Страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

265. Найдите многочлен, равный сумме многочленов:

а) $3a$ и $(a + 2b);$

б) $7x$ и $(2 - 3x);$

в) $(3 - 2a)$ и $(-5a - 7);$

г) $(3x - y)$ и $(-2x + 4y).$

а) Чтобы найти многочлен, равный сумме многочленов $3a$ и $(a + 2b)$, нужно сложить эти выражения. Запишем сумму:

$3a + (a + 2b)$

Раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак «+», знаки слагаемых внутри скобок не меняются:

$3a + a + 2b$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $3a$ и $a$ являются подобными. Сложим их:

$(3a + a) + 2b = 4a + 2b$

Ответ: $4a + 2b$

б) Найдем сумму многочленов $7x$ и $(2 - 3x)$. Запишем сумму:

$7x + (2 - 3x)$

Раскроем скобки:

$7x + 2 - 3x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются $7x$ и $-3x$:

$(7x - 3x) + 2 = 4x + 2$

Ответ: $4x + 2$

в) Найдем сумму многочленов $(3 - 2a)$ и $(-5a - 7)$. Запишем сумму:

$(3 - 2a) + (-5a - 7)$

Раскроем скобки. Знаки слагаемых во второй скобке не изменятся:

$3 - 2a - 5a - 7$

Сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $a$ и свободные члены (числа):

$(-2a - 5a) + (3 - 7)$

Выполним сложение в каждой группе:

$-7a - 4$

Ответ: $-7a - 4$

г) Найдем сумму многочленов $(3x - y)$ и $(-2x + 4y)$. Запишем сумму:

$(3x - y) + (-2x + 4y)$

Раскроем скобки:

$3x - y - 2x + 4y$

Сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $x$ и слагаемые с переменной $y$:

$(3x - 2x) + (-y + 4y)$

Выполним действия в каждой группе:

$x + 3y$

Ответ: $x + 3y$

266. Найдите многочлен, равный разности многочленов:

а) $(a + b)$ и $4a$;

б) $6x$ и $(4 - 7x)$;

в) $(4b + 2)$ и $(5 - b)$;

г) $(2x - 7a)$ и $(4a + x)$.

Чтобы найти многочлен, равный разности многочленов $(a + b)$ и $4a$, необходимо из первого многочлена вычесть второй:

$(a + b) - 4a$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):

$a + b - 4a = (a - 4a) + b = -3a + b$

Ответ: $-3a + b$.

Чтобы найти многочлен, равный разности многочленов $6x$ и $(4 - 7x)$, необходимо из первого многочлена вычесть второй:

$6x - (4 - 7x)$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$6x - 4 + 7x$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(6x + 7x) - 4 = 13x - 4$

Ответ: $13x - 4$.

Чтобы найти многочлен, равный разности многочленов $(4b + 2)$ и $(5 - b)$, необходимо из первого многочлена вычесть второй:

$(4b + 2) - (5 - b)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому знаки слагаемых внутри неё меняются на противоположные:

$4b + 2 - 5 + b$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(4b + b) + (2 - 5) = 5b - 3$

Ответ: $5b - 3$.

Чтобы найти многочлен, равный разности многочленов $(2x - 7a)$ и $(4a + x)$, необходимо из первого многочлена вычесть второй:

$(2x - 7a) - (4a + x)$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых во втором многочлене:

$2x - 7a - 4a - x$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(2x - x) + (-7a - 4a) = x - 11a$

Ответ: $x - 11a$.

267. Раскройте скобки и упростите полученное выражение:

а) $(5a + 3) - (a + b);$

б) $(3x - 1) - (y - 2x);$

в) $(2a + b) - (a + 2b);$

г) $(x - 2y) - (2x - 4y).$

а) $(5a + 3) - (a + b)$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть скобки. Если перед скобкой стоит знак «+» (или знак отсутствует), то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого. Если перед скобкой стоит знак «−», то скобки опускаются, а знак каждого слагаемого в скобках меняется на противоположный.

$(5a + 3) - (a + b) = 5a + 3 - a - b$

Далее приведем подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном выражении это $5a$ и $-a$.

$(5a - a) - b + 3 = 4a - b + 3$

Ответ: $4a - b + 3$

б) $(3x - 1) - (y - 2x)$

Раскрываем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «−», поэтому знаки слагаемых $y$ и $-2x$ изменятся на противоположные.

$(3x - 1) - (y - 2x) = 3x - 1 - y + 2x$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. В данном случае это $3x$ и $2x$.

$(3x + 2x) - y - 1 = 5x - y - 1$

Ответ: $5x - y - 1$

в) $(2a + b) - (a + 2b)$

Раскрываем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «−», меняем знаки у слагаемых внутри нее.

$(2a + b) - (a + 2b) = 2a + b - a - 2b$

Группируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $a$ и слагаемые с переменной $b$.

$(2a - a) + (b - 2b) = a - b$

Ответ: $a - b$

г) $(x - 2y) - (2x - 4y)$

Раскрываем скобки. Знак «−» перед второй скобкой меняет знаки у слагаемых $2x$ и $-4y$.

$(x - 2y) - (2x - 4y) = x - 2y - 2x + 4y$

Приводим подобные слагаемые, группируя слагаемые с $x$ и с $y$.

$(x - 2x) + (-2y + 4y) = -x + 2y$

Для удобства можно поменять слагаемые местами: $2y - x$.

Ответ: $-x + 2y$

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида (268–269):

268. а) $(5a^2 - 4a) - (2a^2 + 5a);

б) $(3x - 5x^3) - (7x^3 - 4x);

в) $(a + b + c) + (a - b + c);

г) $(x - y + n) + (x - y - n);

д) $(7a - 3b) - (5a + 3b) - (a - 5b);

е) $(8x - 5) + (3x - 7) - (9x - 11);

ж) $43x - 19y - (15x - 34y) + (9x - 7y);

з) $48a - (2a - 2b) - (14b - 28a) + (24b - 18a);

и) $5 - 7a - (8 - 6a) + (5 + a).$

а) $(5a^2 - 4a) - (2a^2 + 5a)$

Чтобы преобразовать выражение в многочлен стандартного вида, сначала раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому знаки всех слагаемых внутри неё меняются на противоположные:

$(5a^2 - 4a) - (2a^2 + 5a) = 5a^2 - 4a - 2a^2 - 5a$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью):

$(5a^2 - 2a^2) + (-4a - 5a) = 3a^2 - 9a$

Ответ: $3a^2 - 9a$

б) $(3x - 5x^3) - (7x^3 - 4x)$

Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке:

$(3x - 5x^3) - (7x^3 - 4x) = 3x - 5x^3 - 7x^3 + 4x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Для стандартного вида расположим члены по убыванию степеней переменной $x$:

$(-5x^3 - 7x^3) + (3x + 4x) = -12x^3 + 7x$

Ответ: $-12x^3 + 7x$

в) $(a + b + c) + (a - b + c)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «плюс», знаки слагаемых не меняются:

$(a + b + c) + (a - b + c) = a + b + c + a - b + c$

Приведем подобные слагаемые:

$(a + a) + (b - b) + (c + c) = 2a + 0 + 2c = 2a + 2c$

Ответ: $2a + 2c$

г) $(x - y + n) + (x - y - n)$

Раскроем скобки:

$(x - y + n) + (x - y - n) = x - y + n + x - y - n$

Приведем подобные слагаемые:

$(x + x) + (-y - y) + (n - n) = 2x - 2y + 0 = 2x - 2y$

Ответ: $2x - 2y$

д) $(7a - 3b) - (5a + 3b) - (a - 5b)$

Раскроем все скобки. Перед второй и третьей скобками стоит знак «минус», поэтому знаки слагаемых в них меняем:

$(7a - 3b) - (5a + 3b) - (a - 5b) = 7a - 3b - 5a - 3b - a + 5b$

Приведем подобные слагаемые:

$(7a - 5a - a) + (-3b - 3b + 5b) = (2a - a) + (-6b + 5b) = a - b$

Ответ: $a - b$

е) $(8x - 5) + (3x - 7) - (9x - 11)$

Раскроем все скобки:

$(8x - 5) + (3x - 7) - (9x - 11) = 8x - 5 + 3x - 7 - 9x + 11$

Приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):

$(8x + 3x - 9x) + (-5 - 7 + 11) = (11x - 9x) + (-12 + 11) = 2x - 1$

Ответ: $2x - 1$

ж) $43x - 19y - (15x - 34y) + (9x - 7y)$

Раскроем скобки:

$43x - 19y - 15x + 34y + 9x - 7y$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(43x - 15x + 9x) + (-19y + 34y - 7y) = (28x + 9x) + (15y - 7y) = 37x + 8y$

Ответ: $37x + 8y$

з) $48a - (2a - 2b) - (14b - 28a) + (24b - 18a)$

Раскроем все скобки:

$48a - 2a + 2b - 14b + 28a + 24b - 18a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(48a - 2a + 28a - 18a) + (2b - 14b + 24b) = (46a + 28a - 18a) + (-12b + 24b) = (74a - 18a) + 12b = 56a + 12b$

Ответ: $56a + 12b$

и) $5 - 7a - (8 - 6a) + (5 + a)$

Раскроем скобки:

$5 - 7a - 8 + 6a + 5 + a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-7a + 6a + a) + (5 - 8 + 5) = (-a + a) + (10 - 8) = 0 + 2 = 2$

Ответ: $2$

269. а) $(x^2 + 4x) + (x^2 - x + 1) - (x^2 - x);$

б) $(a^5 + 5a^2 + 3a - a) - (a^3 - 3a^2 + a);$

В) $(x^2 - 3x + 2) - (-2x - 3);$

Г) $(abc + 1) + (-1 - abc).$

а) Чтобы упростить выражение $(x^2 + 4x) + (x^2 - x + 1) - (x^2 - x)$, сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «+» или нет знака, то знаки слагаемых в скобках не меняются. Если перед скобкой стоит знак «-», то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$(x^2 + 4x) + (x^2 - x + 1) - (x^2 - x) = x^2 + 4x + x^2 - x + 1 - x^2 + x$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с $x^2$, с $x$ и свободные члены.

$(x^2 + x^2 - x^2) + (4x - x + x) + 1$

Выполняем сложение и вычитание в каждой группе:

$x^2 + 4x + 1$

Ответ: $x^2 + 4x + 1$

б) Упростим выражение $(a^5 + 5a^2 + 3a - a) - (a^3 - 3a^2 + a)$. Сначала выполним действие в первых скобках.

$a^5 + 5a^2 + (3a - a) = a^5 + 5a^2 + 2a$

Теперь выражение выглядит так: $(a^5 + 5a^2 + 2a) - (a^3 - 3a^2 + a)$.

Раскроем скобки. Перед вторыми скобками стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых внутри них изменятся на противоположные.

$a^5 + 5a^2 + 2a - a^3 + 3a^2 - a$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по степеням переменной $a$ в порядке убывания.

$a^5 - a^3 + (5a^2 + 3a^2) + (2a - a)$

Выполним действия в группах:

$a^5 - a^3 + 8a^2 + a$

Ответ: $a^5 - a^3 + 8a^2 + a$

в) Упростим выражение $(x^2 - 3x + 2) - (-2x - 3)$. Раскроем скобки. Перед вторыми скобками стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых $-2x$ и $-3$ меняются на $+2x$ и $+3$.

$x^2 - 3x + 2 - (-2x) - (-3) = x^2 - 3x + 2 + 2x + 3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$x^2 + (-3x + 2x) + (2 + 3)$

Выполним сложение и вычитание:

$x^2 - x + 5$

Ответ: $x^2 - x + 5$

г) Упростим выражение $(abc + 1) + (-1 - abc)$. Раскроем скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак «+» (или нет знака), знаки слагаемых не меняются.

$abc + 1 - 1 - abc$

Сгруппируем подобные слагаемые.

$(abc - abc) + (1 - 1)$

Выполним вычитание в каждой группе:

$0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

270. Вместо букв $M$ и $N$ подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:

а) $(a + b + c) + (M - N + c) = 4a - 2b + 2c$

б) $(7x - N) - (M + 2y) = 3x - 2y$

в) $(M + N) - (2a - b) + (a - 4b) = 5a + 7b$

г) $(a - M) - (N + 7b) - (2a + b) = -5a - 10b$

а) Чтобы найти одночлены $M$ и $N$, преобразуем данное равенство: $(a + b + c) + (M - N + c) = 4a - 2b + 2c$.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
$a + b + c + M - N + c = 4a - 2b + 2c$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:
$a + b + 2c + M - N = 4a - 2b + 2c$
Выразим разность $(M - N)$, перенеся остальные слагаемые из левой части в правую с противоположным знаком:
$M - N = (4a - 2b + 2c) - (a + b + 2c)$
$M - N = 4a - 2b + 2c - a - b - 2c$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$M - N = (4a - a) + (-2b - b) + (2c - 2c)$
$M - N = 3a - 3b$
Чтобы это равенство выполнялось, а $M$ и $N$ были одночленами, можно положить, что $M = 3a$ и $-N = -3b$, откуда следует, что $N = 3b$. Существуют и другие решения, но это одно из возможных.
Ответ: $M = 3a$, $N = 3b$.

б) Рассмотрим равенство: $(7x - N) - (M + 2y) = 3x - 2y$.
Раскроем скобки в левой части, учитывая знак минус перед второй скобкой:
$7x - N - M - 2y = 3x - 2y$
Сгруппируем слагаемые с $M$ и $N$:
$7x - 2y - (M + N) = 3x - 2y$
Выразим сумму $(M + N)$. Сначала выразим $-(M + N)$:
$-(M + N) = (3x - 2y) - (7x - 2y)$
$-(M + N) = 3x - 2y - 7x + 2y$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$-(M + N) = (3x - 7x) + (-2y + 2y)$
$-(M + N) = -4x$
Умножим обе части на $-1$, чтобы найти $M + N$:
$M + N = 4x$
Нужно подобрать такие одночлены $M$ и $N$, чтобы их сумма была равна $4x$. Можно выбрать, например, $M = 4x$ и $N = 0$, или $M = 2x$ и $N = 2x$. Выберем один из вариантов.
Ответ: $M = 4x$, $N = 0$.

в) Рассмотрим равенство: $(M + N) - (2a - b) + (a - 4b) = 5a + 7b$.
Раскроем скобки и упростим левую часть:
$M + N - 2a + b + a - 4b = 5a + 7b$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$M + N + (-2a + a) + (b - 4b) = 5a + 7b$
$M + N - a - 3b = 5a + 7b$
Выразим сумму $(M + N)$, перенеся известные слагаемые в правую часть:
$M + N = 5a + 7b + a + 3b$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$M + N = (5a + a) + (7b + 3b)$
$M + N = 6a + 10b$
Чтобы $M$ и $N$ были одночленами, их сумма должна быть равна многочлену $6a + 10b$. Это возможно, если $M$ и $N$ являются слагаемыми этого многочлена. Например, пусть $M = 6a$ и $N = 10b$.
Ответ: $M = 6a$, $N = 10b$.

г) Рассмотрим равенство: $(a - M) - (N + 7b) - (2a + b) = -5a - 10b$.
Раскроем все скобки в левой части:
$a - M - N - 7b - 2a - b = -5a - 10b$
Приведем подобные слагаемые и сгруппируем $M$ и $N$:
$(a - 2a) + (-7b - b) - (M + N) = -5a - 10b$
$-a - 8b - (M + N) = -5a - 10b$
Выразим сумму $-(M + N)$:
$-(M + N) = -5a - 10b - (-a - 8b)$
$-(M + N) = -5a - 10b + a + 8b$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$-(M + N) = (-5a + a) + (-10b + 8b)$
$-(M + N) = -4a - 2b$
Умножим обе части равенства на $-1$:
$M + N = 4a + 2b$
Как и в предыдущем задании, подберем одночлены $M$ и $N$ так, чтобы их сумма равнялась многочлену $4a + 2b$. Пусть $M = 4a$ и $N = 2b$.
Ответ: $M = 4a$, $N = 2b$.

271. Упростите:

а) $(2a^2b - 10b^3) - (4a^2b - 12b^3);$

б) $(3xy^2 + 7x^2y) - (2xy^2 - 6x^2y);$

в) $12ab - 30bc - 3cx - (15bc + 9cx);$

г) $(10abc - 8bcx - 21cxy) - (-6abc + bcx - cxy);$

д) $(0,6ab - 0,5bc + cx) - (2,5bc - 0,5ab - cx);$

е) $\left(\frac{1}{2}x^2y^2 - \frac{2}{3}ab - \frac{5}{6}a^2b - 1\right) - \left(a^2b - \frac{1}{3}x^2y^2 + \frac{1}{12}ab - \frac{1}{4}\right).$

а) Для упрощения выражения необходимо раскрыть скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные. Затем нужно сгруппировать и привести подобные слагаемые.
$(2a^2b - 10b^3) - (4a^2b - 12b^3) = 2a^2b - 10b^3 - 4a^2b + 12b^3$
Группируем подобные члены: $(2a^2b - 4a^2b) + (-10b^3 + 12b^3)$
Выполняем действия: $-2a^2b + 2b^3$
Ответ: $2b^3 - 2a^2b$.

б) Раскрываем скобки, меняя знаки у второго многочлена, и приводим подобные слагаемые.
$(3xy^2 + 7x^2y) - (2xy^2 - 6x^2y) = 3xy^2 + 7x^2y - 2xy^2 + 6x^2y$
Группируем подобные члены: $(3xy^2 - 2xy^2) + (7x^2y + 6x^2y)$
Выполняем действия: $xy^2 + 13x^2y$
Ответ: $xy^2 + 13x^2y$.

в) В данном выражении нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
$12ab - 30bc - 3cx - (15bc + 9cx) = 12ab - 30bc - 3cx - 15bc - 9cx$
Группируем подобные члены: $12ab + (-30bc - 15bc) + (-3cx - 9cx)$
Выполняем действия: $12ab - 45bc - 12cx$
Ответ: $12ab - 45bc - 12cx$.

г) Раскрываем скобки с учётом знака минус перед ними и приводим подобные слагаемые.
$(10abc - 8bcx - 21cxy) - (-6abc + bcx - cxy) = 10abc - 8bcx - 21cxy + 6abc - bcx + cxy$
Группируем подобные члены: $(10abc + 6abc) + (-8bcx - bcx) + (-21cxy + cxy)$
Выполняем действия: $16abc - 9bcx - 20cxy$
Ответ: $16abc - 9bcx - 20cxy$.

д) Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые с десятичными дробями.
$(0,6ab - 0,5bc + cx) - (2,5bc - 0,5ab - cx) = 0,6ab - 0,5bc + cx - 2,5bc + 0,5ab + cx$
Группируем подобные члены: $(0,6ab + 0,5ab) + (-0,5bc - 2,5bc) + (cx + cx)$
Выполняем действия: $1,1ab - 3bc + 2cx$
Ответ: $1,1ab - 3bc + 2cx$.

е) Для упрощения этого выражения с обыкновенными дробями, сначала раскроем скобки, а затем сгруппируем подобные слагаемые и приведем их к общему знаменателю для выполнения действий.
$(\frac{1}{2}x^2y^2 - \frac{2}{3}ab - \frac{5}{6}a^2b - 1) - (a^2b - \frac{1}{3}x^2y^2 + \frac{1}{12}ab - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2}x^2y^2 - \frac{2}{3}ab - \frac{5}{6}a^2b - 1 - a^2b + \frac{1}{3}x^2y^2 - \frac{1}{12}ab + \frac{1}{4}$
Группируем подобные члены: $(\frac{1}{2}x^2y^2 + \frac{1}{3}x^2y^2) + (-\frac{2}{3}ab - \frac{1}{12}ab) + (-\frac{5}{6}a^2b - a^2b) + (-1 + \frac{1}{4})$
Приводим дроби к общему знаменателю и вычисляем: $(\frac{3}{6}x^2y^2 + \frac{2}{6}x^2y^2) + (-\frac{8}{12}ab - \frac{1}{12}ab) + (-\frac{5}{6}a^2b - \frac{6}{6}a^2b) + (-\frac{4}{4} + \frac{1}{4})$
Получаем: $\frac{5}{6}x^2y^2 - \frac{9}{12}ab - \frac{11}{6}a^2b - \frac{3}{4}$
Сокращаем дробь: $\frac{5}{6}x^2y^2 - \frac{3}{4}ab - \frac{11}{6}a^2b - \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{5}{6}x^2y^2 - \frac{11}{6}a^2b - \frac{3}{4}ab - \frac{3}{4}$.

272. При некоторых преобразованиях бывает необходимо изменить знак, стоящий перед скобками, на противоположный, например: $(a - b) = -(-a + b) = -(b - a)$.

Используя этот приём, измените знак, стоящий перед двучленом:

а) $(2a - 3b)$;

б) $(x + y)$;

в) $(-a - b)$;

г) $(-7a + 3).

а) Чтобы изменить знак, стоящий перед двучленом $(2a - 3b)$, на противоположный, мы ставим знак минус перед скобками, а знаки всех членов внутри скобок меняем на противоположные.
$ (2a - 3b) = -(-2a + 3b) $
Для удобства записи поменяем слагаемые в скобках местами:
$ -(3b - 2a) $
Ответ: $-(3b - 2a)$.

б) Для выражения $(x + y)$ ставим знак минус перед скобками и меняем знаки у каждого слагаемого внутри на противоположные.
$ (x + y) = -(-x - y) $
Ответ: $-(-x - y)$.

в) Для выражения $(-a - b)$ ставим знак минус перед скобками и меняем знаки слагаемых $-a$ и $-b$ на противоположные.
$ (-a - b) = -(a + b) $
Ответ: $-(a + b)$.

г) Для выражения $(-7a + 3)$ ставим знак минус перед скобками и меняем знаки слагаемых $-7a$ и $+3$ на противоположные.
$ (-7a + 3) = -(7a - 3) $
Ответ: $-(7a - 3)$.