Номер 282, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.5. Произведение одночлена и многочлена. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 282, страница 86.

Условие.

282. Доказываем. Пользуясь рисунком 11, докажите, что для $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$ верно равенство:

а) $a(b + c) = ab + ac$ (рис. 11, а);

б) $a(b + c + d) = ab + ac + ad$ (рис. 11, б).

Рис. 11

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Данные равенства представляют собой распределительный закон умножения относительно сложения. Докажем их, используя геометрический смысл площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

а) Рассмотрим прямоугольник, изображенный на рисунке 11, а).

С одной стороны, это большой прямоугольник, одна сторона которого равна $a$, а другая сторона состоит из двух отрезков $b$ и $c$, то есть ее длина равна $b+c$. Площадь этого большого прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{общ} = a(b+c)$.

С другой стороны, этот большой прямоугольник состоит из двух меньших прямоугольников.

• Первый прямоугольник (левый) имеет стороны $a$ и $b$. Его площадь равна $S_1 = ab$.
• Второй прямоугольник (правый) имеет стороны $a$ и $c$. Его площадь равна $S_2 = ac$.

Площадь большого прямоугольника равна сумме площадей двух меньших прямоугольников, из которых он состоит: $S_{общ} = S_1 + S_2$.

Приравнивая два выражения для общей площади, получаем: $a(b+c) = ab + ac$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $a(b+c) = ab + ac$ доказано, так как обе его части выражают площадь одного и того же прямоугольника.

б) Рассмотрим прямоугольник, изображенный на рисунке 11, б).

С одной стороны, это большой прямоугольник, одна сторона которого равна $a$, а другая сторона состоит из трех отрезков $b$, $c$ и $d$, то есть ее длина равна $b+c+d$. Площадь этого большого прямоугольника равна: $S_{общ} = a(b+c+d)$.

С другой стороны, этот большой прямоугольник состоит из трех меньших прямоугольников.

• Первый прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$. Его площадь равна $S_1 = ab$.
• Второй прямоугольник имеет стороны $a$ и $c$. Его площадь равна $S_2 = ac$.
• Третий прямоугольник имеет стороны $a$ и $d$. Его площадь равна $S_3 = ad$.

Площадь большого прямоугольника равна сумме площадей трех меньших прямоугольников, из которых он состоит: $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3$.

Приравнивая два выражения для общей площади, получаем: $a(b+c+d) = ab + ac + ad$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $a(b+c+d) = ab + ac + ad$ доказано, так как обе его части выражают площадь одного и того же прямоугольника.