Страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Вынесите за скобки общий множитель многочлена (283-286):

283. а) $3a + 3b;$
б) $2x - 2y;$
в) $5a + 10;$
г) $14 - 7y;$
д) $12x + 6y;$
е) $3a - 9b;$
ж) $5x + 5;$
з) $4 - 4a;$
и) $12a - 3;$
к) $18 + 36x;$
л) $ab + bc;$
м) $ax - ay;$
н) $2ab - 6a;$
о) $6x + 8xy;$
п) $12abx + 15a.$

а) В многочлене $3a + 3b$ оба слагаемых, $3a$ и $3b$, имеют общий числовой множитель 3. Вынесем его за скобки. Для этого разделим каждый член многочлена на 3: $3a \div 3 = a$ и $3b \div 3 = b$. Полученные результаты запишем в скобках. Таким образом, $3a + 3b = 3(a + b)$.
Ответ: $3(a + b)$.

б) В многочлене $2x - 2y$ оба слагаемых, $2x$ и $-2y$, имеют общий числовой множитель 2. Вынесем его за скобки, разделив каждый член на 2: $2x \div 2 = x$ и $-2y \div 2 = -y$. Таким образом, $2x - 2y = 2(x - y)$.
Ответ: $2(x - y)$.

в) В многочлене $5a + 10$ найдем наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов 5 и 10. НОД(5, 10) = 5. Это и есть общий множитель. Вынесем 5 за скобки, разделив каждый член на 5: $5a \div 5 = a$ и $10 \div 5 = 2$. Таким образом, $5a + 10 = 5(a + 2)$.
Ответ: $5(a + 2)$.

г) В многочлене $14 - 7y$ найдем НОД коэффициентов 14 и 7. НОД(14, 7) = 7. Вынесем 7 за скобки: $14 \div 7 = 2$ и $-7y \div 7 = -y$. Таким образом, $14 - 7y = 7(2 - y)$.
Ответ: $7(2 - y)$.

д) В многочлене $12x + 6y$ найдем НОД коэффициентов 12 и 6. НОД(12, 6) = 6. Вынесем 6 за скобки: $12x \div 6 = 2x$ и $6y \div 6 = y$. Таким образом, $12x + 6y = 6(2x + y)$.
Ответ: $6(2x + y)$.

е) В многочлене $3a - 9b$ найдем НОД коэффициентов 3 и 9. НОД(3, 9) = 3. Вынесем 3 за скобки: $3a \div 3 = a$ и $-9b \div 3 = -3b$. Таким образом, $3a - 9b = 3(a - 3b)$.
Ответ: $3(a - 3b)$.

ж) В многочлене $5x + 5$ общий числовой множитель равен 5. Представим второе слагаемое как $5 \cdot 1$. Вынесем 5 за скобки: $5x \div 5 = x$ и $5 \div 5 = 1$. Таким образом, $5x + 5 = 5(x + 1)$.
Ответ: $5(x + 1)$.

з) В многочлене $4 - 4a$ общий числовой множитель равен 4. Представим первое слагаемое как $4 \cdot 1$. Вынесем 4 за скобки: $4 \div 4 = 1$ и $-4a \div 4 = -a$. Таким образом, $4 - 4a = 4(1 - a)$.
Ответ: $4(1 - a)$.

и) В многочлене $12a - 3$ найдем НОД коэффициентов 12 и 3. НОД(12, 3) = 3. Вынесем 3 за скобки: $12a \div 3 = 4a$ и $-3 \div 3 = -1$. Таким образом, $12a - 3 = 3(4a - 1)$.
Ответ: $3(4a - 1)$.

к) В многочлене $18 + 36x$ найдем НОД коэффициентов 18 и 36. НОД(18, 36) = 18. Вынесем 18 за скобки: $18 \div 18 = 1$ и $36x \div 18 = 2x$. Таким образом, $18 + 36x = 18(1 + 2x)$.
Ответ: $18(1 + 2x)$.

л) В многочлене $ab + bc$ оба слагаемых, $ab$ и $bc$, содержат общую переменную $b$. Это и есть общий множитель. Вынесем $b$ за скобки: $ab \div b = a$ и $bc \div b = c$. Таким образом, $ab + bc = b(a + c)$.
Ответ: $b(a + c)$.

м) В многочлене $ax - ay$ оба слагаемых, $ax$ и $-ay$, содержат общую переменную $a$. Вынесем $a$ за скобки: $ax \div a = x$ и $-ay \div a = -y$. Таким образом, $ax - ay = a(x - y)$.
Ответ: $a(x - y)$.

н) В многочлене $2ab - 6a$ найдем общий множитель для числовых коэффициентов и переменных. НОД(2, 6) = 2. Общая переменная - $a$. Значит, общий множитель равен $2a$. Вынесем его за скобки: $2ab \div (2a) = b$ и $-6a \div (2a) = -3$. Таким образом, $2ab - 6a = 2a(b - 3)$.
Ответ: $2a(b - 3)$.

о) В многочлене $6x + 8xy$ найдем общий множитель. НОД(6, 8) = 2. Общая переменная - $x$. Общий множитель равен $2x$. Вынесем его за скобки: $6x \div (2x) = 3$ и $8xy \div (2x) = 4y$. Таким образом, $6x + 8xy = 2x(3 + 4y)$.
Ответ: $2x(3 + 4y)$.

п) В многочлене $12abx + 15a$ найдем общий множитель. НОД(12, 15) = 3. Общая переменная - $a$. Общий множитель равен $3a$. Вынесем его за скобки: $12abx \div (3a) = 4bx$ и $15a \div (3a) = 5$. Таким образом, $12abx + 15a = 3a(4bx + 5)$.
Ответ: $3a(4bx + 5)$.

284. a) $a^2 + ab;$

б) $x^2 - x;$

в) $a + a^2;$

г) $2xy - x^3;$

д) $b^3 - b^2;$

е) $a^4 + a^3b;$

ж) $x^2y^2 + y^4;$

з) $4a^6 - 2a^3b;$

и) $9x^4 - 12x^2y^4.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $a^2 + ab$, найдем общий множитель для каждого члена. В данном случае это $a$. Вынесем $a$ за скобки: разделим $a^2$ на $a$, получим $a$; разделим $ab$ на $a$, получим $b$.
$a^2 + ab = a(a+b)$.
Ответ: $a(a+b)$

б) В выражении $x^2 - x$ общим множителем является $x$. Вынесем его за скобки: разделим $x^2$ на $x$, получим $x$; разделим $-x$ на $x$, получим $-1$.
$x^2 - x = x(x-1)$.
Ответ: $x(x-1)$

в) В выражении $a + a^2$ общим множителем является $a$. Вынесем его за скобки: разделим $a$ на $a$, получим $1$; разделим $a^2$ на $a$, получим $a$.
$a + a^2 = a(1+a)$.
Ответ: $a(1+a)$

г) В выражении $2xy - x^3$ общим множителем для обоих членов является $x$. Вынесем $x$ за скобки: разделим $2xy$ на $x$, получим $2y$; разделим $-x^3$ на $x$, получим $-x^2$.
$2xy - x^3 = x(2y - x^2)$.
Ответ: $x(2y - x^2)$

д) В выражении $b^3 - b^2$ общим множителем является $b^2$ (переменная в наименьшей степени). Вынесем $b^2$ за скобки: разделим $b^3$ на $b^2$, получим $b$; разделим $-b^2$ на $b^2$, получим $-1$.
$b^3 - b^2 = b^2(b-1)$.
Ответ: $b^2(b-1)$

е) В выражении $a^4 + a^3b$ общим множителем является $a^3$. Вынесем его за скобки: разделим $a^4$ на $a^3$, получим $a$; разделим $a^3b$ на $a^3$, получим $b$.
$a^4 + a^3b = a^3(a+b)$.
Ответ: $a^3(a+b)$

ж) В выражении $x^2y^2 + y^4$ общим множителем является $y^2$. Вынесем его за скобки: разделим $x^2y^2$ на $y^2$, получим $x^2$; разделим $y^4$ на $y^2$, получим $y^2$.
$x^2y^2 + y^4 = y^2(x^2+y^2)$.
Ответ: $y^2(x^2+y^2)$

з) В выражении $4a^6 - 2a^3b$ найдем общий множитель. Для коэффициентов 4 и 2 это 2. Для переменных $a^6$ и $a^3b$ это $a^3$. Таким образом, общий множитель равен $2a^3$. Вынесем его за скобки: разделим $4a^6$ на $2a^3$, получим $2a^3$; разделим $-2a^3b$ на $2a^3$, получим $-b$.
$4a^6 - 2a^3b = 2a^3(2a^3 - b)$.
Ответ: $2a^3(2a^3 - b)$

и) В выражении $9x^4 - 12x^2y^4$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 9 и 12 это 3. Общая переменная в наименьшей степени это $x^2$. Таким образом, общий множитель равен $3x^2$. Вынесем его за скобки: разделим $9x^4$ на $3x^2$, получим $3x^2$; разделим $-12x^2y^4$ на $3x^2$, получим $-4y^4$.
$9x^4 - 12x^2y^4 = 3x^2(3x^2 - 4y^4)$.
Ответ: $3x^2(3x^2 - 4y^4)$

285. а) $ax - bx + cx;$

б) $8abx - 6acy - 10ak;$

В) $14acx - 21bcy - 7c;$

Г) $63xy - 84y^2 + 98ay;$

Д) $15abx - 96y^2 + 12ab;$

е) $20ax - 35bx - 40x^2.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $ax - bx + cx$, нужно найти общий множитель для всех членов выражения. В данном случае общим множителем является переменная $x$. Вынесем $x$ за скобки.
$ax - bx + cx = x \cdot a - x \cdot b + x \cdot c = x(a - b + c)$.
Ответ: $x(a - b + c)$.

б) Рассмотрим выражение $8abx - 6acy - 10ak$. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 8, 6 и 10.
$НОД(8, 6, 10) = 2$.
Затем найдем общие переменные для всех членов. Общей переменной является $a$.
Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $2a$.
$8abx - 6acy - 10ak = 2a \cdot 4bx - 2a \cdot 3cy - 2a \cdot 5k = 2a(4bx - 3cy - 5k)$.
Ответ: $2a(4bx - 3cy - 5k)$.

в) В выражении $14acx - 21bcy - 7c$ найдем НОД коэффициентов 14, 21 и 7.
$НОД(14, 21, 7) = 7$.
Общей переменной для всех членов является $c$.
Следовательно, выносим за скобки общий множитель $7c$.
$14acx - 21bcy - 7c = 7c \cdot 2ax - 7c \cdot 3by - 7c \cdot 1 = 7c(2ax - 3by - 1)$.
Ответ: $7c(2ax - 3by - 1)$.

г) Для выражения $63xy - 84y^2 + 98ay$ найдем НОД коэффициентов 63, 84 и 98.
$63 = 3^2 \cdot 7$; $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$; $98 = 2 \cdot 7^2$.
$НОД(63, 84, 98) = 7$.
Общей переменной является $y$.
Выносим за скобки общий множитель $7y$.
$63xy - 84y^2 + 98ay = 7y \cdot 9x - 7y \cdot 12y + 7y \cdot 14a = 7y(9x - 12y + 14a)$.
Ответ: $7y(9x - 12y + 14a)$.

д) В выражении $15abx - 96y^2 + 12ab$ найдем НОД коэффициентов 15, 96 и 12.
$15 = 3 \cdot 5$; $96 = 2^5 \cdot 3$; $12 = 2^2 \cdot 3$.
$НОД(15, 96, 12) = 3$.
Общих переменных для всех трёх членов нет.
Следовательно, выносим за скобки только числовой множитель 3.
$15abx - 96y^2 + 12ab = 3 \cdot 5abx - 3 \cdot 32y^2 + 3 \cdot 4ab = 3(5abx - 32y^2 + 4ab)$.
Ответ: $3(5abx - 32y^2 + 4ab)$.

е) В выражении $20ax - 35bx - 40x^2$ найдем НОД коэффициентов 20, 35 и 40.
$20 = 2^2 \cdot 5$; $35 = 5 \cdot 7$; $40 = 2^3 \cdot 5$.
$НОД(20, 35, 40) = 5$.
Общей переменной является $x$.
Выносим за скобки общий множитель $5x$.
$20ax - 35bx - 40x^2 = 5x \cdot 4a - 5x \cdot 7b - 5x \cdot 8x = 5x(4a - 7b - 8x)$.
Ответ: $5x(4a - 7b - 8x)$.

286. a) $a^2 - a^3 + a^4;$

В) $a^3 + 4b^2a;$

Д) $x^3y^4 - x^2y^2 + xy^3;$

Ж) $-2a^2b + 4ab^2 - 4b^3;$

б) $x^3 + x^2 - x;$

Г) $-5x^3y^2 - 5x^2y;$

e) $2a^3b - 6ab^4 + 4a^2b^3;$

з) $16x + 8x^2 - 4x^3 + 2x^4.$

а) В выражении $a^2 - a^3 + a^4$ каждый член содержит переменную $a$. Чтобы разложить многочлен на множители, вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем является переменная $a$ в наименьшей степени, в которой она присутствует в каждом члене, то есть $a^2$.

Выполним вынесение общего множителя за скобки:

$a^2 - a^3 + a^4 = a^2(\frac{a^2}{a^2} - \frac{a^3}{a^2} + \frac{a^4}{a^2}) = a^2(1 - a + a^2)$

Ответ: $a^2(1 - a + a^2)$

б) В выражении $x^3 + x^2 - x$ каждый член содержит переменную $x$. Наименьшая степень переменной $x$ в многочлене - это первая степень ($x^1$ или просто $x$). Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, - это $x$.

Выполним вынесение $x$ за скобки:

$x^3 + x^2 - x = x(\frac{x^3}{x} + \frac{x^2}{x} - \frac{x}{x}) = x(x^2 + x - 1)$

Ответ: $x(x^2 + x - 1)$

в) В двучлене $a^3 + 4b^2a$ оба члена содержат переменную $a$. Наименьшая степень $a$ - это первая степень. Значит, общий множитель - это $a$.

Вынесем $a$ за скобки:

$a^3 + 4b^2a = a(\frac{a^3}{a} + \frac{4b^2a}{a}) = a(a^2 + 4b^2)$

Ответ: $a(a^2 + 4b^2)$

г) В выражении $-5x^3y^2 - 5x^2y$ нужно найти общий множитель для коэффициентов и для каждой переменной. Общий делитель для коэффициентов $-5$ и $-5$ равен $-5$. Для переменной $x$ наименьшая степень - $x^2$. Для переменной $y$ наименьшая степень - $y^1$. Таким образом, наибольший общий множитель равен $-5x^2y$.

Вынесем $-5x^2y$ за скобки:

$-5x^3y^2 - 5x^2y = -5x^2y(\frac{-5x^3y^2}{-5x^2y} + \frac{-5x^2y}{-5x^2y}) = -5x^2y(xy + 1)$

Ответ: $-5x^2y(xy + 1)$

д) В многочлене $x^3y^4 - x^2y^2 + xy^3$ все члены содержат переменные $x$ и $y$. Наименьшая степень для $x$ - это $x^1$. Наименьшая степень для $y$ - это $y^2$. Следовательно, общий множитель - $xy^2$.

Вынесем $xy^2$ за скобки:

$x^3y^4 - x^2y^2 + xy^3 = xy^2(\frac{x^3y^4}{xy^2} - \frac{x^2y^2}{xy^2} + \frac{xy^3}{xy^2}) = xy^2(x^2y^2 - x + y)$

Ответ: $xy^2(x^2y^2 - x + y)$

е) В выражении $2a^3b - 6ab^4 + 4a^2b^3$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов и наименьшие степени для общих переменных. НОД(2, 6, 4) = 2. Наименьшая степень для $a$ - это $a^1$. Наименьшая степень для $b$ - это $b^1$. Общий множитель равен $2ab$.

Вынесем $2ab$ за скобки:

$2a^3b - 6ab^4 + 4a^2b^3 = 2ab(\frac{2a^3b}{2ab} - \frac{6ab^4}{2ab} + \frac{4a^2b^3}{2ab}) = 2ab(a^2 - 3b^3 + 2ab^2)$

Ответ: $2ab(a^2 - 3b^3 + 2ab^2)$

ж) В выражении $-2a^2b + 4ab^2 - 4b^3$ найдем общий множитель. НОД для модулей коэффициентов $|-2|$, $|4|$, $|-4|$ равен 2. Переменная $a$ не является общей для всех членов. Для переменной $b$ наименьшая степень - $b^1$. Общим множителем является $2b$. Часто, если первый член отрицательный, выносят отрицательный множитель, в данном случае $-2b$, чтобы выражение в скобках начиналось с положительного члена.

Вынесем $-2b$ за скобки:

$-2a^2b + 4ab^2 - 4b^3 = -2b(\frac{-2a^2b}{-2b} + \frac{4ab^2}{-2b} - \frac{4b^3}{-2b}) = -2b(a^2 - 2ab + 2b^2)$

Ответ: $-2b(a^2 - 2ab + 2b^2)$

з) В выражении $16x + 8x^2 - 4x^3 + 2x^4$ найдем общий множитель. НОД для коэффициентов 16, 8, 4, 2 равен 2. Для переменной $x$ наименьшая степень - $x^1$. Общий множитель равен $2x$.

Вынесем $2x$ за скобки:

$16x + 8x^2 - 4x^3 + 2x^4 = 2x(\frac{16x}{2x} + \frac{8x^2}{2x} - \frac{4x^3}{2x} + \frac{2x^4}{2x}) = 2x(8 + 4x - 2x^2 + x^3)$

Принято записывать многочлен в скобках в стандартном виде (в порядке убывания степеней):

$2x(x^3 - 2x^2 + 4x + 8)$

Ответ: $2x(x^3 - 2x^2 + 4x + 8)$

287. Напишите многочлен, противоположный данному:

а) $2a - 3bc + 2a^2;$

б) $-3xy^2 - 5x^3 + y^4;$

в) $-3x + mn - 2y;$

г) $3pq + 2p^2 - 3q^3.$

Многочленом, противоположным данному многочлену $P$, называется такой многочлен (обозначим его $-P$), сумма которого с данным многочленом $P$ тождественно равна нулю: $P + (-P) = 0$. Чтобы записать многочлен, противоположный данному, необходимо у каждого члена (одночлена), входящего в состав исходного многочлена, изменить знак на противоположный. Это равносильно умножению всего многочлена на $-1$.

а) Дан многочлен $2a - 3bc + 2a^2$. Чтобы найти противоположный ему многочлен, изменим знак каждого его члена:

• Член $2a$ станет $-2a$.
• Член $-3bc$ станет $+3bc$.
• Член $+2a^2$ станет $-2a^2$.

Таким образом, противоположный многочлен имеет вид: $-(2a - 3bc + 2a^2) = -2a + 3bc - 2a^2$.
Проверка: $(2a - 3bc + 2a^2) + (-2a + 3bc - 2a^2) = (2a-2a) + (-3bc+3bc) + (2a^2-2a^2) = 0$.
Ответ: $-2a + 3bc - 2a^2$.

б) Дан многочлен $-3xy^2 - 5x^3 + y^4$. Чтобы найти противоположный ему многочлен, изменим знак каждого его члена:

• Член $-3xy^2$ станет $+3xy^2$.
• Член $-5x^3$ станет $+5x^3$.
• Член $+y^4$ станет $-y^4$.

Таким образом, противоположный многочлен имеет вид: $-(-3xy^2 - 5x^3 + y^4) = 3xy^2 + 5x^3 - y^4$.
Проверка: $(-3xy^2 - 5x^3 + y^4) + (3xy^2 + 5x^3 - y^4) = (-3xy^2+3xy^2) + (-5x^3+5x^3) + (y^4-y^4) = 0$.
Ответ: $3xy^2 + 5x^3 - y^4$.

в) Дан многочлен $-3x + mn - 2y$. Чтобы найти противоположный ему многочлен, изменим знак каждого его члена:

• Член $-3x$ станет $+3x$.
• Член $+mn$ станет $-mn$.
• Член $-2y$ станет $+2y$.

Таким образом, противоположный многочлен имеет вид: $-(-3x + mn - 2y) = 3x - mn + 2y$.
Проверка: $(-3x + mn - 2y) + (3x - mn + 2y) = (-3x+3x) + (mn-mn) + (-2y+2y) = 0$.
Ответ: $3x - mn + 2y$.

г) Дан многочлен $3pq + 2p^2 - 3q^3$. Чтобы найти противоположный ему многочлен, изменим знак каждого его члена:

• Член $3pq$ станет $-3pq$.
• Член $+2p^2$ станет $-2p^2$.
• Член $-3q^3$ станет $+3q^3$.

Таким образом, противоположный многочлен имеет вид: $-(3pq + 2p^2 - 3q^3) = -3pq - 2p^2 + 3q^3$.
Проверка: $(3pq + 2p^2 - 3q^3) + (-3pq - 2p^2 + 3q^3) = (3pq-3pq) + (2p^2-2p^2) + (-3q^3+3q^3) = 0$.
Ответ: $-3pq - 2p^2 + 3q^3$.

288. Подберите вместо букв M и N одночлены так, чтобы равенство было верным:

а) $2 \cdot (M - b) = 14a - 2b$;

б) $M \cdot (2a + 3b) = -6a - 9b$;

в) $N \cdot (2x - M) = 12x^2 - 18xy$;

г) $3a \cdot (N + M) = 15abc - 3ac^2$.

а) Чтобы найти одночлен $M$ в равенстве $2 \cdot (M - b) = 14a - 2b$, сначала разделим обе части уравнения на 2. Получим:
$M - b = \frac{14a - 2b}{2}$
$M - b = 7a - b$
Теперь, чтобы выделить $M$, прибавим $b$ к обеим частям равенства:
$M = 7a - b + b$
$M = 7a$
Проверим подстановкой: $2 \cdot (7a - b) = 14a - 2b$. Равенство верное.
Ответ: $M = 7a$.

б) В равенстве $M \cdot (2a + 3b) = -6a - 9b$ нам нужно найти одночлен $M$. Для этого разложим на множители правую часть уравнения. Общим множителем для $-6a$ и $-9b$ является $-3$.
$-6a - 9b = -3(2a + 3b)$
Теперь исходное равенство можно записать так:
$M \cdot (2a + 3b) = -3(2a + 3b)$
Сравнивая левую и правую части, очевидно, что $M$ равно $-3$.
Проверим: $-3 \cdot (2a + 3b) = -6a - 9b$. Равенство верное.
Ответ: $M = -3$.

в) В равенстве $N \cdot (2x - M) = 12x^2 - 18xy$ необходимо подобрать одночлены $M$ и $N$. Разложим правую часть на множители, вынеся за скобки общий множитель. Общий множитель для $12x^2$ и $-18xy$ — это $6x$.
$12x^2 - 18xy = 6x(2x - 3y)$
Подставим это выражение в исходное равенство:
$N \cdot (2x - M) = 6x(2x - 3y)$
Из этого равенства можно сопоставить множители. Примем:
$N = 6x$
Тогда выражение в скобках также должно быть равным:
$2x - M = 2x - 3y$
Отсюда находим $M$:
$-M = -3y$
$M = 3y$
Мы подобрали одночлены $N = 6x$ и $M = 3y$.
Проверим: $6x \cdot (2x - 3y) = 12x^2 - 18xy$. Равенство верное.
Ответ: $N = 6x$, $M = 3y$.

г) В равенстве $3a \cdot (N + M) = 15abc - 3ac^2$ нужно подобрать одночлены $M$ и $N$. Сначала разделим обе части на $3a$, чтобы упростить уравнение:
$N + M = \frac{15abc - 3ac^2}{3a}$
$N + M = \frac{15abc}{3a} - \frac{3ac^2}{3a}$
$N + M = 5bc - c^2$
Теперь нам нужно найти два одночлена, сумма которых равна $5bc - c^2$. Самый простой способ — это приравнять $N$ и $M$ к членам полученного многочлена.
Пусть $N = 5bc$, а $M = -c^2$.
Оба выражения являются одночленами.
Проверим: $3a \cdot (5bc - c^2) = 15abc - 3ac^2$. Равенство верное.
Ответ: $N = 5bc$, $M = -c^2$ (также возможен вариант $N = -c^2$, $M = 5bc$).

289. Упростите выражение:

а) $a - (b - (a + b) - a)$;

б) $a - (b - (a - b - (a - b)))$;

в) $a - (a - (a - (a - b)))$;

г) $b - (a - (a - (a - (a + b))))$.

а)

Чтобы упростить выражение $a - (b - (a + b) - a)$, мы будем раскрывать скобки, начиная с самых внутренних.

$a - (b - (a + b) - a) = a - (b - a - b - a)$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$a - ((b - b) + (-a - a)) = a - (0 - 2a) = a - (-2a)$

Наконец, раскрываем последние скобки и получаем окончательный результат:

$a + 2a = 3a$

Ответ: $3a$

б)

Упростим выражение $a - (b - (a - b - (a - b)))$, раскрывая скобки последовательно изнутри наружу.

$a - (b - (a - b - (a - b))) = a - (b - (a - b - a + b))$

Приведем подобные слагаемые в самой внутренней части выражения:

$a - (b - ((a - a) + (-b + b))) = a - (b - 0)$

Упрощаем оставшееся выражение:

$a - b$

Ответ: $a - b$

в)

Упростим выражение $a - (a - (a - (a - b)))$, действуя аналогично, начиная с внутренних скобок.

$a - (a - (a - (a - b))) = a - (a - (a - a + b))$

Упрощаем выражение в средних скобках:

$a - (a - (b)) = a - (a - b)$

Раскрываем последние скобки и приводим подобные слагаемые:

$a - a + b = b$

Ответ: $b$

г)

Упростим выражение $b - (a - (a - (a - (a + b))))$. Будем действовать пошагово, раскрывая скобки изнутри.

Исходное выражение: $b - (a - (a - (a - (a + b))))$

Шаг 1: Раскрываем самые внутренние скобки: $a - (a + b) = a - a - b = -b$. Подставляем это в выражение:
$b - (a - (a - (a - (-b))))$

Шаг 2: Упрощаем новую внутреннюю часть: $a - (-b) = a + b$. Подставляем:
$b - (a - (a - (a + b)))$

Шаг 3: Снова видим выражение из первого шага: $a - (a + b) = a - a - b = -b$. Подставляем:
$b - (a - (-b))$

Шаг 4: Упрощаем оставшиеся скобки: $a - (-b) = a + b$. Подставляем:
$b - (a + b)$

Шаг 5: Раскрываем последние скобки и находим окончательный ответ:
$b - a - b = -a$

Ответ: $-a$

290. Доказываем.

а) Докажите, что $(n + 1)! - n \cdot n! = n!$.

б) Вычислите: $11! - (1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + 10 \cdot 10!)$.

а) Докажем тождество $(n + 1)! - n \cdot n! = n!$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. По определению факториала, $(n + 1)!$ можно представить как произведение $(n + 1)$ и $n!$, то есть $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$(n + 1)! - n \cdot n! = (n + 1) \cdot n! - n \cdot n!$

Теперь вынесем общий множитель $n!$ за скобки:

$(n + 1) \cdot n! - n \cdot n! = ((n + 1) - n) \cdot n!$

Упростим выражение в скобках:

$(n + 1 - n) \cdot n! = 1 \cdot n! = n!$

Таким образом, левая часть тождества равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б) Вычислим значение выражения $11! - (1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + 10 \cdot 10!)$.

Для начала рассмотрим сумму, заключенную в скобках: $S = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + 10 \cdot 10!$. Эту сумму можно записать в виде $\sum_{k=1}^{10} k \cdot k!$.

Из тождества, доказанного в пункте а), следует, что $(k+1)! - k \cdot k! = k!$. Преобразуем это тождество, чтобы выразить слагаемое вида $k \cdot k!$:

$k \cdot k! = (k+1)! - k!$

Теперь мы можем использовать это соотношение для каждого члена суммы $S$:

• При $k=1$: $1 \cdot 1! = (1+1)! - 1! = 2! - 1!$
• При $k=2$: $2 \cdot 2! = (2+1)! - 2! = 3! - 2!$
• При $k=3$: $3 \cdot 3! = (3+1)! - 3! = 4! - 3!$
• ...
• При $k=10$: $10 \cdot 10! = (10+1)! - 10! = 11! - 10!$

Подставим эти выражения в сумму $S$:

$S = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \dots + (10! - 10!) + (11! - 10!)$

Эта сумма является телескопической, так как большинство слагаемых взаимно уничтожаются:

$S = -1! + (2! - 2!) + (3! - 3!) + \dots + (10! - 10!) + 11!$

В результате остаются только первый и последний члены:

$S = 11! - 1!$

Поскольку $1! = 1$, получаем $S = 11! - 1$.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим в него найденное значение суммы $S$:

$11! - S = 11! - (11! - 1) = 11! - 11! + 1 = 1$

Ответ: 1