Номер 276, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.5. Произведение одночлена и многочлена. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 276, страница 86.

Условие.

276. a) По какому правилу умножают одночлен на многочлен?

б) Какие многочлены называют противоположными?

в) Каким свойством обладают противоположные многочлены?

г) Каким свойством обладает разность многочленов?

д) Изменится ли многочлен, если его умножить на 1?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Это правило основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения. Если $A$ — это одночлен, а $B+C$ — многочлен, то их произведение вычисляется по формуле: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$. Например, умножим одночлен $5x$ на многочлен $2x^2 - 3y + 4$: $5x \cdot (2x^2 - 3y + 4) = 5x \cdot 2x^2 + 5x \cdot (-3y) + 5x \cdot 4 = 10x^3 - 15xy + 20x$.
Ответ: Одночлен умножают на каждый член многочлена, а результаты складывают.

б) Противоположными называют два многочлена, сумма которых тождественно равна нулю. Чтобы получить многочлен, противоположный данному, нужно у каждого его члена изменить знак на противоположный. Например, для многочлена $P = 7a^2 - 2ab + b^2$ противоположным будет многочлен $-P = -(7a^2 - 2ab + b^2) = -7a^2 + 2ab - b^2$.
Ответ: Многочлены, сумма которых равна нулю, называют противоположными.

в) Основное свойство противоположных многочленов заключается в том, что их сумма равна нулю. Если $P$ — некоторый многочлен, а $-P$ — противоположный ему многочлен, то их сумма всегда будет равна нулю: $P + (-P) = 0$. Например, для многочленов $P = 5x-2y$ и $-P = -5x+2y$ их сумма равна $(5x-2y) + (-5x+2y) = 5x-2y-5x+2y = 0$.
Ответ: Сумма противоположных многочленов равна нулю.

г) Разность двух многочленов обладает свойством, что она тождественно равна сумме первого многочлена и многочлена, противоположного второму. То есть, чтобы из одного многочлена вычесть другой, нужно к первому многочлену прибавить многочлен, противоположный второму. Для многочленов $P$ и $Q$ это свойство записывается так: $P - Q = P + (-Q)$. Например, найдем разность многочленов $(8x+3) - (4x-2)$: $(8x+3) - (4x-2) = (8x+3) + (-4x+2) = 8x+3-4x+2 = 4x+5$.
Ответ: Разность двух многочленов равна сумме первого многочлена и многочлена, противоположного второму.

д) Нет, многочлен не изменится, если его умножить на 1. Число 1 является нейтральным элементом для операции умножения (умножение на единицу). При умножении любого выражения, включая многочлен, на 1, это выражение остается неизменным. Если $P$ - это многочлен, то $P \cdot 1 = P$.
Ответ: Нет, многочлен не изменится.