Номер 200, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4.2. Буквенные выражения. Параграф 4. Одночлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 200, страница 66.

Условие.

200. a) Вкладчик положил в банк $a$ р. Банк обязуется выплачивать ему ежемесячно $p\%$ дохода от первоначальной суммы вклада. Каков будет доход вкладчика через год?

b) Вкладчик положил в банк $a$ р. Банк обязуется начислять на его счёт в конце каждого года $p\%$ дохода от суммы вклада, находившейся на счёте в течение этого года. Какая сумма будет на счёте у вкладчика в конце третьего года?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) В данном случае речь идет о простом проценте, так как доход начисляется ежемесячно на первоначальную сумму вклада. Это означает, что сумма, с которой начисляется процент, не меняется от месяца к месяцу.
Дано:
Первоначальная сумма вклада: $a$ р.
Ежемесячный процент дохода: $p\%$
Срок вклада: 1 год, что составляет 12 месяцев.

Сначала найдем величину ежемесячного дохода. Для этого нужно найти $p\%$ от суммы $a$. Чтобы найти процент от числа, нужно представить процент в виде десятичной дроби и умножить на это число.
$p\% = \frac{p}{100}$
Следовательно, ежемесячный доход составляет: $a \cdot \frac{p}{100} = \frac{ap}{100}$ р.

Так как доход начисляется каждый из 12 месяцев года, то общий доход за год будет равен ежемесячному доходу, умноженному на 12.
Общий доход за год = $12 \cdot \frac{ap}{100} = \frac{12ap}{100}$ р.
Это выражение можно сократить: $\frac{12ap}{100} = \frac{3ap}{25}$ р. или записать в виде десятичной дроби $0,12ap$ р.

Ответ: $\frac{12ap}{100}$ р. (или $0,12ap$ р.)

б) В этом случае используется схема сложного процента (капитализация процентов), так как процент начисляется в конце каждого года на сумму, находящуюся на счете в течение этого года, то есть на сумму с учетом ранее начисленных процентов.
Дано:
Первоначальная сумма вклада: $a$ р.
Ежегодный процент дохода: $p\%$
Срок: 3 года

Найдем, какая сумма будет на счете в конце каждого года.
В конце первого года на сумму $a$ будет начислен доход в размере $p\%$. Сумма на счете станет равной первоначальной сумме плюс начисленные проценты:
Сумма в конце 1-го года: $S_1 = a + a \cdot \frac{p}{100} = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

В конце второго года процент будет начисляться уже на новую, увеличенную сумму $S_1$:
Сумма в конце 2-го года: $S_2 = S_1 + S_1 \cdot \frac{p}{100} = S_1 \left(1 + \frac{p}{100}\right)$
Подставим выражение для $S_1$:
$S_2 = \left(a \left(1 + \frac{p}{100}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Аналогично, в конце третьего года процент будет начисляться на сумму $S_2$, которая была на счете в течение третьего года:
Сумма в конце 3-го года: $S_3 = S_2 + S_2 \cdot \frac{p}{100} = S_2 \left(1 + \frac{p}{100}\right)$
Подставим выражение для $S_2$:
$S_3 = \left(a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$
Это и есть искомая сумма на счете у вкладчика в конце третьего года.

Ответ: $a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$ р.