Страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

241. а) Что называют многочленом; членами многочлена? Приведите пример многочлена и укажите все его члены.

б) Можно ли считать одночлен многочленом? Что такое нулевой многочлен?

в) Можно ли считать число 2,(5) многочленом?

а) Что называют многочленом; членами многочлена? Приведите пример многочлена и укажите все его члены.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами.
Например, рассмотрим многочлен $7x^4 - 5x^2y + 3xy - 1$.
Членами этого многочлена являются одночлены: $7x^4$, $-5x^2y$, $3xy$ и $-1$.

Ответ: Многочлен — это сумма одночленов. Члены многочлена — это одночлены, из которых он состоит. Пример многочлена: $7x^4 - 5x^2y + 3xy - 1$, его члены: $7x^4$, $-5x^2y$, $3xy$, $-1$.

б) Можно ли считать одночлен многочленом? Что такое нулевой многочлен?

Да, любой одночлен можно считать частным случаем многочлена, который состоит из одного члена. Например, одночлен $8a^2b$ также является многочленом.
Нулевой многочлен — это многочлен, тождественно равный нулю. Он получается, если все коэффициенты многочлена равны нулю. Нулевой многочлен записывается как число 0. Степень нулевого многочлена не определена.

Ответ: Да, одночлен можно считать многочленом. Нулевой многочлен — это число 0.

в) Можно ли считать число 2,(5) многочленом?

Да, можно. Число 2,(5) — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая является рациональным числом. Представим ее в виде обыкновенной дроби:
Пусть $x = 2,(5) = 2,555...$
Тогда $10x = 25,555...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 25,555... - 2,555...$
$9x = 23$
$x = \frac{23}{9}$
Любое число (в данном случае $\frac{23}{9}$) является одночленом нулевой степени (константой). Так как любой одночлен, в свою очередь, является многочленом, то и число 2,(5) можно считать многочленом.

Ответ: Да, можно, так как это число является одночленом нулевой степени, а любой одночлен является многочленом.

242. Приведите примеры равенств многочленов.

Два многочлена называются тождественно равными, если их значения равны при любых значениях входящих в них переменных. Это означает, что после приведения обоих многочленов к стандартному виду (упрощения) они будут полностью совпадать. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. Ниже приведены примеры таких равенств.

Пример 1: Приведение подобных слагаемых

Рассмотрим многочлен, в котором есть подобные слагаемые: $7x^2 + 4y - 3x^2 + y$. Чтобы привести его к стандартному виду, нужно сгруппировать и сложить члены с одинаковой переменной частью:

$(7x^2 - 3x^2) + (4y + y) = 4x^2 + 5y$

Таким образом, мы получаем тождественное равенство двух многочленов:

$7x^2 + 4y - 3x^2 + y = 4x^2 + 5y$

Левая и правая части этого равенства будут принимать одинаковые значения при любых значениях $x$ и $y$.

Ответ: $7x^2 + 4y - 3x^2 + y = 4x^2 + 5y$.

Пример 2: Раскрытие скобок (распределительный закон)

Рассмотрим выражение со скобками: $5a(a - 2b) + 10ab$. Чтобы доказать равенство, раскроем скобки в левой части, используя распределительный закон умножения ($m(n+k) = mn + mk$):

$5a \cdot a - 5a \cdot 2b + 10ab = 5a^2 - 10ab + 10ab$

Теперь приведем подобные слагаемые ($-10ab$ и $+10ab$ взаимно уничтожаются):

$5a^2 - 10ab + 10ab = 5a^2$

В результате получаем следующее тождественное равенство:

$5a(a - 2b) + 10ab = 5a^2$

Ответ: $5a(a - 2b) + 10ab = 5a^2$.

Пример 3: Использование формулы квадрата суммы

Формулы сокращенного умножения являются классическими примерами равенств многочленов. Например, формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Эта формула показывает, что многочлен $(a+b)^2$ (представленный как произведение $(a+b)(a+b)$) тождественно равен многочлену $a^2 + 2ab + b^2$.

Применим ее для конкретного выражения, например, для $(c+5)^2$:

$(c+5)^2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 5 + 5^2 = c^2 + 10c + 25$

Полученное равенство является тождеством.

Ответ: $(c+5)^2 = c^2 + 10c + 25$.

Пример 4: Использование формулы разности квадратов

Еще одной важной формулой является разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Это равенство показывает, что многочлен $a^2 - b^2$ можно представить в виде произведения двух других многочленов (разложить на множители).

Например, рассмотрим многочлен $4m^2 - 9n^2$. Его можно представить как разность квадратов:

$4m^2 - 9n^2 = (2m)^2 - (3n)^2$

Применяя формулу, получаем равенство:

$(2m)^2 - (3n)^2 = (2m - 3n)(2m + 3n)$

Это равенство также является тождеством.

Ответ: $4m^2 - 9n^2 = (2m - 3n)(2m + 3n)$.

243. Назовите члены многочлена:

а) $a + b + c;$

б) $a^2 + ab + b^2;$

в) $a^2 - 2ab + b^2;$

г) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1;$

д) $x^3 - \frac{3}{7}x^2 + \frac{2}{3}x;$

е) $-x^3 + \frac{2}{7}x + \frac{4}{3}.$

а) Членами многочлена, или полинома, называются его слагаемые. В данном случае многочлен $a + b + c$ состоит из трех слагаемых (членов).
Ответ: $a$, $b$, $c$.

б) Многочлен $a^2 + ab + b^2$ представляет собой сумму трех одночленов.
Ответ: $a^2$, $ab$, $b^2$.

в) Любой многочлен можно представить в виде суммы одночленов. Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ можно записать как $a^2 + (-2ab) + b^2$. Таким образом, члены многочлена включают их знаки.
Ответ: $a^2$, $-2ab$, $b^2$.

г) Аналогично предыдущему пункту, многочлен $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ представляется в виде суммы $x^3 + (-3x^2) + 3x + (-1)$.
Ответ: $x^3$, $-3x^2$, $3x$, $-1$.

д) Членами многочлена $x^3 - \frac{3}{7}x^2 + \frac{2}{3}x$ являются одночлены, из которых он состоит при представлении в виде суммы: $x^3 + (-\frac{3}{7}x^2) + \frac{2}{3}x$.
Ответ: $x^3$, $-\frac{3}{7}x^2$, $\frac{2}{3}x$.

е) В многочлене $-x^3 + \frac{2}{7}x + \frac{4}{3}$ члены сразу представлены в виде суммы, где первый член имеет отрицательный знак.
Ответ: $-x^3$, $\frac{2}{7}x$, $\frac{4}{3}$.

244. Выпишите все члены многочлена:

а) $2x^2 - 3xy - xy + 7y$;

б) $-x^7 - x^5 - 2x^3 - 3x$;

в) $x^2 + \frac{1}{3}x - 1\tfrac{1}{3}$;

г) $-x^3 + \frac{3}{4}x^2 - \frac{3}{11}$.

а) Дан многочлен $2x^2 - 3xy - xy + 7y$.

Члены многочлена – это одночлены (одночленные выражения), из которых он состоит. Чтобы выписать все члены, сначала необходимо привести подобные слагаемые, то есть упростить многочлен. Подобными слагаемыми в данном выражении являются $-3xy$ и $-xy$, так как они имеют одинаковую буквенную часть.

Найдем их сумму: $-3xy - xy = (-3 - 1)xy = -4xy$.

После приведения подобных слагаемых многочлен принимает стандартный вид: $2x^2 - 4xy + 7y$.

Теперь выпишем члены этого многочлена. Члены многочлена – это слагаемые, из которых он состоит, взятые со своими знаками.

Членами многочлена являются: $2x^2$, $-4xy$ и $7y$.

Ответ: $2x^2$; $-4xy$; $7y$.

б) Дан многочлен $-x^7 - x^5 - 2x^3 - 3x$.

Этот многочлен уже представлен в стандартном виде, так как в нем нет подобных слагаемых, и его члены записаны в порядке убывания степеней переменной $x$.

Выпишем все его члены, учитывая их знаки:

Первый член: $-x^7$.
Второй член: $-x^5$.
Третий член: $-2x^3$.
Четвертый член: $-3x$.

Ответ: $-x^7$; $-x^5$; $-2x^3$; $-3x$.

в) Дан многочлен $x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$.

Этот многочлен представлен в стандартном виде. Подобные слагаемые отсутствуют, и члены упорядочены по убыванию степеней переменной.

Выпишем все его члены:

Первый член: $x^2$.
Второй член: $\frac{1}{3}x$.
Третий член: $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $x^2$; $\frac{1}{3}x$; $-\frac{1}{3}$.

г) Дан многочлен $-x^3 + \frac{3}{4}x^2 - \frac{3}{11}$.

Этот многочлен также находится в стандартном виде, так как все подобные слагаемые приведены, и члены упорядочены по убыванию степеней переменной $x$.

Выпишем все его члены, учитывая их знаки:

Первый член: $-x^3$.
Второй член: $\frac{3}{4}x^2$.
Третий член: $-\frac{3}{11}$.

Ответ: $-x^3$; $\frac{3}{4}x^2$; $-\frac{3}{11}$.

245. Запишите многочлен, членами которого являются одночлены:

а) $a$ и $c$;

б) $2x$ и $y^2$;

в) $2a$, $b^3$ и $(-2)$;

г) $x^3$, $0,5y^2$, $(-x)$ и $(-5xy)$.

Многочлен — это алгебраическая сумма нескольких одночленов. Чтобы записать многочлен, нужно сложить данные одночлены.

а) Даны одночлены $a$ и $c$.

Их алгебраическая сумма представляет собой многочлен: $a + c$.

Ответ: $a + c$

б) Даны одночлены $2x$ и $y^2$.

Их алгебраическая сумма представляет собой многочлен: $2x + y^2$.

Ответ: $2x + y^2$

в) Даны одночлены $2a$, $b^3$ и $(-2)$.

Их алгебраическая сумма: $2a + b^3 + (-2)$.

При сложении с отрицательным числом знак "плюс" можно заменить на "минус": $2a + b^3 - 2$.

Ответ: $2a + b^3 - 2$

г) Даны одночлены $x^3$, $0.5y^2$, $(-x)$ и $(-5xy)$.

Их алгебраическая сумма: $x^3 + 0.5y^2 + (-x) + (-5xy)$.

Раскроем скобки, учитывая знаки: $x^3 + 0.5y^2 - x - 5xy$.

Ответ: $x^3 + 0.5y^2 - x - 5xy$

246. Запишите многочлен в виде суммы одночленов:

а) $a - b$;

б) $2a - 3$;

в) $-xy - y^2$;

г) $-2x^2 - 0.5y$.

Чтобы записать многочлен в виде суммы одночленов, необходимо каждое вычитание представить как сложение с противоположным по знаку числом (одночленом). Общий принцип: выражение $A - B$ можно записать в виде суммы $A + (-B)$.

а) Дан многочлен $a - b$. Это разность двух одночленов: $a$ и $b$. Чтобы представить его в виде суммы, заменим вычитание одночлена $b$ на прибавление противоположного ему одночлена $(-b)$.
$a - b = a + (-b)$.
Одночленами, из которых состоит сумма, являются $a$ и $-b$.
Ответ: $a + (-b)$.

б) Дан многочлен $2a - 3$. Это разность одночлена $2a$ и числа $3$ (которое также является одночленом). Представим это выражение в виде суммы.
$2a - 3 = 2a + (-3)$.
Одночленами, из которых состоит сумма, являются $2a$ и $-3$.
Ответ: $2a + (-3)$.

в) Дан многочлен $-xy - y^2$. Это выражение можно рассматривать как сумму одночлена $-xy$ и вычитаемого одночлена $y^2$. Заменим вычитание на сложение с противоположным одночленом.
$-xy - y^2 = (-xy) + (-y^2)$.
Одночленами, из которых состоит сумма, являются $-xy$ и $-y^2$.
Ответ: $(-xy) + (-y^2)$.

г) Дан многочлен $-2x^2 - 0,5y$. Это выражение является алгебраической суммой двух одночленов. Представим его в виде явной суммы.
$-2x^2 - 0,5y = (-2x^2) + (-0,5y)$.
Одночленами, из которых состоит сумма, являются $-2x^2$ и $-0,5y$.
Ответ: $(-2x^2) + (-0,5y)$.

247. Является ли многочленом выражение:

a) $2a - 7,2$;

б) $x^2 - 3x + 4$;

в) $\frac{a}{b} - 4$;

г) $\frac{3m}{1-n}$;

д) $7,823$;

е) $0?$;

а) Многочлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Выражение $2a - 7,2$ является суммой двух одночленов: $2a$ (произведение числа 2 и переменной $a$ в первой степени) и $-7,2$ (число, или одночлен нулевой степени). Следовательно, данное выражение является многочленом.
Ответ: да, является.

б) Выражение $x^2 - 3x + 4$ является суммой трех одночленов: $x^2$ (переменная во второй степени), $-3x$ (произведение числа -3 и переменной $x$ в первой степени) и $4$ (число). Все степени переменных являются натуральными числами или нулем. Следовательно, это выражение является многочленом.
Ответ: да, является.

в) Выражение $\frac{a}{b} - 4$ содержит член $\frac{a}{b}$, который представляет собой деление на переменную $b$. В определении многочлена не допускается операция деления на переменную. Этот член можно записать как $a \cdot b^{-1}$, где показатель степени переменной $b$ равен $-1$, что не является неотрицательным целым числом. Следовательно, данное выражение не является многочленом.
Ответ: нет, не является.

г) Выражение $\frac{3m}{1-n}$ содержит операцию деления на выражение $1-n$, которое содержит переменную $n$. Многочлены не могут содержать деления на переменные или на выражения с переменными. Следовательно, это выражение не является многочленом.
Ответ: нет, не является.

д) Выражение $7,823$ является числом, то есть константой. Любое число можно рассматривать как одночлен (и, следовательно, как многочлен), в котором все переменные находятся в нулевой степени.
Ответ: да, является.

е) Выражение $0$ является числом. Число $0$ — это частный случай одночлена. Следовательно, $0$ является многочленом, который называют нулевым многочленом.
Ответ: да, является.