Номер 291, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 291, страница 89.

Условие.

291. а) Чему равно произведение двух многочленов?

б) Зависит ли произведение двух многочленов от порядка множителей?

в) По какому правилу умножают три (и более) многочлена?

г) Что называют разложением многочлена на множители?

д) Следует ли приводить перемножаемые многочлены к стандартному виду?

е) Чему равно произведение многочленов, один из которых нулевой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Чему равно произведение двух многочленов?
Чтобы умножить один многочлен на другой, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить. В результате этой операции получается новый многочлен. Например, для многочленов $(x+2)$ и $(x-3)$ произведение находится так: $(x+2)(x-3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-3) = x^2 - 3x + 2x - 6$. После приведения подобных членов получаем итоговый многочлен в стандартном виде: $x^2 - x - 6$.
Ответ: Произведение двух многочленов равно многочлену, который получается в результате сложения произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого.

б) Зависит ли произведение двух многочленов от порядка множителей?
Нет, произведение двух многочленов не зависит от порядка множителей. Это свойство называется переместительным или коммутативным законом умножения. Для любых двух многочленов $P$ и $Q$ справедливо равенство: $P \cdot Q = Q \cdot P$. Это следует из того, что и умножение, и сложение чисел (коэффициентов многочлена) обладают переместительным свойством.
Ответ: Нет, произведение двух многочленов не зависит от порядка множителей.

в) По какому правилу умножают три (и более) многочлена?
Чтобы умножить три или более многочлена, используют последовательное умножение. Сначала умножают первые два многочлена. Затем полученный в результате многочлен умножают на третий многочлен, и так далее, пока не будут перемножены все сомножители. Порядок умножения при этом не важен благодаря сочетательному (ассоциативному) закону умножения, который гласит, что $(P \cdot Q) \cdot R = P \cdot (Q \cdot R)$ для любых многочленов $P$, $Q$ и $R$.
Ответ: Чтобы найти произведение нескольких многочленов, сначала находят произведение первых двух, затем полученный результат умножают на третий, и так далее.

г) Что называют разложением многочлена на множители?
Разложением многочлена на множители называют представление этого многочлена в виде произведения двух или более многочленов (или одночлена и многочлена). Эти многочлены-сомножители, как правило, имеют степень ниже, чем у исходного многочлена. Например, разложение многочлена $x^2 - 4x + 4$ на множители — это представление его в виде $(x-2)(x-2)$ или $(x-2)^2$.
Ответ: Разложением многочлена на множители называют его представление в виде произведения других многочленов.

д) Следует ли приводить перемножаемые многочлены к стандартному виду?
Да, хотя это и не является строго обязательным, приводить многочлены к стандартному виду (то есть приводить подобные члены и располагать их в порядке убывания степеней) перед умножением очень рекомендуется. Это значительно упрощает сам процесс умножения, так как уменьшается количество слагаемых в каждом множителе. В итоге это помогает избежать ошибок и облегчает приведение подобных членов в конечном произведении.
Ответ: Да, рекомендуется приводить многочлены к стандартному виду перед умножением, чтобы упростить вычисления.

е) Чему равно произведение многочленов, один из которых нулевой?
Произведение многочленов, один из которых является нулевым многочленом (то есть многочленом, все коэффициенты которого равны нулю, или просто числом 0), всегда равно нулевому многочлену. Это следует из основного свойства умножения на ноль. Если $P$ — любой многочлен, а $O=0$ — нулевой многочлен, то их произведение $P \cdot O = P \cdot 0 = 0$.
Ответ: Произведение многочленов, один из которых нулевой, равно нулю.