9x^2 + 6xy + 6xy + 4y^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$.

Ответ: $9x^2 + 12xy + 4y^2$.