Номер 281, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.5. Произведение одночлена и многочлена. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 281, страница 86.

Условие.

281. а) $a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)$;

б) $a(b+c-bc) - b(c+a-ac) + c(b-a)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы упростить выражение $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)$, необходимо раскрыть скобки, используя распределительный закон умножения, который гласит, что $x(y \pm z) = xy \pm xz$.
Применим этот закон к каждому слагаемому:
1. $a(b - c) = ab - ac$
2. $b(c - a) = bc - ba$
3. $c(a - b) = ca - cb$
Теперь подставим полученные выражения в исходное и сложим их:
$ab - ac + bc - ba + ca - cb$
Сгруппируем подобные слагаемые. Учитывая, что умножение коммутативно (то есть $ba = ab$, $ca = ac$ и $cb = bc$), получаем:
$(ab - ba) + (bc - cb) + (ca - ac)$
Каждая из скобок в результате вычитания дает ноль:
$0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

б) Рассмотрим выражение $a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a)$. Решение аналогично предыдущему пункту: сначала раскроем все скобки.
1. $a(b + c - bc) = ab + ac - abc$
2. $-b(c + a - ac) = -bc - ba + bac$. Так как $bac = abc$, то получаем $-bc - ba + abc$.
3. $c(b - a) = cb - ca$
Теперь сложим все полученные выражения:
$ab + ac - abc - bc - ba + abc + cb - ca$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(ab - ba) + (ac - ca) + (-bc + cb) + (-abc + abc)$
Как и в предыдущем случае, каждая группа слагаемых в сумме дает ноль:
$0 + 0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$