Номер 295, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 295, страница 90.

Условие.

295. а) $(5m + 7n)(2n + 4m)$;

б) $(12a + b)(3a + 5b);

в) $(2x - 3y)(2x + 3y);

г) $(5m - 2n)(3n - 5m);

д) $(-a - b)(2a - 3b);

е) $(-7x - 4y)(-5x + 7y);

ж) $(a^2 + b^2)(a^2 + b^2);

з) $(mn^3 - m^2)(m - 1);

и) $(2x^2 - y^2)(y^2 + 2x^3);

к) $(xy^2 + 3a^2)(3xy + a^3).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить. Сначала раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые.

$(5m + 7n)(2n + 4m) = 5m \cdot 2n + 5m \cdot 4m + 7n \cdot 2n + 7n \cdot 4m = 10mn + 20m^2 + 14n^2 + 28mn$.

Приведем подобные слагаемые (члены с $mn$):

$20m^2 + (10mn + 28mn) + 14n^2 = 20m^2 + 38mn + 14n^2$.

Ответ: $20m^2 + 38mn + 14n^2$

б) Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(12a + b)(3a + 5b) = 12a \cdot 3a + 12a \cdot 5b + b \cdot 3a + b \cdot 5b = 36a^2 + 60ab + 3ab + 5b^2$.

Приведем подобные слагаемые (члены с $ab$):

$36a^2 + (60ab + 3ab) + 5b^2 = 36a^2 + 63ab + 5b^2$.

Ответ: $36a^2 + 63ab + 5b^2$

в) Данное выражение является произведением разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

В нашем случае $A = 2x$ и $B = 3y$.

$(2x - 3y)(2x + 3y) = (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2$.

Ответ: $4x^2 - 9y^2$

г) Раскроем скобки, умножая каждый член на каждый:

$(5m - 2n)(3n - 5m) = 5m \cdot 3n + 5m \cdot (-5m) - 2n \cdot 3n - 2n \cdot (-5m) = 15mn - 25m^2 - 6n^2 + 10mn$.

Приведем подобные слагаемые и упорядочим члены многочлена:

$-25m^2 + (15mn + 10mn) - 6n^2 = -25m^2 + 25mn - 6n^2$.

Ответ: $-25m^2 + 25mn - 6n^2$

д) Раскроем скобки:

$(-a - b)(2a - 3b) = (-a) \cdot 2a + (-a) \cdot (-3b) + (-b) \cdot 2a + (-b) \cdot (-3b) = -2a^2 + 3ab - 2ab + 3b^2$.

Приведем подобные слагаемые (члены с $ab$):

$-2a^2 + (3ab - 2ab) + 3b^2 = -2a^2 + ab + 3b^2$.

Ответ: $-2a^2 + ab + 3b^2$

е) Раскроем скобки:

$(-7x - 4y)(-5x + 7y) = (-7x) \cdot (-5x) + (-7x) \cdot 7y + (-4y) \cdot (-5x) + (-4y) \cdot 7y = 35x^2 - 49xy + 20xy - 28y^2$.

Приведем подобные слагаемые (члены с $xy$):

$35x^2 + (-49xy + 20xy) - 28y^2 = 35x^2 - 29xy - 28y^2$.

Ответ: $35x^2 - 29xy - 28y^2$

ж) Это выражение является квадратом суммы: $(a^2 + b^2)^2$. Воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В данном случае $A = a^2$ и $B = b^2$.

$(a^2 + b^2)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$.

Ответ: $a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

з) Раскроем скобки:

$(mn^3 - m^2)(m - 1) = mn^3 \cdot m + mn^3 \cdot (-1) - m^2 \cdot m - m^2 \cdot (-1) = m^2n^3 - mn^3 - m^3 + m^2$.

В полученном выражении нет подобных слагаемых. Для стандартного вида упорядочим члены многочлена по убыванию степеней переменной $m$:

$-m^3 + m^2n^3 + m^2 - mn^3$.

Ответ: $-m^3 + m^2n^3 + m^2 - mn^3$

и) Раскроем скобки:

$(2x^2 - y^2)(y^2 + 2x^3) = 2x^2 \cdot y^2 + 2x^2 \cdot 2x^3 - y^2 \cdot y^2 - y^2 \cdot 2x^3 = 2x^2y^2 + 4x^5 - y^4 - 2x^3y^2$.

Подобных слагаемых нет. Упорядочим члены многочлена по убыванию степеней переменной $x$:

$4x^5 - 2x^3y^2 + 2x^2y^2 - y^4$.

Ответ: $4x^5 - 2x^3y^2 + 2x^2y^2 - y^4$

к) Раскроем скобки:

$(xy^2 + 3a^2)(3xy + a^3) = xy^2 \cdot 3xy + xy^2 \cdot a^3 + 3a^2 \cdot 3xy + 3a^2 \cdot a^3 = 3x^2y^3 + a^3xy^2 + 9a^2xy + 3a^5$.

Подобных слагаемых нет. Упорядочим члены многочлена по убыванию степеней переменной $a$:

$3a^5 + a^3xy^2 + 9a^2xy + 3x^2y^3$.

Ответ: $3a^5 + a^3xy^2 + 9a^2xy + 3x^2y^3$