Страница 75 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

231. а) Какие одночлены называют подобными?

б) Как складывают (вычитают) подобные одночлены?

а) Какие одночлены называют подобными?

Подобными одночленами (или подобными слагаемыми) называют одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть, или не имеют буквенной части вовсе. Иными словами, это одночлены, которые отличаются друг от друга только числовыми коэффициентами. Буквенная часть одночлена — это произведение всех входящих в него переменных в соответствующих степенях.

Например:

• Одночлены $5a^2b$ и $-3a^2b$ являются подобными. У них одинаковая буквенная часть $a^2b$, а коэффициенты равны 5 и -3.
• Одночлены $7xyz$ и $xyz$ также подобны. Их общая буквенная часть — $xyz$. Коэффициент второго одночлена равен 1.
• Числа, например 12 и -5, также являются подобными одночленами, так как у них обоих отсутствует буквенная часть.
• Одночлены $8x^2y$ и $8xy^2$ не являются подобными, потому что их буквенные части ($x^2y$ и $xy^2$) различны (показатели степеней у переменных $x$ и $y$ не совпадают).

Ответ: Подобными называют одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть (или не имеют ее вовсе).

б) Как складывают (вычитают) подобные одночлены?

Операция сложения или вычитания подобных одночленов называется приведением подобных слагаемых. Чтобы сложить (или вычесть) подобные одночлены, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сложить (или вычесть) их числовые коэффициенты.
2. Полученный результат умножить на их общую буквенную часть.

Это правило следует из распределительного свойства умножения: $ac + bc = (a+b)c$ и $ac - bc = (a-b)c$, где $a$ и $b$ — это коэффициенты, а $c$ — общая буквенная часть.

Например:

• Сложение: $7x^3y^2 + 4x^3y^2$.
  Коэффициенты: 7 и 4. Их сумма: $7+4=11$.
  Общая буквенная часть: $x^3y^2$.
  Результат: $7x^3y^2 + 4x^3y^2 = (7+4)x^3y^2 = 11x^3y^2$.
• Вычитание: $12ab - 5ab$.
  Коэффициенты: 12 и 5. Их разность: $12-5=7$.
  Общая буквенная часть: $ab$.
  Результат: $12ab - 5ab = (12-5)ab = 7ab$.
• Пример с несколькими членами: $2m^2n - 9m^2n + m^2n$.
  Коэффициенты: 2, -9 и 1. Их сумма: $2-9+1=-6$.
  Общая буквенная часть: $m^2n$.
  Результат: $2m^2n - 9m^2n + m^2n = (2-9+1)m^2n = -6m^2n$.

Ответ: Чтобы сложить (вычесть) подобные одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а результат умножить на общую для них буквенную часть.

232. Приведите примеры равной нулю суммы (разности) подобных одночленов.

Подобные одночлены — это одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть, но могут отличаться коэффициентами. Сложение и вычитание подобных одночленов сводится к сложению и вычитанию их коэффициентов, при этом буквенная часть остается неизменной.

Чтобы сумма или разность подобных одночленов была равна нулю, необходимо, чтобы итоговый коэффициент при буквенной части стал равен нулю.

Примеры равной нулю суммы подобных одночленов

Сумма двух подобных одночленов равна нулю, если их коэффициенты являются противоположными числами (например, $k$ и $-k$). Общая формула выглядит так: $k \cdot V + (-k) \cdot V = (k-k) \cdot V = 0$, где $V$ — это общая буквенная часть одночленов.

Пример 1: Возьмем подобные одночлены $8a$ и $-8a$. У них одинаковая буквенная часть $a$, а коэффициенты $8$ и $-8$ являются противоположными числами. Их сумма равна:

$8a + (-8a) = 8a - 8a = (8-8)a = 0 \cdot a = 0$

Пример 2: Возьмем подобные одночлены $2.5x^2y^3$ и $-2.5x^2y^3$. Их сумма равна:

$2.5x^2y^3 + (-2.5x^2y^3) = (2.5 - 2.5)x^2y^3 = 0 \cdot x^2y^3 = 0$

Ответ: $8a + (-8a) = 0$; $2.5x^2y^3 - 2.5x^2y^3 = 0$.

Примеры равной нулю разности подобных одночленов

Разность двух подобных одночленов равна нулю, если эти одночлены равны (тождественны), то есть имеют одинаковые коэффициенты и одинаковую буквенную часть. Общая формула выглядит так: $k \cdot V - k \cdot V = (k-k) \cdot V = 0$.

Пример 1: Возьмем два одинаковых одночлена $15b^4$. Их разность равна:

$15b^4 - 15b^4 = (15-15)b^4 = 0 \cdot b^4 = 0$

Пример 2: Возьмем два одинаковых одночлена $-3xyz$. Их разность равна:

$-3xyz - (-3xyz) = -3xyz + 3xyz = (-3+3)xyz = 0$

Ответ: $15b^4 - 15b^4 = 0$; $-3xyz - (-3xyz) = 0$.

233. Как привести подобные члены?

Приведение подобных членов — это процесс упрощения алгебраического выражения. Чтобы выполнить это действие, необходимо сначала понять, что такое подобные члены.

Подобные члены (или подобные слагаемые) — это слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть. Они могут отличаться только числовыми коэффициентами. Например, в выражении $5a + 2b - 3a$ слагаемые $5a$ и $-3a$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть «a». Слагаемое $2b$ им не подобно.

Чтобы привести подобные члены, необходимо выполнить следующие шаги:

• Шаг 1: Найти и сгруппировать все подобные члены в выражении.
• Шаг 2: Сложить (или вычесть) числовые коэффициенты у членов в каждой группе. Помните, что если у переменной нет видимого коэффициента, он равен 1 (например, $x$ это $1x$).
• Шаг 3: Записать результат для каждой группы в виде одного члена, который состоит из полученной суммы коэффициентов и общей для этой группы буквенной части.

Этот процесс основан на распределительном свойстве умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$.

Пример 1: Простое выражение

Рассмотрим выражение $8x + 4x - 3x$.

Все члены $8x$, $4x$ и $-3x$ являются подобными, так как у них общая буквенная часть $x$.

Сложим их коэффициенты: $8 + 4 - 3 = 9$.

Результат умножаем на общую буквенную часть: $9x$.

Таким образом, $8x + 4x - 3x = (8+4-3)x = 9x$.

Пример 2: Выражение с несколькими переменными

Рассмотрим выражение $12a + 7b - 5a - 3b$.

Сгруппируем подобные члены:

• Первая группа (с переменной $a$): $12a$ и $-5a$.
• Вторая группа (с переменной $b$): $7b$ и $-3b$.

Приводим подобные в каждой группе:

• Для первой группы: $12a - 5a = (12-5)a = 7a$.
• Для второй группы: $7b - 3b = (7-3)b = 4b$.

Записываем итоговое упрощенное выражение: $7a + 4b$.

Пример 3: Выражение со степенями и свободными членами

Рассмотрим выражение $5x^2 - 4y + 7 - 2x^2 + y - 10$.

Сгруппируем подобные члены:

• Члены с $x^2$: $5x^2$ и $-2x^2$.
• Члены с $y$: $-4y$ и $+y$.
• Свободные члены (числа без переменных): $7$ и $-10$.

Приводим подобные в каждой группе:

• $5x^2 - 2x^2 = (5-2)x^2 = 3x^2$.
• $-4y + y = (-4+1)y = -3y$.
• $7 - 10 = -3$.

Записываем итоговое упрощенное выражение: $3x^2 - 3y - 3$.

Ответ: Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на их общую буквенную часть.

Среди одночленов найдите подобные (234–235):

234. a) $a^2bc, 2abca, a^3bc, -3bca^2;$

б) $a^2b, -aba^2, -3a^2b0, 7a^2ba.$

а) Чтобы найти подобные одночлены, необходимо привести каждый из них к стандартному виду. Подобными называются одночлены, у которых одинаковая буквенная часть.

Приведем к стандартному виду каждый одночлен из набора: $a^2bc$, $2abca$, $a^3bc$, $-3bca^2$.

1. Одночлен $a^2bc$ уже представлен в стандартном виде. Его буквенная часть — $a^2bc$.

2. Одночлен $2abca$ приведем к стандартному виду: $2abca = 2 \cdot (a \cdot a) \cdot b \cdot c = 2a^2bc$. Его буквенная часть — $a^2bc$.

3. Одночлен $a^3bc$ уже представлен в стандартном виде. Его буквенная часть — $a^3bc$.

4. Одночлен $-3bca^2$ приведем к стандартному виду: $-3bca^2 = -3a^2bc$. Его буквенная часть — $a^2bc$.

Сравнив буквенные части, видим, что у одночленов $a^2bc$, $2abca$ и $-3bca^2$ она одинакова и равна $a^2bc$. Значит, эти одночлены являются подобными.

Ответ: $a^2bc$, $2abca$, $-3bca^2$.

б) Чтобы найти подобные одночлены, необходимо привести каждый из них к стандартному виду.

Приведем к стандартному виду каждый одночлен из набора: $a^2b$, $-aba^2$, $-3a^2b0$, $7a^2ba$.

1. Одночлен $a^2b$ уже представлен в стандартном виде. Его буквенная часть — $a^2b$.

2. Одночлен $-aba^2$ приведем к стандартному виду: $-aba^2 = -1 \cdot (a \cdot a^2) \cdot b = -a^3b$. Его буквенная часть — $a^3b$.

3. Одночлен $-3a^2b0$ содержит множитель 0, поэтому весь одночлен равен нулю: $-3a^2b0 = 0$. У него нет буквенной части.

4. Одночлен $7a^2ba$ приведем к стандартному виду: $7a^2ba = 7 \cdot (a^2 \cdot a) \cdot b = 7a^3b$. Его буквенная часть — $a^3b$.

Сравнив буквенные части, видим, что у одночленов $-aba^2$ и $7a^2ba$ она одинакова и равна $a^3b$. Значит, эти одночлены являются подобными.

Ответ: $-aba^2$, $7a^2ba$.

235. a) $2a^3b$, $3a^4b^2$, $4a^3b$, $80a^4b^2$, $a^3b$, $-a^4b^2$, $a$, $6p^2x$, $-c$, $(-5)a^3b$, $6a^4b^2$, $-4p^2x$;

б) $0a^2b^3$, $-3a^3b^2$, $0ab$, $12a^2b^3$, $2a^3b^2$.

а)

Подобные одночлены — это одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть (одинаковые переменные, возведенные в одинаковые степени) и могут отличаться только числовыми коэффициентами.

Рассмотрим данный список одночленов: $2a^3b$, $3a^4b^2$, $4a^3b$, $80a^4b^2$, $a^3b$, $-a^4b^2$, $a$, $6p^2x$, $-c$, $(-5)a^3b$, $6a^4b^2$, $-4p^2x$.

Сгруппируем их по одинаковой буквенной части:

1. Одночлены с буквенной частью $a^3b$. В эту группу входят: $2a^3b$, $4a^3b$, $a^3b$ и $(-5)a^3b$.

2. Одночлены с буквенной частью $a^4b^2$. В эту группу входят: $3a^4b^2$, $80a^4b^2$, $-a^4b^2$ и $6a^4b^2$.

3. Одночлены с буквенной частью $p^2x$. В эту группу входят: $6p^2x$ и $-4p^2x$.

Одночлены $a$ и $-c$ не имеют подобных в данном списке, так как их буквенные части уникальны.

Ответ: В списке можно выделить три группы подобных одночленов:
1) $2a^3b$, $4a^3b$, $a^3b$, $-5a^3b$
2) $3a^4b^2$, $80a^4b^2$, $-a^4b^2$, $6a^4b^2$
3) $6p^2x$, $-4p^2x$

б)

Рассмотрим второй список одночленов: $0a^2b^3$, $-3a^3b^2$, $0ab$, $12a^2b^3$, $2a^3b^2$.

Аналогично пункту а), найдем группы одночленов с одинаковой буквенной частью:

1. Одночлены с буквенной частью $a^2b^3$. В эту группу входят: $0a^2b^3$ и $12a^2b^3$. Несмотря на то, что первый одночлен равен нулю ($0 \cdot a^2b^3 = 0$), по формальному определению его буквенная часть совпадает с буквенной частью второго одночлена.

2. Одночлены с буквенной частью $a^3b^2$. В эту группу входят: $-3a^3b^2$ и $2a^3b^2$.

Одночлен $0ab$ имеет уникальную буквенную часть $ab$ и, следовательно, не имеет подобных в данном списке.

Ответ: В списке можно выделить две группы подобных одночленов:
1) $0a^2b^3$, $12a^2b^3$
2) $-3a^3b^2$, $2a^3b^2$