Страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

248. Сформулируйте свойства многочленов.

Многочлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов (произведений чисел и переменных в натуральных степенях). Многочлены обладают следующими ключевыми свойствами.

1. Приведение к стандартному виду

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Это преобразование включает в себя два шага:

1. Приведение подобных членов: все одночлены с одинаковой буквенной частью складываются. Например, в многочлене $5x^2y + 3xy - 2x^2y$ члены $5x^2y$ и $-2x^2y$ являются подобными, и их сумма равна $3x^2y$.
2. Расположение членов в порядке убывания степеней: члены многочлена записываются так, чтобы их степени шли по убыванию.

Например, многочлен $7a - 2a^3 + a^2 - 5a + 4a^3$ после приведения подобных членов ($7a-5a=2a$ и $-2a^3+4a^3=2a^3$) становится $2a^3 + a^2 + 2a$. Этот вид называется стандартным, и такое представление для любого многочлена единственно.

Ответ: Любой многочлен путем тождественных преобразований (приведения подобных членов) может быть единственным образом представлен в стандартном виде.

2. Свойства операции сложения

Сложение многочленов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.

• Коммутативность (переместительное свойство): от перестановки слагаемых-многочленов сумма не изменяется. Для любых многочленов $P$ и $Q$:
  $P + Q = Q + P$
• Ассоциативность (сочетательное свойство): результат сложения трех и более многочленов не зависит от способа группировки слагаемых. Для любых многочленов $P$, $Q$ и $R$:
  $(P + Q) + R = P + (Q + R)$

Также существует нулевой многочлен (равный 0), который является нейтральным элементом для сложения: $P + 0 = P$.

Ответ: Сложение многочленов коммутативно и ассоциативно.

3. Свойства операции умножения

Умножение многочленов также коммутативно и ассоциативно.

• Коммутативность (переместительное свойство): от перестановки сомножителей-многочленов произведение не изменяется. Для любых многочленов $P$ и $Q$:
  $P \cdot Q = Q \cdot P$
• Ассоциативность (сочетательное свойство): результат умножения трех и более многочленов не зависит от способа группировки сомножителей. Для любых многочленов $P$, $Q$ и $R$:
  $(P \cdot Q) \cdot R = P \cdot (Q \cdot R)$

Нейтральным элементом для умножения является единичный многочлен (равный 1): $P \cdot 1 = P$.

Ответ: Умножение многочленов коммутативно и ассоциативно.

4. Дистрибутивность (распределительное свойство)

Это свойство связывает операции сложения и умножения. Оно гласит, что для умножения многочлена на сумму других многочленов, нужно умножить этот многочлен на каждый из слагаемых и полученные произведения сложить. Для любых многочленов $P$, $Q$ и $R$:

$P \cdot (Q + R) = P \cdot Q + P \cdot R$

Это свойство является основой правила раскрытия скобок.

Ответ: Умножение многочленов дистрибутивно относительно сложения.

5. Свойства степени многочлена

Степенью многочлена стандартного вида ($\deg(P)$) называется наибольшая из степеней его членов.

• Степень суммы: Степень суммы двух многочленов не превосходит наибольшей из степеней слагаемых.
  $\deg(P + Q) \le \max(\deg(P), \deg(Q))$
  Например, если $\deg(P) = \deg(Q)$, старшие члены могут взаимно уничтожиться, и степень суммы будет меньше.
• Степень произведения: Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме их степеней.
  $\deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q)$ (где $P \ne 0, Q \ne 0$)

Ответ: Степень суммы многочленов не больше максимальной из их степеней, а степень произведения ненулевых многочленов равна сумме их степеней.

249. Заполните пропуски, применив свойство многочленов:

а) $a^2 + b = b + ...;$

б) $a + c + 0 = a + ...;$

в) $a + c^2 + c^2 = a + ...;$

г) $a + 0 + c = ...;$

д) $a + 2c + 3c = ...;$

е) $a + 2a + 3c = ....$

а) Для того чтобы заполнить пропуск в выражении $a^2 + b = b + ...$, мы применяем переместительное (коммутативное) свойство сложения. Это свойство гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то есть $x + y = y + x$. В данном случае слагаемыми являются $a^2$ и $b$. Следовательно, мы можем поменять их местами, не изменяя результат: $a^2 + b = b + a^2$.
Ответ: $a^2$.

б) В выражении $a + c + 0 = a + ...$ используется свойство сложения с нулем (свойство аддитивного тождества). Любое число, сложенное с нулем, равно самому себе: $x + 0 = x$. Применим это к левой части выражения: $a + c + 0 = a + (c + 0) = a + c$. Сравнивая полученное выражение с правой частью $a + ...$, видим, что на месте пропуска должен стоять член $c$.
Ответ: $c$.

в) В выражении $a + c^2 + c^2 = a + ...$ необходимо привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми называются члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае это $c^2$ и $c^2$. Складываем их: $c^2 + c^2 = 1c^2 + 1c^2 = (1+1)c^2 = 2c^2$. Таким образом, левая часть уравнения преобразуется в $a + 2c^2$. Сравнивая это с правой частью $a + ...$, заключаем, что пропуск нужно заполнить выражением $2c^2$.
Ответ: $2c^2$.

г) В выражении $a + 0 + c = ...$ мы снова используем свойство сложения с нулем. Сложение $a + 0$ дает в результате $a$. Таким образом, выражение упрощается: $a + 0 + c = (a + 0) + c = a + c$.
Ответ: $a + c$.

д) В выражении $a + 2c + 3c = ...$ мы приводим подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые $2c$ и $3c$. Складывая их коэффициенты, получаем: $2c + 3c = (2 + 3)c = 5c$. В результате все выражение равно $a + 5c$.
Ответ: $a + 5c$.

е) В выражении $a + 2a + 3c = ...$ также нужно привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми здесь являются $a$ и $2a$. Их сумма равна $a + 2a = 1a + 2a = (1 + 2)a = 3a$. После приведения подобных слагаемых выражение принимает вид $3a + 3c$.
Ответ: $3a + 3c$.