Номер 242, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.1. Понятие многочлена. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 242, страница 77.

Условие.

242. Приведите примеры равенств многочленов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Два многочлена называются тождественно равными, если их значения равны при любых значениях входящих в них переменных. Это означает, что после приведения обоих многочленов к стандартному виду (упрощения) они будут полностью совпадать. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. Ниже приведены примеры таких равенств.

Пример 1: Приведение подобных слагаемых

Рассмотрим многочлен, в котором есть подобные слагаемые: $7x^2 + 4y - 3x^2 + y$. Чтобы привести его к стандартному виду, нужно сгруппировать и сложить члены с одинаковой переменной частью:

$(7x^2 - 3x^2) + (4y + y) = 4x^2 + 5y$

Таким образом, мы получаем тождественное равенство двух многочленов:

$7x^2 + 4y - 3x^2 + y = 4x^2 + 5y$

Левая и правая части этого равенства будут принимать одинаковые значения при любых значениях $x$ и $y$.

Ответ: $7x^2 + 4y - 3x^2 + y = 4x^2 + 5y$.

Пример 2: Раскрытие скобок (распределительный закон)

Рассмотрим выражение со скобками: $5a(a - 2b) + 10ab$. Чтобы доказать равенство, раскроем скобки в левой части, используя распределительный закон умножения ($m(n+k) = mn + mk$):

$5a \cdot a - 5a \cdot 2b + 10ab = 5a^2 - 10ab + 10ab$

Теперь приведем подобные слагаемые ($-10ab$ и $+10ab$ взаимно уничтожаются):

$5a^2 - 10ab + 10ab = 5a^2$

В результате получаем следующее тождественное равенство:

$5a(a - 2b) + 10ab = 5a^2$

Ответ: $5a(a - 2b) + 10ab = 5a^2$.

Пример 3: Использование формулы квадрата суммы

Формулы сокращенного умножения являются классическими примерами равенств многочленов. Например, формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Эта формула показывает, что многочлен $(a+b)^2$ (представленный как произведение $(a+b)(a+b)$) тождественно равен многочлену $a^2 + 2ab + b^2$.

Применим ее для конкретного выражения, например, для $(c+5)^2$:

$(c+5)^2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 5 + 5^2 = c^2 + 10c + 25$

Полученное равенство является тождеством.

Ответ: $(c+5)^2 = c^2 + 10c + 25$.

Пример 4: Использование формулы разности квадратов

Еще одной важной формулой является разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Это равенство показывает, что многочлен $a^2 - b^2$ можно представить в виде произведения двух других многочленов (разложить на множители).

Например, рассмотрим многочлен $4m^2 - 9n^2$. Его можно представить как разность квадратов:

$4m^2 - 9n^2 = (2m)^2 - (3n)^2$

Применяя формулу, получаем равенство:

$(2m)^2 - (3n)^2 = (2m - 3n)(2m + 3n)$

Это равенство также является тождеством.

Ответ: $4m^2 - 9n^2 = (2m - 3n)(2m + 3n)$.