Страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

208. По какому правилу:

а) умножают степени одной и той же буквы;

б) возводят в степень произведение букв;

в) степень буквы возводят в степень?

а) умножают степени одной и той же буквы;

Чтобы умножить степени с одинаковым основанием (одной и той же буквой), нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Это свойство степеней позволяет упрощать выражения. Например, при умножении $x^3$ на $x^4$, мы оставляем основание x и складываем показатели 3 и 4, получая $x^{3+4} = x^7$.

Ответ: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$

б) возводят в степень произведение букв;

Чтобы возвести в степень произведение, необходимо возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить. Например, чтобы возвести произведение $(xy)$ в куб, нужно каждый множитель, x и y, возвести в куб и перемножить результаты: $(xy)^3 = x^3 y^3$.

Ответ: $(ab)^n = a^n b^n$

в) степень буквы возводят в степень?

Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить. Например, при возведении $(x^2)$ в четвертую степень, мы оставляем основание x и перемножаем показатели 2 и 4, что дает $x^{2 \cdot 4} = x^8$.

Ответ: $(a^m)^n = a^{mn}$

209. а) Сформулируйте свойства одночленов.

б) Какие одночлены называют противоположными?

а) Сформулируйте свойства одночленов.

Основные свойства одночленов связаны с операциями, которые можно над ними выполнять, и их характеристиками. Вот ключевые свойства:

1. Приведение к стандартному виду. Любой одночлен можно записать в стандартном виде. Одночлен в стандартном виде — это произведение числового множителя (коэффициента), который стоит на первом месте, и степеней различных переменных. Каждая переменная в такой записи встречается только один раз.
Например: одночлен $4x^2y \cdot (-2)xy^3$ в нестандартном виде. Его стандартный вид: $-8x^3y^4$.

2. Умножение одночленов. Произведение двух или более одночленов также является одночленом. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их коэффициенты, а показатели степеней одинаковых переменных сложить.
Правило: $(k_1 a^m b^n) \cdot (k_2 a^p b^q) = (k_1 \cdot k_2) a^{m+p} b^{n+q}$.
Например: $(5a^2b) \cdot (3ab^4) = (5 \cdot 3) \cdot (a^{2+1}) \cdot (b^{1+4}) = 15a^3b^5$.

3. Возведение одночлена в степень. Чтобы возвести одночлен в натуральную степень, необходимо возвести в эту степень его коэффициент и каждую переменную, входящую в его состав (то есть показатель степени каждой переменной умножить на показатель степени, в которую возводится одночлен).
Правило: $(k a^m b^n)^p = k^p (a^m)^p (b^n)^p = k^p a^{mp} b^{np}$.
Например: $(-2x^3y^2)^4 = (-2)^4 (x^3)^4 (y^2)^4 = 16x^{12}y^8$.

4. Степень одночлена. Степенью одночлена стандартного вида называется сумма показателей степеней всех его переменных. Степень одночлена, который является числом, отличным от нуля, равна нулю. Степень нулевого одночлена (числа 0) не определена.
Например: степень одночлена $12x^4y^2z$ равна $4+2+1=7$.

Ответ: Свойства одночленов включают возможность приведения к стандартному виду, правила их умножения и возведения в степень, а также определение их степени как суммы показателей степеней переменных.

б) Какие одночлены называют противоположными?

Противоположными называют два одночлена, которые имеют одинаковую буквенную часть (то есть одинаковые переменные с одинаковыми показателями степени), но их коэффициенты являются противоположными числами.

Главное свойство противоположных одночленов заключается в том, что их сумма равна нулю.

Например:

- Одночлены $5xy^3$ и $-5xy^3$ являются противоположными, так как их буквенная часть $xy^3$ одинакова, а коэффициенты $5$ и $-5$ — противоположные числа. Их сумма: $5xy^3 + (-5xy^3) = 0$.

- Одночлены $-0.2a^4b$ и $0.2a^4b$ также противоположны. Их сумма: $-0.2a^4b + 0.2a^4b = 0$.

Ответ: Противоположными называют одночлены, которые отличаются друг от друга только знаком коэффициента. Их сумма всегда равна нулю.

210. Запишите одночлен, противоположный данному:

а) $6ab$;

б) $(-3)bc$;

в) $8kcp$;

г) $p$;

д) $-k$;

е) $0$;

ж) $2,5$;

з) $-18abx$.

Два одночлена называются противоположными, если их сумма равна нулю. Чтобы найти одночлен, противоположный данному, необходимо изменить знак его коэффициента на противоположный. Если дан одночлен $A$, то противоположный ему будет $-A$.

а) Дан одночлен $6ab$. Его коэффициент равен 6. Противоположный одночлен будет иметь коэффициент -6.
$-(6ab) = -6ab$.
Проверка: $6ab + (-6ab) = 0$.
Ответ: $-6ab$.

б) Дан одночлен $(-3)bc$, что то же самое, что и $-3bc$. Его коэффициент равен -3. Противоположный одночлен будет иметь коэффициент 3.
$-(-3bc) = 3bc$.
Проверка: $(-3bc) + 3bc = 0$.
Ответ: $3bc$.

в) Дан одночлен $8kcp$. Его коэффициент равен 8. Противоположный одночлен будет иметь коэффициент -8.
$-(8kcp) = -8kcp$.
Проверка: $8kcp + (-8kcp) = 0$.
Ответ: $-8kcp$.

г) Дан одночлен $p$. Его коэффициент по умолчанию равен 1. Противоположный одночлен будет иметь коэффициент -1.
$-(p) = -p$.
Проверка: $p + (-p) = 0$.
Ответ: $-p$.

д) Дан одночлен $-k$. Его коэффициент равен -1. Противоположный одночлен будет иметь коэффициент 1.
$-(-k) = k$.
Проверка: $-k + k = 0$.
Ответ: $k$.

е) Дан одночлен $0$. Число, противоположное нулю, — это сам ноль.
$-(0) = 0$.
Проверка: $0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.

ж) Дан одночлен $2,5$. Это число. Противоположным ему будет число $-2,5$.
$-(2,5) = -2,5$.
Проверка: $2,5 + (-2,5) = 0$.
Ответ: $-2,5$.

з) Дан одночлен $-18abx$. Его коэффициент равен -18. Противоположный одночлен будет иметь коэффициент 18.
$-(-18abx) = 18abx$.
Проверка: $-18abx + 18abx = 0$.
Ответ: $18abx$.

211. Запишите произведение одночленов в виде степени, назовите основание и показатель степени:

а) $bbbb$;

б) $aaaaa$;

в) $cccccccc$;

г) $kkkkkkkkk$.

а) Произведение одночленов bbbb — это умножение одночлена b на себя 4 раза. Чтобы записать это произведение в виде степени, нужно посчитать количество одинаковых множителей. В данном случае их 4. Этот множитель (b) будет основанием степени, а их количество (4) — показателем степени. Таким образом, получаем степень $b^4$.
Основание степени: b.
Показатель степени: 4.
Ответ: $b^4$; основание — b, показатель — 4.

б) Произведение одночленов aaaaa представляет собой умножение одночлена a на себя 5 раз. Основанием степени является повторяющийся множитель a, а показателем степени — количество повторений, то есть 5. Таким образом, произведение можно записать в виде степени $a^5$.
Основание степени: a.
Показатель степени: 5.
Ответ: $a^5$; основание — a, показатель — 5.

в) В произведении ccccccc одночлен c умножается сам на себя 7 раз. Следовательно, в виде степени это произведение записывается как $c^7$. Основанием данной степени является c, а показателем — число 7.
Основание степени: c.
Показатель степени: 7.
Ответ: $c^7$; основание — c, показатель — 7.

г) В произведении kkkkkkkkk одночлен k является множителем 9 раз. Запись этого произведения в виде степени будет $k^9$. В этом выражении k — это основание степени, а 9 — показатель степени.
Основание степени: k.
Показатель степени: 9.
Ответ: $k^9$; основание — k, показатель — 9.

212. Упростите запись одночлена, используя степень:

а) $aba$;

б) $kpppkp$;

в) $3abab$;

г) $7xxyyyyx$;

д) $ababa$;

е) $3a2a3a$;

ж) $a^3a^4$;

з) $a^2a^3a^5$.

а) Чтобы упростить выражение $aba$, мы группируем одинаковые переменные и представляем их произведение в виде степени. В данном выражении переменная $a$ встречается два раза, а переменная $b$ — один раз, поэтому $aba = (a \cdot a) \cdot b = a^2b$.

Ответ: $a^2b$.

б) В выражении $kpppkp$ сгруппируем одинаковые множители. Переменная $k$ встречается два раза, а переменная $p$ — четыре раза. Таким образом, $kpppkp = (k \cdot k) \cdot (p \cdot p \cdot p \cdot p) = k^2p^4$.

Ответ: $k^2p^4$.

в) В одночлене $3abab$ есть числовой коэффициент $3$ и переменные $a$ и $b$. Сгруппируем переменные: $a$ встречается два раза, $b$ также встречается два раза. Следовательно, $3abab = 3 \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) = 3a^2b^2$.

Ответ: $3a^2b^2$.

г) В выражении $7xxyyyyx$ числовой коэффициент равен $7$. Сгруппируем переменные. Переменная $x$ встречается три раза, а переменная $y$ — четыре раза. В результате получаем $7xxyyyyx = 7 \cdot (x \cdot x \cdot x) \cdot (y \cdot y \cdot y \cdot y) = 7x^3y^4$.

Ответ: $7x^3y^4$.

д) Для упрощения выражения $ababa$ сгруппируем одинаковые переменные. Переменная $a$ является множителем три раза, а переменная $b$ — два раза. Таким образом, $ababa = (a \cdot a \cdot a) \cdot (b \cdot b) = a^3b^2$.

Ответ: $a^3b^2$.

е) В выражении $3a2a3a$ есть числовые множители ($3, 2, 3$) и переменная $a$. Сначала перемножим числовые коэффициенты: $3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$. Затем перемножим переменные: $a \cdot a \cdot a = a^3$. Объединив результаты, получаем: $(3 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (a \cdot a \cdot a) = 18a^3$.

Ответ: $18a^3$.

ж) Чтобы упростить выражение $a^3a^4$, мы используем свойство степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). В данном случае $a^3a^4 = a^{3+4} = a^7$.

Ответ: $a^7$.

з) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями. Складываем все показатели степеней: $a^2a^3a^5 = a^{2+3+5} = a^{10}$.

Ответ: $a^{10}$.

213. Упростите запись одночлена, используя свойство степени:

а) $a^2a^3$;

б) $b^4b$;

в) $k^5k^3$;

г) $x^3x^{12}$;

д) $a^3ba^2$;

е) $k^4n^5k^3n^2$;

ж) $2x^3yx^2y^5$;

з) $3a^{10}b^2a^{10}b^2$.

а) Для упрощения выражения $a^2a^3$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. В данном случае основание равно $a$, а показатели степеней — 2 и 3. Складываем показатели: $2 + 3 = 5$.
Таким образом, $a^2a^3 = a^{2+3} = a^5$.
Ответ: $a^5$.

б) В выражении $b^4b$ множитель $b$ можно представить как степень с показателем 1, то есть $b^1$. Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, мы складываем показатели степеней: $4 + 1 = 5$.
Следовательно, $b^4b = b^4b^1 = b^{4+1} = b^5$.
Ответ: $b^5$.

в) Чтобы упростить $k^5k^3$, применяем то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием $k$. Складываем показатели степеней: $5 + 3 = 8$.
В результате получаем $k^5k^3 = k^{5+3} = k^8$.
Ответ: $k^8$.

г) Для выражения $x^3x^{12}$ основание одинаковое и равно $x$. Согласно свойству степеней, при умножении показатели складываются: $3 + 12 = 15$.
Значит, $x^3x^{12} = x^{3+12} = x^{15}$.
Ответ: $x^{15}$.

д) В одночлене $a^3ba^2$ сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, используя переместительное свойство умножения: $(a^3a^2)b$. Теперь применим свойство умножения степеней для множителей с основанием $a$: $a^3a^2 = a^{3+2} = a^5$. Множитель $b$ остается без изменений.
Полное упрощение: $a^3ba^2 = (a^3a^2)b = a^5b$.
Ответ: $a^5b$.

е) Перегруппируем множители в выражении $k^4n^5k^3n^2$, чтобы собрать вместе степени с одинаковыми основаниями: $(k^4k^3)(n^5n^2)$. Упростим каждую группу отдельно, сложив показатели степеней.
Для основания $k$: $k^4k^3 = k^{4+3} = k^7$.
Для основания $n$: $n^5n^2 = n^{5+2} = n^7$.
Объединяем результаты: $k^7n^7$.
Ответ: $k^7n^7$.

ж) В одночлене $2x^3yx^2y^5$ сгруппируем числовой коэффициент и степени с одинаковыми основаниями: $2(x^3x^2)(yy^5)$. Учитывая, что $y=y^1$, применим свойство умножения степеней.
Для основания $x$: $x^3x^2 = x^{3+2} = x^5$.
Для основания $y$: $yy^5 = y^1y^5 = y^{1+5} = y^6$.
Собираем все вместе: $2x^5y^6$.
Ответ: $2x^5y^6$.

з) Сгруппируем множители в выражении $3a^{10}b^2a^{10}b^2$ по основаниям: $3(a^{10}a^{10})(b^2b^2)$. Применим свойство умножения степеней для каждой группы переменных.
Для основания $a$: $a^{10}a^{10} = a^{10+10} = a^{20}$.
Для основания $b$: $b^2b^2 = b^{2+2} = b^4$.
Конечный результат, включая числовой коэффициент: $3a^{20}b^4$.
Ответ: $3a^{20}b^4$.

Найдите одночлен, равный произведению одночленов (214—217):

214. а) $3ab \cdot 2a;$

б) $8bc^3 \cdot bc;$

в) $9ce^2 \cdot 6ce;$

г) $7e^2k \cdot 6e^3k;$

д) $4ap^2 \cdot 5a^2p;$

е) $6kp \cdot 7k^2p^2;$

ж) $3a^2bc \cdot 6abc;$

з) $4bc^2e \cdot 6b^2ce;$

и) $7c^2ek \cdot 5c^3e^4k;$

к) $6e^2k^5p \cdot 8e^3k^4p;$

л) $4k^6p^2x^3 \cdot 4k^2p^4x^4;$

м) $9px^2y^3 \cdot 4p^4x^3y^2.$

Для нахождения произведения одночленов необходимо перемножить их числовые коэффициенты, а затем перемножить переменные с одинаковыми основаниями, сложив их показатели степеней.

а) Чтобы найти произведение $3ab$ и $2a$, сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные: $3ab \cdot 2a = (3 \cdot 2) \cdot (a \cdot a) \cdot b = 6a^{1+1}b = 6a^2b$.
Ответ: $6a^2b$

б) Найдём произведение $8bc^3$ и $bc$: $8bc^3 \cdot bc = 8 \cdot (b \cdot b) \cdot (c^3 \cdot c) = 8b^{1+1}c^{3+1} = 8b^2c^4$.
Ответ: $8b^2c^4$

в) Найдём произведение $9ce^2$ и $6ce$: $9ce^2 \cdot 6ce = (9 \cdot 6) \cdot (c \cdot c) \cdot (e^2 \cdot e) = 54c^{1+1}e^{2+1} = 54c^2e^3$.
Ответ: $54c^2e^3$

г) Найдём произведение $7e^2k$ и $6e^3k$: $7e^2k \cdot 6e^3k = (7 \cdot 6) \cdot (e^2 \cdot e^3) \cdot (k \cdot k) = 42e^{2+3}k^{1+1} = 42e^5k^2$.
Ответ: $42e^5k^2$

д) Найдём произведение $4ap^2$ и $5a^2p$: $4ap^2 \cdot 5a^2p = (4 \cdot 5) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (p^2 \cdot p) = 20a^{1+2}p^{2+1} = 20a^3p^3$.
Ответ: $20a^3p^3$

е) Найдём произведение $6kp$ и $7k^2p^2$: $6kp \cdot 7k^2p^2 = (6 \cdot 7) \cdot (k \cdot k^2) \cdot (p \cdot p^2) = 42k^{1+2}p^{1+2} = 42k^3p^3$.
Ответ: $42k^3p^3$

ж) Найдём произведение $3a^2bc$ и $6abc$: $3a^2bc \cdot 6abc = (3 \cdot 6) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b) \cdot (c \cdot c) = 18a^{2+1}b^{1+1}c^{1+1} = 18a^3b^2c^2$.
Ответ: $18a^3b^2c^2$

з) Найдём произведение $4bc^2e$ и $6b^2ce$: $4bc^2e \cdot 6b^2ce = (4 \cdot 6) \cdot (b \cdot b^2) \cdot (c^2 \cdot c) \cdot (e \cdot e) = 24b^{1+2}c^{2+1}e^{1+1} = 24b^3c^3e^2$.
Ответ: $24b^3c^3e^2$

и) Найдём произведение $7c^2ek$ и $5c^3e^4k$: $7c^2ek \cdot 5c^3e^4k = (7 \cdot 5) \cdot (c^2 \cdot c^3) \cdot (e \cdot e^4) \cdot (k \cdot k) = 35c^{2+3}e^{1+4}k^{1+1} = 35c^5e^5k^2$.
Ответ: $35c^5e^5k^2$

к) Найдём произведение $6e^2k^5p$ и $8e^3k^4p$: $6e^2k^5p \cdot 8e^3k^4p = (6 \cdot 8) \cdot (e^2 \cdot e^3) \cdot (k^5 \cdot k^4) \cdot (p \cdot p) = 48e^{2+3}k^{5+4}p^{1+1} = 48e^5k^9p^2$.
Ответ: $48e^5k^9p^2$

л) Найдём произведение $4k^6p^2x^3$ и $4k^2p^4x^4$: $4k^6p^2x^3 \cdot 4k^2p^4x^4 = (4 \cdot 4) \cdot (k^6 \cdot k^2) \cdot (p^2 \cdot p^4) \cdot (x^3 \cdot x^4) = 16k^{6+2}p^{2+4}x^{3+4} = 16k^8p^6x^7$.
Ответ: $16k^8p^6x^7$

м) Найдём произведение $9px^2y^3$ и $4p^4x^3y^2$: $9px^2y^3 \cdot 4p^4x^3y^2 = (9 \cdot 4) \cdot (p \cdot p^4) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot (y^3 \cdot y^2) = 36p^{1+4}x^{2+3}y^{3+2} = 36p^5x^5y^5$.
Ответ: $36p^5x^5y^5$

215. a) $11pk^2 \cdot 4p^3x;$

б) $15x^2y^3 \cdot 8x^4y;$

в) $3a \cdot (-6)a^2b;$

г) $(-4)b^2 \cdot (-7)bc^2;$

д) $(-5)c^3k \cdot 5ck^2;$

е) $(-7)k^2p^3 \cdot (-9)kp^3;$

ж) $(-5)p^2x^2 \cdot 8p^2x^5;$

з) $25x^2y \cdot (-6)x^2y^2.$

а) Чтобы умножить одночлены, необходимо перемножить их числовые коэффициенты, а затем перемножить степени с одинаковыми основаниями, сложив их показатели.
$11pk^2 \cdot 4p^3x = (11 \cdot 4) \cdot (p^1 \cdot p^3) \cdot k^2 \cdot x = 44 \cdot p^{1+3} \cdot k^2 \cdot x = 44p^4k^2x$.
Для приведения одночлена к стандартному виду запишем переменные в алфавитном порядке: $44k^2p^4x$.
Ответ: $44k^2p^4x$

б) Перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$15x^2y^3 \cdot 8x^4y = (15 \cdot 8) \cdot (x^2 \cdot x^4) \cdot (y^3 \cdot y^1) = 120 \cdot x^{2+4} \cdot y^{3+1} = 120x^6y^4$.
Ответ: $120x^6y^4$

в) Перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$3a \cdot (-6)a^2b = (3 \cdot (-6)) \cdot (a^1 \cdot a^2) \cdot b = -18 \cdot a^{1+2} \cdot b = -18a^3b$.
Ответ: $-18a^3b$

г) Перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$(-4)b^2 \cdot (-7)bc^2 = ((-4) \cdot (-7)) \cdot (b^2 \cdot b^1) \cdot c^2 = 28 \cdot b^{2+1} \cdot c^2 = 28b^3c^2$.
Ответ: $28b^3c^2$

д) Перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$(-5)c^3k \cdot 5ck^2 = ((-5) \cdot 5) \cdot (c^3 \cdot c^1) \cdot (k^1 \cdot k^2) = -25 \cdot c^{3+1} \cdot k^{1+2} = -25c^4k^3$.
Ответ: $-25c^4k^3$

е) Перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$(-7)k^2p^3 \cdot (-9)kp^3 = ((-7) \cdot (-9)) \cdot (k^2 \cdot k^1) \cdot (p^3 \cdot p^3) = 63 \cdot k^{2+1} \cdot p^{3+3} = 63k^3p^6$.
Ответ: $63k^3p^6$

ж) Перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$(-5)p^2x^2 \cdot 8p^2x^5 = ((-5) \cdot 8) \cdot (p^2 \cdot p^2) \cdot (x^2 \cdot x^5) = -40 \cdot p^{2+2} \cdot x^{2+5} = -40p^4x^7$.
Ответ: $-40p^4x^7$

з) Перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$25x^2y \cdot (-6)x^2y^2 = (25 \cdot (-6)) \cdot (x^2 \cdot x^2) \cdot (y^1 \cdot y^2) = -150 \cdot x^{2+2} \cdot y^{1+2} = -150x^4y^3$.
Ответ: $-150x^4y^3$

216. а) $1 \frac{1}{5} a^2b^3 \cdot 1 \frac{1}{9} ab^2;$

б) $\left(-1 \frac{2}{3}\right) b^2c^3 \cdot \left(-\frac{2}{15}\right) b^2c^2;$

в) $\frac{1}{2} ck^2 \cdot \frac{2}{3} ck;$

г) $1 \frac{2}{3} k^3p^2 \cdot \left(-1 \frac{1}{5}\right) kp^2;$

д) $\left(-2 \frac{1}{4}\right) p^2x^2 \cdot 1 \frac{1}{3} px^3;$

е) $\left(-\frac{9}{11}\right) x^2y^3 \cdot \left(-1 \frac{2}{9}\right) xy;$

ж) $\left(-1 \frac{2}{3}\right) a^2x^3 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) a^2x^4;$

з) $\left(-2 \frac{5}{6}\right) a^3c^2 \cdot 1 \frac{2}{3} ac^2.$

а) Чтобы умножить одночлены $1\frac{1}{5}a^2b^3$ и $1\frac{1}{9}ab^2$, сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$ и $1\frac{1}{9} = \frac{10}{9}$. Затем перемножаем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: $(\frac{6}{5} \cdot \frac{10}{9}) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b^3 \cdot b^2) = \frac{6 \cdot 10}{5 \cdot 9} \cdot a^{2+1} \cdot b^{3+2} = \frac{60}{45}a^3b^5 = \frac{4}{3}a^3b^5$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. Таким образом, получаем $1\frac{1}{3}a^3b^5$. Ответ: $1\frac{1}{3}a^3b^5$.

б) Чтобы умножить $(-1\frac{2}{3})b^2c^3$ на $(-\frac{2}{15})b^2c^2$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$. Выполним умножение коэффициентов и переменных: $(-\frac{5}{3} \cdot -\frac{2}{15}) \cdot (b^2 \cdot b^2) \cdot (c^3 \cdot c^2) = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 15} \cdot b^{2+2} \cdot c^{3+2} = \frac{10}{45}b^4c^5 = \frac{2}{9}b^4c^5$. Ответ: $\frac{2}{9}b^4c^5$.

в) Умножим $\frac{1}{2}ck^2$ на $\frac{2}{3}ck$. Перемножаем коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями: $(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}) \cdot (c \cdot c) \cdot (k^2 \cdot k) = \frac{2}{6} \cdot c^{1+1} \cdot k^{2+1} = \frac{1}{3}c^2k^3$. Ответ: $\frac{1}{3}c^2k^3$.

г) Умножим $1\frac{2}{3}k^3p^2$ на $(-1\frac{1}{5})kp^2$. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ и $-1\frac{1}{5} = -\frac{6}{5}$. Выполним умножение: $(\frac{5}{3} \cdot -\frac{6}{5}) \cdot (k^3 \cdot k) \cdot (p^2 \cdot p^2) = -\frac{30}{15} \cdot k^{3+1} \cdot p^{2+2} = -2k^4p^4$. Ответ: $-2k^4p^4$.

д) Умножим $(-2\frac{1}{4})p^2x^2$ на $1\frac{1}{3}px^3$. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $-2\frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$ и $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Выполним умножение: $(-\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3}) \cdot (p^2 \cdot p) \cdot (x^2 \cdot x^3) = -\frac{36}{12} \cdot p^{2+1} \cdot x^{2+3} = -3p^3x^5$. Ответ: $-3p^3x^5$.

е) Умножим $(-\frac{9}{11}x^2y^3)$ на $(-1\frac{2}{9})xy$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{2}{9} = -\frac{11}{9}$. Выполним умножение: $(-\frac{9}{11} \cdot -\frac{11}{9}) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^3 \cdot y) = 1 \cdot x^{2+1} \cdot y^{3+1} = x^3y^4$. Ответ: $x^3y^4$.

ж) Умножим $(-1\frac{2}{3}a^2x^3)$ на $(-\frac{3}{5}a^2x^4)$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$. Выполним умножение: $(-\frac{5}{3} \cdot -\frac{3}{5}) \cdot (a^2 \cdot a^2) \cdot (x^3 \cdot x^4) = 1 \cdot a^{2+2} \cdot x^{3+4} = a^4x^7$. Ответ: $a^4x^7$.

з) Умножим $(-2\frac{5}{6}a^3c^2)$ на $1\frac{2}{3}ac^2$. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $-2\frac{5}{6} = -\frac{17}{6}$ и $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. Выполним умножение: $(-\frac{17}{6} \cdot \frac{5}{3}) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot (c^2 \cdot c^2) = -\frac{85}{18} \cdot a^{3+1} \cdot c^{2+2} = -\frac{85}{18}a^4c^4$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{85}{18} = -4\frac{13}{18}$. Таким образом, получаем $-4\frac{13}{18}a^4c^4$. Ответ: $-4\frac{13}{18}a^4c^4$.