Номер 195, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4.2. Буквенные выражения. Параграф 4. Одночлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 195, страница 65.

Условие.

195. Алгебраическое выражение $2n$, где $n$ — любое натуральное число, задаёт натуральные числа, делящиеся на 2 (чётные числа). Напишите алгебраическое выражение, задающее:

a) целые числа, делящиеся нацело на 5;

б) натуральные числа, делящиеся на 5 с остатком 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) По определению, число, делящееся нацело на 5, можно представить в виде произведения числа 5 и некоторого другого числа. Поскольку в условии требуется задать все целые числа, кратные 5 (включая положительные, отрицательные и ноль), то множитель, на который умножается 5, также должен быть любым целым числом. Обозначим этот множитель буквой $n$. Тогда алгебраическое выражение, задающее все целые числа, делящиеся нацело на 5, будет иметь вид $5n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Например:

• при $n = 2$, получаем $5 \cdot 2 = 10$;
• при $n = -3$, получаем $5 \cdot (-3) = -15$;
• при $n = 0$, получаем $5 \cdot 0 = 0$.

Все эти числа ($10, -15, 0$) являются целыми и делятся на 5.
Ответ: $5n$, где $n$ — любое целое число.

б) Согласно правилу деления с остатком, любое число $a$, которое при делении на делитель $d$ дает неполное частное $q$ и остаток $r$, можно записать формулой $a = d \cdot q + r$. В данном случае делитель $d=5$, а остаток $r=3$. Следовательно, искомые числа имеют вид $5q + 3$.
В условии сказано, что нужно задать натуральные числа (т.е. $1, 2, 3, \ldots$). Чтобы результат выражения $5q + 3$ был натуральным числом, неполное частное $q$ должно быть целым и неотрицательным числом ($0, 1, 2, 3, \ldots$).
Найдем наименьшее такое натуральное число, подставив наименьшее возможное значение для $q$, то есть $q=0$:
$5 \cdot 0 + 3 = 3$.
Следующие числа получаются при $q=1, 2, 3, \ldots$:

• при $q=1$, получаем $5 \cdot 1 + 3 = 8$;
• при $q=2$, получаем $5 \cdot 2 + 3 = 13$;

и так далее. Все числа $3, 8, 13, \ldots$ являются натуральными и при делении на 5 дают в остатке 3.
Таким образом, если мы обозначим неполное частное буквой $n$, то искомое выражение будет $5n + 3$, где $n$ — любое целое неотрицательное число.
Ответ: $5n + 3$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n=0, 1, 2, \ldots$).