Номер 286, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.5. Произведение одночлена и многочлена. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 286, страница 87.

Условие.

286. a) $a^2 - a^3 + a^4;$

В) $a^3 + 4b^2a;$

Д) $x^3y^4 - x^2y^2 + xy^3;$

Ж) $-2a^2b + 4ab^2 - 4b^3;$

б) $x^3 + x^2 - x;$

Г) $-5x^3y^2 - 5x^2y;$

e) $2a^3b - 6ab^4 + 4a^2b^3;$

з) $16x + 8x^2 - 4x^3 + 2x^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) В выражении $a^2 - a^3 + a^4$ каждый член содержит переменную $a$. Чтобы разложить многочлен на множители, вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем является переменная $a$ в наименьшей степени, в которой она присутствует в каждом члене, то есть $a^2$.

Выполним вынесение общего множителя за скобки:

$a^2 - a^3 + a^4 = a^2(\frac{a^2}{a^2} - \frac{a^3}{a^2} + \frac{a^4}{a^2}) = a^2(1 - a + a^2)$

Ответ: $a^2(1 - a + a^2)$

б) В выражении $x^3 + x^2 - x$ каждый член содержит переменную $x$. Наименьшая степень переменной $x$ в многочлене - это первая степень ($x^1$ или просто $x$). Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, - это $x$.

Выполним вынесение $x$ за скобки:

$x^3 + x^2 - x = x(\frac{x^3}{x} + \frac{x^2}{x} - \frac{x}{x}) = x(x^2 + x - 1)$

Ответ: $x(x^2 + x - 1)$

в) В двучлене $a^3 + 4b^2a$ оба члена содержат переменную $a$. Наименьшая степень $a$ - это первая степень. Значит, общий множитель - это $a$.

Вынесем $a$ за скобки:

$a^3 + 4b^2a = a(\frac{a^3}{a} + \frac{4b^2a}{a}) = a(a^2 + 4b^2)$

Ответ: $a(a^2 + 4b^2)$

г) В выражении $-5x^3y^2 - 5x^2y$ нужно найти общий множитель для коэффициентов и для каждой переменной. Общий делитель для коэффициентов $-5$ и $-5$ равен $-5$. Для переменной $x$ наименьшая степень - $x^2$. Для переменной $y$ наименьшая степень - $y^1$. Таким образом, наибольший общий множитель равен $-5x^2y$.

Вынесем $-5x^2y$ за скобки:

$-5x^3y^2 - 5x^2y = -5x^2y(\frac{-5x^3y^2}{-5x^2y} + \frac{-5x^2y}{-5x^2y}) = -5x^2y(xy + 1)$

Ответ: $-5x^2y(xy + 1)$

д) В многочлене $x^3y^4 - x^2y^2 + xy^3$ все члены содержат переменные $x$ и $y$. Наименьшая степень для $x$ - это $x^1$. Наименьшая степень для $y$ - это $y^2$. Следовательно, общий множитель - $xy^2$.

Вынесем $xy^2$ за скобки:

$x^3y^4 - x^2y^2 + xy^3 = xy^2(\frac{x^3y^4}{xy^2} - \frac{x^2y^2}{xy^2} + \frac{xy^3}{xy^2}) = xy^2(x^2y^2 - x + y)$

Ответ: $xy^2(x^2y^2 - x + y)$

е) В выражении $2a^3b - 6ab^4 + 4a^2b^3$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов и наименьшие степени для общих переменных. НОД(2, 6, 4) = 2. Наименьшая степень для $a$ - это $a^1$. Наименьшая степень для $b$ - это $b^1$. Общий множитель равен $2ab$.

Вынесем $2ab$ за скобки:

$2a^3b - 6ab^4 + 4a^2b^3 = 2ab(\frac{2a^3b}{2ab} - \frac{6ab^4}{2ab} + \frac{4a^2b^3}{2ab}) = 2ab(a^2 - 3b^3 + 2ab^2)$

Ответ: $2ab(a^2 - 3b^3 + 2ab^2)$

ж) В выражении $-2a^2b + 4ab^2 - 4b^3$ найдем общий множитель. НОД для модулей коэффициентов $|-2|$, $|4|$, $|-4|$ равен 2. Переменная $a$ не является общей для всех членов. Для переменной $b$ наименьшая степень - $b^1$. Общим множителем является $2b$. Часто, если первый член отрицательный, выносят отрицательный множитель, в данном случае $-2b$, чтобы выражение в скобках начиналось с положительного члена.

Вынесем $-2b$ за скобки:

$-2a^2b + 4ab^2 - 4b^3 = -2b(\frac{-2a^2b}{-2b} + \frac{4ab^2}{-2b} - \frac{4b^3}{-2b}) = -2b(a^2 - 2ab + 2b^2)$

Ответ: $-2b(a^2 - 2ab + 2b^2)$

з) В выражении $16x + 8x^2 - 4x^3 + 2x^4$ найдем общий множитель. НОД для коэффициентов 16, 8, 4, 2 равен 2. Для переменной $x$ наименьшая степень - $x^1$. Общий множитель равен $2x$.

Вынесем $2x$ за скобки:

$16x + 8x^2 - 4x^3 + 2x^4 = 2x(\frac{16x}{2x} + \frac{8x^2}{2x} - \frac{4x^3}{2x} + \frac{2x^4}{2x}) = 2x(8 + 4x - 2x^2 + x^3)$

Принято записывать многочлен в скобках в стандартном виде (в порядке убывания степеней):

$2x(x^3 - 2x^2 + 4x + 8)$

Ответ: $2x(x^3 - 2x^2 + 4x + 8)$