Номер 280, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.5. Произведение одночлена и многочлена. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 280, страница 86.

Условие.

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида (280—281):

280. а) $2(a + b) + 4(a + b);$

б) $4(x - y) + 7(x - y);$

в) $4 - 2(x + 1);$

г) $2a - 3(b - a);$

д) $2(a - b) - 3(a + b);$

е) $a(x - y) - b(x + y);$

ж) $3a^2 - a(3a - 4b) - 2(b - 4a);$

з) $2ab(a + 2b) - 3ab^2(a - 4).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $2(a + b) + 4(a + b)$

Для преобразования выражения в многочлен стандартного вида, сначала раскроем скобки. В данном выражении можно поступить двумя способами: вынести общий множитель $(a+b)$ за скобки или раскрыть каждую скобку отдельно. Рассмотрим второй способ как более универсальный.

1. Раскроем первые скобки, умножив 2 на каждый член внутри них: $2(a + b) = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2a + 2b$.

2. Раскроем вторые скобки, умножив 4 на каждый член внутри них: $4(a + b) = 4 \cdot a + 4 \cdot b = 4a + 4b$.

3. Теперь сложим полученные выражения: $2a + 2b + 4a + 4b$.

4. Приведем подобные члены, то есть сгруппируем и сложим члены с одинаковыми переменными: $(2a + 4a) + (2b + 4b) = 6a + 6b$.

Полученный многочлен $6a + 6b$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $6a + 6b$

б) $4(x - y) + 7(x - y)$

Аналогично предыдущему примеру, раскроем скобки и приведем подобные члены.

1. Раскроем первые скобки: $4(x - y) = 4x - 4y$.

2. Раскроем вторые скобки: $7(x - y) = 7x - 7y$.

3. Сложим результаты: $4x - 4y + 7x - 7y$.

4. Сгруппируем и сложим подобные члены: $(4x + 7x) + (-4y - 7y) = 11x - 11y$.

Полученный многочлен $11x - 11y$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $11x - 11y$

в) $4 - 2(x + 1)$

1. Раскроем скобки, умножив $-2$ на каждый член внутри них. Важно обратить внимание на знак перед двойкой.

$-2(x + 1) = -2 \cdot x + (-2) \cdot 1 = -2x - 2$.

2. Подставим результат в исходное выражение: $4 + (-2x - 2) = 4 - 2x - 2$.

3. Приведем подобные члены (в данном случае, числовые константы): $(4 - 2) - 2x = 2 - 2x$.

4. Для стандартного вида многочлена принято записывать члены в порядке убывания степеней переменной: $-2x + 2$.

Ответ: $-2x + 2$

г) $2a - 3(b - a)$

1. Раскроем скобки, умножив $-3$ на каждый член внутри них:

$-3(b - a) = -3 \cdot b - (-3) \cdot a = -3b + 3a$.

2. Подставим результат в исходное выражение: $2a + (-3b + 3a) = 2a - 3b + 3a$.

3. Сгруппируем и сложим подобные члены с переменной $a$: $(2a + 3a) - 3b = 5a - 3b$.

Полученный многочлен $5a - 3b$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $5a - 3b$

д) $2(a - b) - 3(a + b)$

1. Раскроем первые скобки: $2(a - b) = 2a - 2b$.

2. Раскроем вторые скобки, учитывая знак минус перед тройкой: $-3(a + b) = -3a - 3b$.

3. Объединим полученные выражения: $2a - 2b - 3a - 3b$.

4. Приведем подобные члены: $(2a - 3a) + (-2b - 3b) = -a - 5b$.

Полученный многочлен $-a - 5b$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $-a - 5b$

е) $a(x - y) - b(x + y)$

1. Раскроем первые скобки, умножив $a$ на каждый член: $a(x - y) = ax - ay$.

2. Раскроем вторые скобки, умножив $-b$ на каждый член: $-b(x + y) = -bx - by$.

3. Объединим результаты: $ax - ay - bx - by$.

В полученном выражении нет подобных членов, поэтому оно уже представлено в виде многочлена стандартного вида.

Ответ: $ax - ay - bx - by$

ж) $3a^2 - a(3a - 4b) - 2(b - 4a)$

1. Раскроем первые скобки, умножив $-a$ на каждый член: $-a(3a - 4b) = -a \cdot 3a - a \cdot (-4b) = -3a^2 + 4ab$.

2. Раскроем вторые скобки, умножив $-2$ на каждый член: $-2(b - 4a) = -2 \cdot b - 2 \cdot (-4a) = -2b + 8a$.

3. Подставим раскрытые скобки в исходное выражение: $3a^2 - 3a^2 + 4ab - 2b + 8a$.

4. Приведем подобные члены. Сгруппируем члены с $a^2$: $(3a^2 - 3a^2) = 0$.

5. Запишем итоговое выражение: $0 + 4ab - 2b + 8a = 4ab + 8a - 2b$.

Запишем многочлен, упорядочив члены (например, по степени, затем по алфавиту): $4ab + 8a - 2b$.

Ответ: $4ab + 8a - 2b$

з) $2ab(a + 2b) - 3ab^2(a - 4)$

1. Раскроем первые скобки, умножив одночлен $2ab$ на многочлен $(a + 2b)$:

$2ab(a + 2b) = 2ab \cdot a + 2ab \cdot 2b = 2a^2b + 4ab^2$.

2. Раскроем вторые скобки, умножив одночлен $-3ab^2$ на многочлен $(a - 4)$:

$-3ab^2(a - 4) = -3ab^2 \cdot a - 3ab^2 \cdot (-4) = -3a^2b^2 + 12ab^2$.

3. Сложим полученные выражения: $2a^2b + 4ab^2 - 3a^2b^2 + 12ab^2$.

4. Найдем и приведем подобные члены. Подобными являются члены $4ab^2$ и $12ab^2$, так как у них одинаковая буквенная часть $ab^2$. Сложим их: $4ab^2 + 12ab^2 = 16ab^2$.

5. Запишем все члены вместе: $2a^2b - 3a^2b^2 + 16ab^2$.

6. Для приведения многочлена к стандартному виду, упорядочим его члены по убыванию их степени. Степень одночлена - это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Степень $-3a^2b^2$ равна $2+2=4$.

Степень $2a^2b$ равна $2+1=3$.

Степень $16ab^2$ равна $1+2=3$.

Расположим члены по убыванию степени. Члены с одинаковой степенью можно упорядочить лексикографически (например, по убыванию степени переменной $a$): $-3a^2b^2 + 2a^2b + 16ab^2$.

Ответ: $-3a^2b^2 + 2a^2b + 16ab^2$