Номер 202, страница 67 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4.3. Понятие одночлена. Параграф 4. Одночлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 202, страница 67.

Условие.

202. Приведите примеры равенств одночленов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Равенство одночленов — это тождество, в котором левая и правая части являются одночленами, равными друг другу. Обычно такие равенства показывают процесс приведения одночлена к стандартному виду. В одной части равенства записывается одночлен в произвольной форме (например, как произведение нескольких одночленов), а в другой — тот же одночлен, но в стандартном виде.

Стандартный вид одночлена предполагает, что числовой множитель (коэффициент) стоит на первом месте, а за ним следуют переменные (обычно в алфавитном порядке), каждая из которых записана один раз с соответствующим показателем степени.

Ниже приведены несколько примеров таких равенств.

Пример 1

Рассмотрим равенство, в котором одночлен в левой части представлен в виде произведения двух других одночленов. Для получения стандартного вида нужно перемножить их коэффициенты и сложить показатели степеней у одинаковых переменных.

$5a^2b^3 \cdot 2ab^4 = 10a^3b^7$

Доказательство:

Перемножаем коэффициенты: $5 \cdot 2 = 10$.

Перемножаем переменные $a$: $a^2 \cdot a = a^{2+1} = a^3$.

Перемножаем переменные $b$: $b^3 \cdot b^4 = b^{3+4} = b^7$.

Собираем всё вместе и получаем: $10a^3b^7$. Левая часть равна правой.

Ответ: $5a^2b^3 \cdot 2ab^4 = 10a^3b^7$.

Пример 2

Рассмотрим равенство, где одночлен возводится в степень. Для этого нужно возвести в эту степень и коэффициент, и каждую переменную.

$(-2x^3y)^4 = 16x^{12}y^4$

Доказательство:

Возводим в степень коэффициент: $(-2)^4 = 16$.

Возводим в степень переменную $x$: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$.

Возводим в степень переменную $y$: $(y^1)^4 = y^{1 \cdot 4} = y^4$.

Результат: $16x^{12}y^4$. Равенство верно.

Ответ: $(-2x^3y)^4 = 16x^{12}y^4$.

Пример 3

Пример с дробными коэффициентами и переменными не в алфавитном порядке.

$\frac{2}{3}c^2da \cdot 9acd^3 = 6a^2c^3d^4$

Доказательство:

Перемножаем коэффициенты: $\frac{2}{3} \cdot 9 = \frac{18}{3} = 6$.

Собираем переменные и перемножаем: $(a) \cdot (c^2 \cdot c) \cdot (d \cdot d^3)$.

Складываем степени: $a^1 \cdot c^{2+1} \cdot d^{1+3} = ac^3d^4$.

Записываем в стандартном виде (переменные в алфавитном порядке): $6a^2c^3d^4$. Ой, в условии я пропустил 'a' в первом множителе. Исправим: $a \cdot a = a^2$. Тогда $(a) \cdot (a) = a^2$. Полное выражение $(c^2da) \cdot (acd^3) = (a \cdot a) \cdot (c^2 \cdot c) \cdot (d \cdot d^3) = a^2c^3d^4$.

Итоговый стандартный вид: $6a^2c^3d^4$. Равенство верно.

Ответ: $\frac{2}{3}c^2da \cdot 9acd^3 = 6a^2c^3d^4$.

Пример 4

Простое равенство, которое показывает, что число без буквенной части также является одночленом.

$(-10)^2 \cdot 0.5 = 50$

Доказательство:

Выполняем действия в левой части: $(-10)^2 = 100$.

$100 \cdot 0.5 = 50$.

Так как $50 = 50$, равенство верно.

Ответ: $(-10)^2 \cdot 0.5 = 50$.