Номер 209, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4.4. Произведение одночленов. Параграф 4. Одночлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 209, страница 70.

Условие.

209. а) Сформулируйте свойства одночленов.

б) Какие одночлены называют противоположными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Сформулируйте свойства одночленов.

Основные свойства одночленов связаны с операциями, которые можно над ними выполнять, и их характеристиками. Вот ключевые свойства:

1. Приведение к стандартному виду. Любой одночлен можно записать в стандартном виде. Одночлен в стандартном виде — это произведение числового множителя (коэффициента), который стоит на первом месте, и степеней различных переменных. Каждая переменная в такой записи встречается только один раз.
Например: одночлен $4x^2y \cdot (-2)xy^3$ в нестандартном виде. Его стандартный вид: $-8x^3y^4$.

2. Умножение одночленов. Произведение двух или более одночленов также является одночленом. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их коэффициенты, а показатели степеней одинаковых переменных сложить.
Правило: $(k_1 a^m b^n) \cdot (k_2 a^p b^q) = (k_1 \cdot k_2) a^{m+p} b^{n+q}$.
Например: $(5a^2b) \cdot (3ab^4) = (5 \cdot 3) \cdot (a^{2+1}) \cdot (b^{1+4}) = 15a^3b^5$.

3. Возведение одночлена в степень. Чтобы возвести одночлен в натуральную степень, необходимо возвести в эту степень его коэффициент и каждую переменную, входящую в его состав (то есть показатель степени каждой переменной умножить на показатель степени, в которую возводится одночлен).
Правило: $(k a^m b^n)^p = k^p (a^m)^p (b^n)^p = k^p a^{mp} b^{np}$.
Например: $(-2x^3y^2)^4 = (-2)^4 (x^3)^4 (y^2)^4 = 16x^{12}y^8$.

4. Степень одночлена. Степенью одночлена стандартного вида называется сумма показателей степеней всех его переменных. Степень одночлена, который является числом, отличным от нуля, равна нулю. Степень нулевого одночлена (числа 0) не определена.
Например: степень одночлена $12x^4y^2z$ равна $4+2+1=7$.

Ответ: Свойства одночленов включают возможность приведения к стандартному виду, правила их умножения и возведения в степень, а также определение их степени как суммы показателей степеней переменных.

б) Какие одночлены называют противоположными?

Противоположными называют два одночлена, которые имеют одинаковую буквенную часть (то есть одинаковые переменные с одинаковыми показателями степени), но их коэффициенты являются противоположными числами.

Главное свойство противоположных одночленов заключается в том, что их сумма равна нулю.

Например:

- Одночлены $5xy^3$ и $-5xy^3$ являются противоположными, так как их буквенная часть $xy^3$ одинакова, а коэффициенты $5$ и $-5$ — противоположные числа. Их сумма: $5xy^3 + (-5xy^3) = 0$.

- Одночлены $-0.2a^4b$ и $0.2a^4b$ также противоположны. Их сумма: $-0.2a^4b + 0.2a^4b = 0$.

Ответ: Противоположными называют одночлены, которые отличаются друг от друга только знаком коэффициента. Их сумма всегда равна нулю.