Страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

250. Какими свойствами многочленов воспользовались при упрощении многочлена:

a) $a + b - a = a - a + b = 0 + b = b;$

б) $2x - y + x - 3y - 5x = 2x + x - 5x - y - 3y = (2 + 1 - 5)x - (1 + 3)y = -2x - 4y?$

а) При упрощении многочлена $a + b - a = a - a + b = 0 + b = b$ были использованы следующие свойства:

1. На первом шаге, $a + b - a = a - a + b$, используется переместительное (коммутативное) свойство сложения. Оно позволяет менять местами слагаемые ($x + y = y + x$). В данном случае слагаемые $b$ и $-a$ поменялись местами. Также неявно используется сочетательное (ассоциативное) свойство сложения, которое позволяет группировать слагаемые ($(x + y) + z = x + (y + z)$). Эти два свойства вместе позволяют произвольно переставлять и группировать слагаемые.

2. На втором шаге, $a - a + b = 0 + b$, используется свойство противоположных чисел (аддитивной инверсии). Сумма противоположных чисел равна нулю: $a + (-a) = 0$.

3. На третьем шаге, $0 + b = b$, используется свойство нуля при сложении (свойство аддитивного тождества). Прибавление нуля к любому числу не изменяет это число: $0 + x = x$.

Ответ: Переместительное и сочетательное свойства сложения, свойство противоположных чисел и свойство нуля при сложении.

б) При упрощении многочлена $2x - y + x - 3y - 5x = 2x + x - 5x - y - 3y = (2 + 1 - 5)x - (1 + 3)y = -2x - 4y$ были использованы следующие свойства:

1. На первом шаге, $2x - y + x - 3y - 5x = 2x + x - 5x - y - 3y$, выполняется группировка подобных слагаемых. Это возможно благодаря переместительному (коммутативному) и сочетательному (ассоциативному) свойствам сложения, которые позволяют переставлять и группировать члены многочлена.

2. На втором шаге, $2x + x - 5x - y - 3y = (2 + 1 - 5)x - (1 + 3)y$, используется распределительное (дистрибутивное) свойство умножения относительно сложения. Это свойство позволяет выносить общий множитель за скобки: $ac + bc = (a + b)c$. В данном случае для слагаемых с переменной $x$ общий множитель $x$ выносится за скобки: $2x + 1x - 5x = (2 + 1 - 5)x$. Аналогично для слагаемых с $y$: $-y - 3y = (-1)y + (-3)y = (-1 - 3)y = -(1+3)y$. Этот процесс называется приведением подобных слагаемых.

Ответ: Переместительное и сочетательное свойства сложения, распределительное свойство (приведение подобных слагаемых).

Упростите многочлен (251–253):

251. а) $2a + 5b + 7a;$

б) $2x + 3y + 10x;$

в) $7a + b + 3a + b;$

г) $a + 7b + b + 2a;$

д) $2x + y + 3x + y + 4x;$

е) $a + 2x + 5x + 2a + 9x.$

а) Чтобы упростить многочлен $2a + 5b + 7a$, необходимо привести подобные члены. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном выражении подобными являются $2a$ и $7a$. Сложим их коэффициенты: $2a + 7a = (2 + 7)a = 9a$. Слагаемое $5b$ не имеет подобных, поэтому остается без изменений. Собираем все вместе.

$2a + 5b + 7a = (2a + 7a) + 5b = 9a + 5b$

Ответ: $9a + 5b$

б) В многочлене $2x + 3y + 10x$ подобными членами являются $2x$ и $10x$. Складываем их: $2x + 10x = (2 + 10)x = 12x$. Член $3y$ остается без изменений, так как подобных ему членов нет. Таким образом, получаем:

$2x + 3y + 10x = (2x + 10x) + 3y = 12x + 3y$

Ответ: $12x + 3y$

в) В данном многочлене $7a + b + 3a + b$ есть две пары подобных членов: $7a$ и $3a$, а также $b$ и $b$. Сгруппируем и сложим их по отдельности. Учитываем, что $b$ — это то же самое, что и $1b$.

$7a + b + 3a + b = (7a + 3a) + (b + b) = (7+3)a + (1+1)b = 10a + 2b$

Ответ: $10a + 2b$

г) В выражении $a + 7b + b + 2a$ сгруппируем подобные члены. Члены с переменной $a$: $a$ и $2a$. Члены с переменной $b$: $7b$ и $b$. Упрощаем, складывая коэффициенты при одинаковых переменных.

$a + 7b + b + 2a = (a + 2a) + (7b + b) = (1+2)a + (7+1)b = 3a + 8b$

Ответ: $3a + 8b$

д) В многочлене $2x + y + 3x + y + 4x$ есть подобные члены с переменной $x$ ($2x$, $3x$, $4x$) и с переменной $y$ ($y$, $y$). Выполним их сложение.

$2x + y + 3x + y + 4x = (2x + 3x + 4x) + (y + y) = (2+3+4)x + (1+1)y = 9x + 2y$

Ответ: $9x + 2y$

е) В выражении $a + 2x + 5x + 2a + 9x$ найдем и сгруппируем все подобные члены. Члены с переменной $a$: $a$ и $2a$. Члены с переменной $x$: $2x$, $5x$ и $9x$. Сложим их.

$a + 2x + 5x + 2a + 9x = (a + 2a) + (2x + 5x + 9x) = (1+2)a + (2+5+9)x = 3a + 16x$

Ответ: $3a + 16x$

252. a) $12a + 5b - 4a;$

в) $17x - 4y + 5x + 4y;$

д) $40x + 15y - 40x - 16y;$

ж) $2b - 6y + b + 5y - 3b;$

б) $19x - 24y + x;$

г) $5a - 2y + 4a + 2y;$

е) $9a - 3b + 5a - 7b - 8a;$

з) $a + 2x + a - 13x - 2a.$

а) Чтобы упростить выражение $12a + 5b - 4a$, нужно найти и сложить подобные слагаемые. Подобными слагаемыми являются те, у которых одинаковая буквенная часть. В данном случае это $12a$ и $-4a$.

Сгруппируем их и выполним вычитание:

$(12a - 4a) + 5b = (12 - 4)a + 5b = 8a + 5b$.

Ответ: $8a + 5b$

б) В выражении $19x - 24y + x$ подобными слагаемыми являются $19x$ и $x$.

Сгруппируем и сложим их:

$(19x + x) - 24y = (19 + 1)x - 24y = 20x - 24y$.

Ответ: $20x - 24y$

в) В выражении $17x - 4y + 5x + 4y$ есть две пары подобных слагаемых: $17x$ и $5x$, а также $-4y$ и $4y$.

Сгруппируем их и выполним действия:

$(17x + 5x) + (-4y + 4y) = (17 + 5)x + (-4 + 4)y = 22x + 0y = 22x$.

Ответ: $22x$

г) В выражении $5a - 2y + 4a + 2y$ есть две пары подобных слагаемых: $5a$ и $4a$, а также $-2y$ и $2y$.

Сгруппируем их и выполним действия:

$(5a + 4a) + (-2y + 2y) = (5 + 4)a + (-2 + 2)y = 9a + 0y = 9a$.

Ответ: $9a$

д) В выражении $40x + 15y - 40x - 16y$ есть две пары подобных слагаемых: $40x$ и $-40x$, а также $15y$ и $-16y$.

Сгруппируем их и выполним действия:

$(40x - 40x) + (15y - 16y) = (40 - 40)x + (15 - 16)y = 0x - 1y = -y$.

Ответ: $-y$

е) В выражении $9a - 3b + 5a - 7b - 8a$ есть две группы подобных слагаемых: с переменной $a$ ($9a$, $5a$, $-8a$) и с переменной $b$ ($-3b$, $-7b$).

Сгруппируем их и выполним действия:

$(9a + 5a - 8a) + (-3b - 7b) = (9 + 5 - 8)a + (-3 - 7)b = 6a - 10b$.

Ответ: $6a - 10b$

ж) В выражении $2b - 6y + b + 5y - 3b$ есть две группы подобных слагаемых: с переменной $b$ ($2b$, $b$, $-3b$) и с переменной $y$ ($-6y$, $5y$).

Сгруппируем их и выполним действия:

$(2b + b - 3b) + (-6y + 5y) = (2 + 1 - 3)b + (-6 + 5)y = 0b - 1y = -y$.

Ответ: $-y$

з) В выражении $a + 2x + a - 13x - 2a$ есть две группы подобных слагаемых: с переменной $a$ ($a$, $a$, $-2a$) и с переменной $x$ ($2x$, $-13x$).

Сгруппируем их и выполним действия:

$(a + a - 2a) + (2x - 13x) = (1 + 1 - 2)a + (2 - 13)x = 0a - 11x = -11x$.

Ответ: $-11x$

253. а) $1,1x - 2,7y + 0,8x - x + 3y;$

б) $27a - 3,1b + 9a + 3,1a + 0,4b - a;$

в) $\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y - 2x + 1\frac{1}{4}y;$

г) $15a - 4x - 5,6a + 2,3x + a;$

д) $67,1a - \frac{1}{3}b + \frac{1}{5}a + 2b + 2,5a - 7b;$

е) $\frac{1}{4}b - 7x - 3,2b + 2\frac{3}{4}x + b + 0,6x;$

ж) $xyx - 2x^2y + 2x - 3x;$

з) $ba^2 - 3a^3 + 7aba + 3a^2 - 8a^2b.$

а) Чтобы упростить выражение $1,1x - 2,7y + 0,8x - x + 3y$, сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$:

$(1,1x + 0,8x - x) + (-2,7y + 3y)$

Выполним сложение и вычитание коэффициентов в каждой группе:

$(1,1 + 0,8 - 1)x + (-2,7 + 3)y = 0,9x + 0,3y$

Ответ: $0,9x + 0,3y$

б) Чтобы упростить выражение $27a - 3,1b + 9a + 3,1a + 0,4b - a$, сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и с переменной $b$:

$(27a + 9a + 3,1a - a) + (-3,1b + 0,4b)$

Выполним действия с коэффициентами:

$(27 + 9 + 3,1 - 1)a + (-3,1 + 0,4)b = (36 + 2,1)a - 2,7b = 38,1a - 2,7b$

Ответ: $38,1a - 2,7b$

в) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y - 2x + 1\frac{1}{4}y$, сгруппируем подобные слагаемые.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(\frac{1}{3}x - 2x) + (\frac{2}{5}y + 1\frac{1}{4}y)$

Приведем подобные слагаемые, приводя дроби к общему знаменателю.

Для слагаемых с $x$: $\frac{1}{3}x - 2x = (\frac{1}{3} - 2)x = (\frac{1}{3} - \frac{6}{3})x = -\frac{5}{3}x = -1\frac{2}{3}x$

Для слагаемых с $y$, сначала представим $1\frac{1}{4}$ как $\frac{5}{4}$: $\frac{2}{5}y + \frac{5}{4}y = (\frac{2}{5} + \frac{5}{4})y = (\frac{8}{20} + \frac{25}{20})y = \frac{33}{20}y = 1\frac{13}{20}y$

Результат: $-1\frac{2}{3}x + 1\frac{13}{20}y$

Ответ: $-1\frac{2}{3}x + 1\frac{13}{20}y$

г) Чтобы упростить выражение $15a - 4x - 5,6a + 2,3x + a$, сгруппируем подобные слагаемые.

Сгруппируем слагаемые с $a$ и с $x$:

$(15a - 5,6a + a) + (-4x + 2,3x)$

Выполним действия с коэффициентами:

$(15 - 5,6 + 1)a + (-4 + 2,3)x = (9,4 + 1)a - 1,7x = 10,4a - 1,7x$

Ответ: $10,4a - 1,7x$

д) Чтобы упростить выражение $67,1a - \frac{1}{3}b + \frac{1}{5}a + 2b + 2,5a - 7b$, сгруппируем подобные слагаемые.

Сгруппируем слагаемые с $a$ и с $b$. Удобно представить $\frac{1}{5}$ как $0,2$.

$(67,1a + \frac{1}{5}a + 2,5a) + (-\frac{1}{3}b + 2b - 7b) = (67,1a + 0,2a + 2,5a) + (-\frac{1}{3}b - 5b)$

Выполним действия с коэффициентами:

$(67,1 + 0,2 + 2,5)a + (-\frac{1}{3} - 5)b = 69,8a - 5\frac{1}{3}b$

Ответ: $69,8a - 5\frac{1}{3}b$

е) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{4}b - 7x - 3,2b + 2\frac{3}{4}x + b + 0,6x$, сгруппируем подобные слагаемые. Для удобства вычислений переведем дроби в десятичные: $\frac{1}{4} = 0,25$; $2\frac{3}{4} = 2,75$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $b$:

$(-7x + 2,75x + 0,6x) + (0,25b - 3,2b + b)$

Выполним действия с коэффициентами:

$(-7 + 2,75 + 0,6)x + (0,25 - 3,2 + 1)b = (-4,25 + 0,6)x + (1,25 - 3,2)b = -3,65x - 1,95b$

Ответ: $-3,65x - 1,95b$

ж) Чтобы упростить выражение $xyx - 2x^2y + 2x - 3x$, сначала приведем одночлены к стандартному виду.

$xyx = x \cdot x \cdot y = x^2y$

Выражение принимает вид: $x^2y - 2x^2y + 2x - 3x$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2y - 2x^2y) + (2x - 3x) = (1-2)x^2y + (2-3)x = -x^2y - x$

Ответ: $-x^2y - x$

з) Чтобы упростить выражение $ba^2 - 3a^3 + 7aba + 3a^2 - 8a^2b$, сначала приведем одночлены к стандартному виду.

$ba^2 = a^2b$

$7aba = 7 \cdot a \cdot b \cdot a = 7a^2b$

Выражение принимает вид: $a^2b - 3a^3 + 7a^2b + 3a^2 - 8a^2b$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(a^2b + 7a^2b - 8a^2b) - 3a^3 + 3a^2$

Выполним действия с коэффициентами:

$(1 + 7 - 8)a^2b - 3a^3 + 3a^2 = 0 \cdot a^2b - 3a^3 + 3a^2 = -3a^3 + 3a^2$

Ответ: $-3a^3 + 3a^2$