Страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

217. a) $ \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot a^2b \cdot 5b^2c \cdot (-2)ac^2; $

б) $ 3ce \cdot 17ek^3 \cdot 2c^3k; $

в) $ 5b^2c^2 \cdot 7ce^3 \cdot (-6)be^3; $

г) $ (-5)e^2k^2 \cdot 6e8p; $

д) $ 7k^2p \cdot 5px \cdot 5k^2x^2; $

е) $ 2px^2 \cdot 8x \cdot 12y; $

ж) $ 12ak^2 \cdot (-3)kx^2 \cdot 2ax; $

з) $ 13a^3k \cdot 5k^3y \cdot ay^3. $

Для упрощения выражения $(-\frac{1}{4})a^2b \cdot 5b^2c \cdot (-2)ac^2$ необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, сложив их показатели.

Сгруппируем множители: $(-\frac{1}{4} \cdot 5 \cdot (-2)) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^2) \cdot (c \cdot c^2)$.

1. Произведение коэффициентов: $-\frac{1}{4} \cdot 5 \cdot (-2) = \frac{10}{4} = 2.5$.

2. Произведение степеней с основанием $a$: $a^2 \cdot a = a^{2+1} = a^3$.

3. Произведение степеней с основанием $b$: $b^1 \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$.

4. Произведение степеней с основанием $c$: $c^1 \cdot c^2 = c^{1+2} = c^3$.

Объединив полученные результаты, получаем итоговый одночлен.

Ответ: $2.5a^3b^3c^3$

Упростим выражение $3ce \cdot 17ek^3 \cdot 2c^3k$. Для этого перемножим коэффициенты и сгруппируем переменные.

Сгруппируем множители: $(3 \cdot 17 \cdot 2) \cdot (c \cdot c^3) \cdot (e \cdot e) \cdot (k^3 \cdot k)$.

1. Произведение коэффициентов: $3 \cdot 17 \cdot 2 = 102$.

2. Произведение степеней с основанием $c$: $c^1 \cdot c^3 = c^{1+3} = c^4$.

3. Произведение степеней с основанием $e$: $e^1 \cdot e^1 = e^{1+1} = e^2$.

4. Произведение степеней с основанием $k$: $k^3 \cdot k^1 = k^{3+1} = k^4$.

Объединяем результаты.

Ответ: $102c^4e^2k^4$

Упростим выражение $5b^2c^2 \cdot 7ce^3 \cdot (-6)be^3$.

Сгруппируем множители: $(5 \cdot 7 \cdot (-6)) \cdot (b^2 \cdot b) \cdot (c^2 \cdot c) \cdot (e^3 \cdot e^3)$.

1. Произведение коэффициентов: $5 \cdot 7 \cdot (-6) = 35 \cdot (-6) = -210$.

2. Произведение степеней с основанием $b$: $b^2 \cdot b^1 = b^{2+1} = b^3$.

3. Произведение степеней с основанием $c$: $c^2 \cdot c^1 = c^{2+1} = c^3$.

4. Произведение степеней с основанием $e$: $e^3 \cdot e^3 = e^{3+3} = e^6$.

Объединяем результаты.

Ответ: $-210b^3c^3e^6$

Упростим выражение $(-5)e^2k^2 \cdot 6e8p$. В данном выражении $6e8p$ наиболее вероятно означает произведение $6 \cdot e \cdot 8 \cdot p$, что равно $48ep$.

Таким образом, выражение принимает вид: $(-5)e^2k^2 \cdot 48ep$.

Сгруппируем множители: $(-5 \cdot 48) \cdot (e^2 \cdot e) \cdot k^2 \cdot p$.

1. Произведение коэффициентов: $-5 \cdot 48 = -240$.

2. Произведение степеней с основанием $e$: $e^2 \cdot e^1 = e^{2+1} = e^3$.

3. Степени переменных $k$ и $p$ остаются прежними, так как они встречаются только один раз.

Объединяем результаты.

Ответ: $-240e^3k^2p$

Упростим выражение $7k^2p \cdot 5px \cdot 5k^2x^2$.

Сгруппируем множители: $(7 \cdot 5 \cdot 5) \cdot (k^2 \cdot k^2) \cdot (p \cdot p) \cdot (x \cdot x^2)$.

1. Произведение коэффициентов: $7 \cdot 5 \cdot 5 = 175$.

2. Произведение степеней с основанием $k$: $k^2 \cdot k^2 = k^{2+2} = k^4$.

3. Произведение степеней с основанием $p$: $p^1 \cdot p^1 = p^{1+1} = p^2$.

4. Произведение степеней с основанием $x$: $x^1 \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$.

Объединяем результаты.

Ответ: $175k^4p^2x^3$

Упростим выражение $2px^2 \cdot 8x \cdot 12y$.

Сгруппируем множители: $(2 \cdot 8 \cdot 12) \cdot p \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y$.

1. Произведение коэффициентов: $2 \cdot 8 \cdot 12 = 16 \cdot 12 = 192$.

2. Произведение степеней с основанием $x$: $x^2 \cdot x^1 = x^{2+1} = x^3$.

3. Переменные $p$ и $y$ встречаются по одному разу и остаются без изменений.

Объединяем результаты.

Ответ: $192px^3y$

Упростим выражение $12ak^2 \cdot (-3)kx^2 \cdot 2ax$.

Сгруппируем множители: $(12 \cdot (-3) \cdot 2) \cdot (a \cdot a) \cdot (k^2 \cdot k) \cdot (x^2 \cdot x)$.

1. Произведение коэффициентов: $12 \cdot (-3) \cdot 2 = -36 \cdot 2 = -72$.

2. Произведение степеней с основанием $a$: $a^1 \cdot a^1 = a^{1+1} = a^2$.

3. Произведение степеней с основанием $k$: $k^2 \cdot k^1 = k^{2+1} = k^3$.

4. Произведение степеней с основанием $x$: $x^2 \cdot x^1 = x^{2+1} = x^3$.

Объединяем результаты.

Ответ: $-72a^2k^3x^3$

Упростим выражение $13a^3k \cdot 5k^3y \cdot ay^3$.

Сгруппируем множители: $(13 \cdot 5 \cdot 1) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot (k \cdot k^3) \cdot (y \cdot y^3)$.

1. Произведение коэффициентов: $13 \cdot 5 \cdot 1 = 65$.

2. Произведение степеней с основанием $a$: $a^3 \cdot a^1 = a^{3+1} = a^4$.

3. Произведение степеней с основанием $k$: $k^1 \cdot k^3 = k^{1+3} = k^4$.

4. Произведение степеней с основанием $y$: $y^1 \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4$.

Объединяем результаты.

Ответ: $65a^4k^4y^4$

218. Представьте данную степень в виде произведения:

а) $(xy)^2$;

б) $(ab)^2$;

в) $(2x)^3$;

г) $(3y)^2$;

д) $(2abc)^1$;

е) $(3muk)^2$;

ж) $(13xy)^9$;

з) $(17cd)^{20}$.

а) Чтобы представить степень произведения $(xy)^2$ в виде произведения, необходимо каждый множитель в скобках возвести в эту степень. Используем правило возведения произведения в степень: $(ab)^n = a^n b^n$.

$(xy)^2 = x^2y^2$

Ответ: $x^2y^2$

б) Аналогично пункту а), применим правило возведения произведения в степень для выражения $(ab)^2$:

$(ab)^2 = a^2b^2$

Ответ: $a^2b^2$

в) В данном случае основание степени состоит из числового коэффициента 2 и переменной $x$. Возводим в куб каждый множитель:

$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3$

Вычислим значение $2^3$:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Таким образом, получаем итоговый результат:

$(2x)^3 = 8x^3$

Ответ: $8x^3$

г) Возводим в квадрат каждый множитель в скобках, то есть число 3 и переменную $y$:

$(3y)^2 = 3^2 \cdot y^2$

Вычислим значение $3^2$:

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

Следовательно, получаем:

$(3y)^2 = 9y^2$

Ответ: $9y^2$

д) Любое выражение, возведенное в первую степень, равно самому себе. Поэтому:

$(2abc)^1 = 2abc$

Ответ: $2abc$

е) Возводим в квадрат каждый множитель в выражении $(3muk)^2$:

$(3muk)^2 = 3^2 \cdot m^2 \cdot u^2 \cdot k^2$

Вычислим $3^2 = 9$, тогда:

$(3muk)^2 = 9m^2u^2k^2$

Ответ: $9m^2u^2k^2$

ж) Применим правило возведения произведения в степень к выражению $(13xy)^9$. Каждый множитель внутри скобок возводится в степень 9:

$(13xy)^9 = 13^9 \cdot x^9 \cdot y^9 = 13^9x^9y^9$

Поскольку число $13^9$ очень велико, его принято оставлять в виде степени.

Ответ: $13^9x^9y^9$

з) Аналогично предыдущему пункту, возводим каждый множитель в степень 20:

$(17cd)^{20} = 17^{20} \cdot c^{20} \cdot d^{20} = 17^{20}c^{20}d^{20}$

Число $17^{20}$ является очень большим, поэтому его также оставляем в виде степени.

Ответ: $17^{20}c^{20}d^{20}$

219. Возведите в степень:

а) $(a^2)^2$;

б) $(b^2)^3$;

в) $(2a)^2$;

г) $(3b)^3$;

д) $(4c^2)^2$;

е) $(5ab)^2$;

ж) $(7ab^2)^3$;

з) $(9b^2c)^2$;

и) $(3c^2e^4)^4$;

к) $(2a^2k^3)^5$;

л) $\left(\frac{1}{2}a^2\right)^2$;

м) $\left(-\frac{3}{4}a^2\right)^2$;

н) $\left(-1\frac{1}{2}c^2\right)^2$;

о) $\left(-1\frac{1}{3}e^3\right)^3$;

п) $\left(1\frac{1}{7}ab\right)^2$;

р) $\left(-\frac{1}{6}px^3\right)^3$.

а) Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.
Ответ: $a^4$.

б) Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$.
Ответ: $b^6$.

в) Используем правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
$(2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$.
Ответ: $4a^2$.

г) Используем правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
$(3b)^3 = 3^3 \cdot b^3 = 27b^3$.
Ответ: $27b^3$.

д) Используем правила возведения произведения в степень и возведения степени в степень.
$(4c^2)^2 = 4^2 \cdot (c^2)^2 = 16 \cdot c^{2 \cdot 2} = 16c^4$.
Ответ: $16c^4$.

е) Используем правило возведения произведения в степень.
$(5ab)^2 = 5^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 25a^2b^2$.
Ответ: $25a^2b^2$.

ж) Используем правила возведения произведения в степень и возведения степени в степень.
$(7ab^2)^3 = 7^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = 343a^3b^{2 \cdot 3} = 343a^3b^6$.
Ответ: $343a^3b^6$.

з) Используем правила возведения произведения в степень и возведения степени в степень.
$(9b^2c)^2 = 9^2 \cdot (b^2)^2 \cdot c^2 = 81b^{2 \cdot 2}c^2 = 81b^4c^2$.
Ответ: $81b^4c^2$.

и) Используем правила возведения произведения в степень и возведения степени в степень.
$(3c^2e^4)^4 = 3^4 \cdot (c^2)^4 \cdot (e^4)^4 = 81c^{2 \cdot 4}e^{4 \cdot 4} = 81c^8e^{16}$.
Ответ: $81c^8e^{16}$.

к) Используем правила возведения произведения в степень и возведения степени в степень.
$(2a^2k^3)^5 = 2^5 \cdot (a^2)^5 \cdot (k^3)^5 = 32a^{2 \cdot 5}k^{3 \cdot 5} = 32a^{10}k^{15}$.
Ответ: $32a^{10}k^{15}$.

л) Используем правила возведения произведения в степень и возведения степени в степень.
$(\frac{1}{2}a^2)^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (a^2)^2 = \frac{1}{4}a^{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}a^4$.
Ответ: $\frac{1}{4}a^4$.

м) Используем правила возведения произведения в степень и возведения степени в степень.
$(\frac{3}{4}a^2)^2 = (\frac{3}{4})^2 \cdot (a^2)^2 = \frac{9}{16}a^{2 \cdot 2} = \frac{9}{16}a^4$.
Ответ: $\frac{9}{16}a^4$.

н) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$. Так как степень четная (2), результат будет положительным.
$(-\frac{3}{2}c^2)^2 = (-\frac{3}{2})^2 \cdot (c^2)^2 = \frac{9}{4}c^{2 \cdot 2} = \frac{9}{4}c^4$.
Ответ: $\frac{9}{4}c^4$.

о) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется.
$(-\frac{4}{3}e^3)^3 = (-\frac{4}{3})^3 \cdot (e^3)^3 = -\frac{4^3}{3^3}e^{3 \cdot 3} = -\frac{64}{27}e^9$.
Ответ: $-\frac{64}{27}e^9$.

п) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$. Затем возводим в квадрат каждый множитель.
$(1\frac{1}{7}ab)^2 = (\frac{8}{7}ab)^2 = (\frac{8}{7})^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = \frac{64}{49}a^2b^2$.
Ответ: $\frac{64}{49}a^2b^2$.

р) Возводим в куб каждый множитель. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется.
$(-\frac{1}{6}px^3)^3 = (-\frac{1}{6})^3 \cdot p^3 \cdot (x^3)^3 = -\frac{1}{216}p^3x^{3 \cdot 3} = -\frac{1}{216}p^3x^9$.
Ответ: $-\frac{1}{216}p^3x^9$.

220. Представьте данный одночлен в виде квадрата другого одночлена:

а) $25a^2$;

б) $49b^2$;

в) $16c^4$;

г) $81e^6$;

д) $64k^8$;

е) $\frac{1}{49}p^8$;

ж) $2\frac{1}{4}a^{10}x^6$;

з) $2\frac{7}{9}b^{12}y^{10}$.

а) Чтобы представить одночлен $25a^2$ в виде квадрата другого одночлена, необходимо найти квадратный корень из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 2.

Квадратный корень из 25 равен 5: $\sqrt{25} = 5$.

Показатель степени переменной $a$ равен 2. Делим его на 2: $2 / 2 = 1$.

Таким образом, искомый одночлен равен $5a^1$ или просто $5a$.

Проверка: $(5a)^2 = 5^2 \cdot a^2 = 25a^2$.

Ответ: $25a^2 = (5a)^2$.

б) Представим одночлен $49b^2$ в виде квадрата.

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{49} = 7$.

Делим показатель степени переменной $b$ на 2: $2 / 2 = 1$.

Получаем одночлен $7b$.

Проверка: $(7b)^2 = 7^2 \cdot b^2 = 49b^2$.

Ответ: $49b^2 = (7b)^2$.

в) Представим одночлен $16c^4$ в виде квадрата.

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{16} = 4$.

Делим показатель степени переменной $c$ на 2: $4 / 2 = 2$.

Получаем одночлен $4c^2$.

Проверка: $(4c^2)^2 = 4^2 \cdot (c^2)^2 = 16c^{2 \cdot 2} = 16c^4$.

Ответ: $16c^4 = (4c^2)^2$.

г) Представим одночлен $81e^6$ в виде квадрата.

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{81} = 9$.

Делим показатель степени переменной $e$ на 2: $6 / 2 = 3$.

Получаем одночлен $9e^3$.

Проверка: $(9e^3)^2 = 9^2 \cdot (e^3)^2 = 81e^{3 \cdot 2} = 81e^6$.

Ответ: $81e^6 = (9e^3)^2$.

д) Представим одночлен $64k^8$ в виде квадрата.

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{64} = 8$.

Делим показатель степени переменной $k$ на 2: $8 / 2 = 4$.

Получаем одночлен $8k^4$.

Проверка: $(8k^4)^2 = 8^2 \cdot (k^4)^2 = 64k^{4 \cdot 2} = 64k^8$.

Ответ: $64k^8 = (8k^4)^2$.

е) Представим одночлен $\frac{1}{49}p^8$ в виде квадрата.

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7}$.

Делим показатель степени переменной $p$ на 2: $8 / 2 = 4$.

Получаем одночлен $\frac{1}{7}p^4$.

Проверка: $(\frac{1}{7}p^4)^2 = (\frac{1}{7})^2 \cdot (p^4)^2 = \frac{1}{49}p^{8}$.

Ответ: $\frac{1}{49}p^8 = (\frac{1}{7}p^4)^2$.

ж) Представим одночлен $2\frac{1}{4}a^{10}x^6$ в виде квадрата.

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Делим показатели степеней переменных на 2: для $a$ имеем $10 / 2 = 5$, для $x$ имеем $6 / 2 = 3$.

Получаем одночлен $\frac{3}{2}a^5x^3$.

Проверка: $(\frac{3}{2}a^5x^3)^2 = (\frac{3}{2})^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (x^3)^2 = \frac{9}{4}a^{10}x^6 = 2\frac{1}{4}a^{10}x^6$.

Ответ: $2\frac{1}{4}a^{10}x^6 = (\frac{3}{2}a^5x^3)^2$.

з) Представим одночлен $2\frac{7}{9}b^{12}y^{10}$ в виде квадрата.

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$.

Делим показатели степеней переменных на 2: для $b$ имеем $12 / 2 = 6$, для $y$ имеем $10 / 2 = 5$.

Получаем одночлен $\frac{5}{3}b^6y^5$.

Проверка: $(\frac{5}{3}b^6y^5)^2 = (\frac{5}{3})^2 \cdot (b^6)^2 \cdot (y^5)^2 = \frac{25}{9}b^{12}y^{10} = 2\frac{7}{9}b^{12}y^{10}$.

Ответ: $2\frac{7}{9}b^{12}y^{10} = (\frac{5}{3}b^6y^5)^2$.

221. Представьте данный одночлен в виде куба другого одночлена:

а) $8a^3$;

б) $27b^3$;

в) $125c^6$;

г) $216e^9$;

д) $\frac{1}{27}a^9c^3$;

е) $\frac{1}{125}b^6y^{12}$;

ж) $15\frac{5}{8}a^{18}p^9$;

з) $2\frac{10}{27}b^6c^{18}$.

а) Чтобы представить одночлен $8a^3$ в виде куба другого одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст исходный. Это действие равносильно извлечению кубического корня из данного одночлена.
$\sqrt[3]{8a^3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{a^3} = 2 \cdot a^{3/3} = 2a$.
Таким образом, мы можем представить исходный одночлен в виде куба: $8a^3 = (2a)^3$.
Ответ: $(2a)^3$.

б) Представим одночлен $27b^3$ в виде куба. Для этого извлечем из него кубический корень.
$\sqrt[3]{27b^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{b^3} = 3 \cdot b^{3/3} = 3b$.
Следовательно, $27b^3 = (3b)^3$.
Ответ: $(3b)^3$.

в) Чтобы представить одночлен $125c^6$ в виде куба, извлечем кубический корень из коэффициента и разделим показатель степени переменной на 3.
$\sqrt[3]{125c^6} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{c^6} = 5 \cdot c^{6/3} = 5c^2$.
Таким образом, $125c^6 = (5c^2)^3$.
Ответ: $(5c^2)^3$.

г) Представим одночлен $216e^9$ в виде куба.
$\sqrt[3]{216e^9} = \sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{e^9} = 6 \cdot e^{9/3} = 6e^3$.
Следовательно, $216e^9 = (6e^3)^3$.
Ответ: $(6e^3)^3$.

д) Представим одночлен $\frac{1}{27}a^9c^3$ в виде куба. Для этого извлечем кубический корень из каждого множителя.
$\sqrt[3]{\frac{1}{27}a^9c^3} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} \cdot \sqrt[3]{a^9} \cdot \sqrt[3]{c^3} = \frac{1}{3} \cdot a^{9/3} \cdot c^{3/3} = \frac{1}{3}a^3c$.
Таким образом, $\frac{1}{27}a^9c^3 = \left(\frac{1}{3}a^3c\right)^3$.
Ответ: $\left(\frac{1}{3}a^3c\right)^3$.

е) Представим одночлен $\frac{1}{125}b^6y^{12}$ в виде куба.
$\sqrt[3]{\frac{1}{125}b^6y^{12}} = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} \cdot \sqrt[3]{b^6} \cdot \sqrt[3]{y^{12}} = \frac{1}{5} \cdot b^{6/3} \cdot y^{12/3} = \frac{1}{5}b^2y^4$.
Следовательно, $\frac{1}{125}b^6y^{12} = \left(\frac{1}{5}b^2y^4\right)^3$.
Ответ: $\left(\frac{1}{5}b^2y^4\right)^3$.

ж) Представим одночлен $15\frac{5}{8}a^{18}p^9$ в виде куба.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $15\frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{125}{8}$.
Теперь извлечем кубический корень из одночлена $\frac{125}{8}a^{18}p^9$.
$\sqrt[3]{\frac{125}{8}a^{18}p^9} = \sqrt[3]{\frac{125}{8}} \cdot \sqrt[3]{a^{18}} \cdot \sqrt[3]{p^9} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}} \cdot a^{18/3} \cdot p^{9/3} = \frac{5}{2}a^6p^3$.
Следовательно, $15\frac{5}{8}a^{18}p^9 = \left(\frac{5}{2}a^6p^3\right)^3$.
Ответ: $\left(\frac{5}{2}a^6p^3\right)^3$.

з) Представим одночлен $2\frac{10}{27}b^6c^{18}$ в виде куба.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{10}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = \frac{54 + 10}{27} = \frac{64}{27}$.
Теперь извлечем кубический корень из одночлена $\frac{64}{27}b^6c^{18}$.
$\sqrt[3]{\frac{64}{27}b^6c^{18}} = \sqrt[3]{\frac{64}{27}} \cdot \sqrt[3]{b^6} \cdot \sqrt[3]{c^{18}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}} \cdot b^{6/3} \cdot c^{18/3} = \frac{4}{3}b^2c^6$.
Следовательно, $2\frac{10}{27}b^6c^{18} = \left(\frac{4}{3}b^2c^6\right)^3$.
Ответ: $\left(\frac{4}{3}b^2c^6\right)^3$.

Запишите в таблице произведения одночленов, стоящих в верхней строке и в левом столбце (222—223):

222. Верхняя строка таблицы:

$6ab$, $3b^2c$, $4c^3p^2$, $8a^4x^2$, $5b^2y^2$

Левый столбец таблицы:

$3ab$

$4bc^2$

Для того чтобы найти произведение двух одночленов, необходимо перемножить их числовые коэффициенты, а затем перемножить степени с одинаковыми основаниями, сложив их показатели. Заполним таблицу, последовательно выполняя умножение для каждой ячейки.

Произведение $3ab$ и $6ab$
Выполним умножение коэффициентов и переменных:
$ (3ab) \cdot (6ab) = (3 \cdot 6) \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) = 18 \cdot a^{1+1} \cdot b^{1+1} = 18a^2b^2 $
Ответ: $18a^2b^2$

Произведение $3ab$ и $3b^2c$
Выполним умножение коэффициентов и переменных:
$ (3ab) \cdot (3b^2c) = (3 \cdot 3) \cdot a \cdot (b \cdot b^2) \cdot c = 9 \cdot a \cdot b^{1+2} \cdot c = 9ab^3c $
Ответ: $9ab^3c$

Произведение $3ab$ и $4c^3p^2$
Выполним умножение коэффициентов и переменных:
$ (3ab) \cdot (4c^3p^2) = (3 \cdot 4) \cdot a \cdot b \cdot c^3 \cdot p^2 = 12abc^3p^2 $
Ответ: $12abc^3p^2$

Произведение $3ab$ и $8a^4x^2$
Выполним умножение коэффициентов и переменных:
$ (3ab) \cdot (8a^4x^2) = (3 \cdot 8) \cdot (a \cdot a^4) \cdot b \cdot x^2 = 24 \cdot a^{1+4} \cdot b \cdot x^2 = 24a^5bx^2 $
Ответ: $24a^5bx^2$

Произведение $3ab$ и $5b^2y^2$
Выполним умножение коэффициентов и переменных:
$ (3ab) \cdot (5b^2y^2) = (3 \cdot 5) \cdot a \cdot (b \cdot b^2) \cdot y^2 = 15 \cdot a \cdot b^{1+2} \cdot y^2 = 15ab^3y^2 $
Ответ: $15ab^3y^2$

Произведение $4bc^2$ и $6ab$
Выполним умножение коэффициентов и переменных:
$ (4bc^2) \cdot (6ab) = (4 \cdot 6) \cdot a \cdot (b \cdot b) \cdot c^2 = 24 \cdot a \cdot b^{1+1} \cdot c^2 = 24ab^2c^2 $
Ответ: $24ab^2c^2$

Произведение $4bc^2$ и $3b^2c$
Выполним умножение коэффициентов и переменных:
$ (4bc^2) \cdot (3b^2c) = (4 \cdot 3) \cdot (b \cdot b^2) \cdot (c^2 \cdot c) = 12 \cdot b^{1+2} \cdot c^{2+1} = 12b^3c^3 $
Ответ: $12b^3c^3$

Произведение $4bc^2$ и $4c^3p^2$
Выполним умножение коэффициентов и переменных:
$ (4bc^2) \cdot (4c^3p^2) = (4 \cdot 4) \cdot b \cdot (c^2 \cdot c^3) \cdot p^2 = 16 \cdot b \cdot c^{2+3} \cdot p^2 = 16bc^5p^2 $
Ответ: $16bc^5p^2$

Произведение $4bc^2$ и $8a^4x^2$
Выполним умножение коэффициентов и переменных:
$ (4bc^2) \cdot (8a^4x^2) = (4 \cdot 8) \cdot a^4 \cdot b \cdot c^2 \cdot x^2 = 32a^4bc^2x^2 $
Ответ: $32a^4bc^2x^2$

Произведение $4bc^2$ и $5b^2y^2$
Выполним умножение коэффициентов и переменных:
$ (4bc^2) \cdot (5b^2y^2) = (4 \cdot 5) \cdot (b \cdot b^2) \cdot c^2 \cdot y^2 = 20 \cdot b^{1+2} \cdot c^2 \cdot y^2 = 20b^3c^2y^2 $
Ответ: $20b^3c^2y^2$

Итоговая заполненная таблица:

223. $5$

$7b$

$12a^2$

$11ax$

$4a$

$12ab$

$10ab^2$

Чтобы заполнить таблицу, необходимо найти произведение одночленов, расположенных в заголовках соответствующей строки и столбца. Выполним вычисления для каждой строки.

4a

Вычислим произведения для первой строки:

1. Произведение $4a$ и $5$:
$4a \cdot 5 = (4 \cdot 5)a = 20a$

2. Произведение $4a$ и $7b$:
$4a \cdot 7b = (4 \cdot 7)(a \cdot b) = 28ab$

3. Произведение $4a$ и $12a^2$:
$4a \cdot 12a^2 = (4 \cdot 12)(a \cdot a^2) = 48a^{1+2} = 48a^3$

4. Произведение $4a$ и $11ax$:
$4a \cdot 11ax = (4 \cdot 11)(a \cdot a)x = 44a^2x$

Ответ: $20a$, $28ab$, $48a^3$, $44a^2x$.

12ab

Вычислим произведения для второй строки:

1. Произведение $12ab$ и $5$:
$12ab \cdot 5 = (12 \cdot 5)ab = 60ab$

2. Произведение $12ab$ и $7b$:
$12ab \cdot 7b = (12 \cdot 7)a(b \cdot b) = 84ab^2$

3. Произведение $12ab$ и $12a^2$:
$12ab \cdot 12a^2 = (12 \cdot 12)(a \cdot a^2)b = 144a^{1+2}b = 144a^3b$

4. Произведение $12ab$ и $11ax$:
$12ab \cdot 11ax = (12 \cdot 11)(a \cdot a)bx = 132a^2bx$

Ответ: $60ab$, $84ab^2$, $144a^3b$, $132a^2bx$.

10ab²

Вычислим произведения для третьей строки:

1. Произведение $10ab^2$ и $5$:
$10ab^2 \cdot 5 = (10 \cdot 5)ab^2 = 50ab^2$

2. Произведение $10ab^2$ и $7b$:
$10ab^2 \cdot 7b = (10 \cdot 7)a(b^2 \cdot b) = 70ab^{2+1} = 70ab^3$

3. Произведение $10ab^2$ и $12a^2$:
$10ab^2 \cdot 12a^2 = (10 \cdot 12)(a \cdot a^2)b^2 = 120a^{1+2}b^2 = 120a^3b^2$

4. Произведение $10ab^2$ и $11ax$:
$10ab^2 \cdot 11ax = (10 \cdot 11)(a \cdot a)b^2x = 110a^2b^2x$

Ответ: $50ab^2$, $70ab^3$, $120a^3b^2$, $110a^2b^2x$.

224. Запишите:

а) произведение куба $a$ и квадрата $b$;

б) произведение квадрата $a$ и удвоенного $b$;

в) произведение куба $a$ и утроенного квадрата $b$;

г) удвоенное произведение квадрата $a$ и куба $a$.

а) Чтобы записать произведение куба $a$ и квадрата $b$, нужно перевести словесное описание в математическое выражение. Куб числа $a$ записывается как $a^3$. Квадрат числа $b$ записывается как $b^2$. Произведение этих двух выражений — это их умножение. Таким образом, получаем выражение $a^3 \cdot b^2$, которое принято записывать как $a^3b^2$.
Ответ: $a^3b^2$

б) Чтобы записать произведение квадрата $a$ и удвоенного $b$, необходимо составить соответствующие математические выражения для каждого компонента. Квадрат числа $a$ — это $a^2$. Удвоенное число $b$ — это $2 \cdot b$ или $2b$. Произведение этих выражений равно $a^2 \cdot (2b)$. По правилам записи алгебраических выражений, числовой коэффициент ставится в начало. Таким образом, получаем $2a^2b$.
Ответ: $2a^2b$

в) Чтобы записать произведение куба $a$ и утроенного квадрата $b$, разберем выражение по частям. Куб числа $a$ — это $a^3$. Квадрат числа $b$ — это $b^2$. Утроенный квадрат числа $b$ — это $3 \cdot b^2$ или $3b^2$. Произведение куба $a$ и утроенного квадрата $b$ равно $a^3 \cdot (3b^2)$. Переставив числовой коэффициент в начало, получим $3a^3b^2$.
Ответ: $3a^3b^2$

г) Чтобы записать удвоенное произведение квадрата $a$ и куба $a$, составим выражение поэтапно. Квадрат числа $a$ — это $a^2$. Куб числа $a$ — это $a^3$. Произведение квадрата $a$ и куба $a$ — это $a^2 \cdot a^3$. Удвоенное произведение — это результат, умноженный на 2: $2 \cdot (a^2 \cdot a^3)$. Используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, мы можем упростить выражение в скобках: $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$. Тогда итоговое выражение будет $2a^5$.
Ответ: $2a^5$