Страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

315. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида и определите его степень.

Чтобы избежать ошибок со знаком при вычислении, следует выполнить преобразования, например, так:

$(x + 1)(x + 2) - (x + 3)(x + 4) =$

$= (x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 + 4x + 3x + 12) =$

$= (x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 7x + 12) =$

$= x^2 + 3x + 2 - x^2 - 7x - 12 = -4x - 10.$

а) $2x + (x - 1)(x + 1);$

б) $7p^2 - (p + 1)(p + 2);$

в) $(a + 2)(a - 1) - (a + 1)(a - 2);$

г) $(p + 2)(p - 1) + (p + 3)(p - 5);$

д) $(4 - x)(2 - x) - (x + 2)(1 - x).$

а) $2x + (x - 1)(x + 1)$
Для преобразования выражения сначала раскроем скобки. Произведение $(x - 1)(x + 1)$ является формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$2x + (x^2 - 1) = 2x + x^2 - 1$.
Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной $x$:
$x^2 + 2x - 1$.
Степень многочлена определяется наибольшей степенью его членов. В данном случае это 2.
Ответ: многочлен $x^2 + 2x - 1$, степень 2.

б) $7p^2 - (p + 1)(p + 2)$
Сначала раскроем скобки в произведении $(p + 1)(p + 2)$, умножая каждый член одной скобки на каждый член другой:
$(p + 1)(p + 2) = p \cdot p + p \cdot 2 + 1 \cdot p + 1 \cdot 2 = p^2 + 2p + p + 2 = p^2 + 3p + 2$.
Теперь подставим это в исходное выражение. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки меняются на противоположные:
$7p^2 - (p^2 + 3p + 2) = 7p^2 - p^2 - 3p - 2$.
Приведем подобные члены:
$(7p^2 - p^2) - 3p - 2 = 6p^2 - 3p - 2$.
Это многочлен стандартного вида. Наибольшая степень переменной $p$ равна 2.
Ответ: многочлен $6p^2 - 3p - 2$, степень 2.

в) $(a + 2)(a - 1) - (a + 1)(a - 2)$
Раскроем скобки в каждом произведении по отдельности:
$(a + 2)(a - 1) = a^2 - a + 2a - 2 = a^2 + a - 2$.
$(a + 1)(a - 2) = a^2 - 2a + a - 2 = a^2 - a - 2$.
Подставим полученные многочлены в исходное выражение:
$(a^2 + a - 2) - (a^2 - a - 2) = a^2 + a - 2 - a^2 + a + 2$.
Приведем подобные члены:
$(a^2 - a^2) + (a + a) + (-2 + 2) = 0 + 2a + 0 = 2a$.
Это многочлен стандартного вида. Наибольшая степень переменной $a$ равна 1.
Ответ: многочлен $2a$, степень 1.

г) $(p + 2)(p - 1) + (p + 3)(p - 5)$
Раскроем скобки в каждом произведении:
$(p + 2)(p - 1) = p^2 - p + 2p - 2 = p^2 + p - 2$.
$(p + 3)(p - 5) = p^2 - 5p + 3p - 15 = p^2 - 2p - 15$.
Теперь сложим полученные многочлены:
$(p^2 + p - 2) + (p^2 - 2p - 15) = p^2 + p - 2 + p^2 - 2p - 15$.
Приведем подобные члены:
$(p^2 + p^2) + (p - 2p) + (-2 - 15) = 2p^2 - p - 17$.
Это многочлен стандартного вида. Наибольшая степень переменной $p$ равна 2.
Ответ: многочлен $2p^2 - p - 17$, степень 2.

д) $(4 - x)(2 - x) - (x + 2)(1 - x)$
Раскроем скобки в каждом произведении:
$(4 - x)(2 - x) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot x - x \cdot 2 + x \cdot x = 8 - 4x - 2x + x^2 = x^2 - 6x + 8$.
$(x + 2)(1 - x) = x \cdot 1 - x \cdot x + 2 \cdot 1 - 2 \cdot x = x - x^2 + 2 - 2x = -x^2 - x + 2$.
Подставим в исходное выражение и раскроем скобки, учитывая знак минус:
$(x^2 - 6x + 8) - (-x^2 - x + 2) = x^2 - 6x + 8 + x^2 + x - 2$.
Приведем подобные члены:
$(x^2 + x^2) + (-6x + x) + (8 - 2) = 2x^2 - 5x + 6$.
Это многочлен стандартного вида. Наибольшая степень переменной $x$ равна 2.
Ответ: многочлен $2x^2 - 5x + 6$, степень 2.

Упростите целое выражение (316–318):

316. а) $(5ab^2 + 4b^3)(3ab^3 - 4a^2) - 18a^2b^3;$

б) $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3) + 12x^5y^4;$

в) $(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)(x - y) - x^2y(x - y);$

г) $a^2(a^2 - b^2) - (a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)(a + b);$

д) $2 - (-4x + 1)(x - 1) + 2(6x - 4)(x + 3);$

е) $6(x + 1)(x + 1) + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2(x + 1);$

ж) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3);$

з) $3(3x - 1)(2x + 5) - 6(2x - 1)(x + 2);$

и) $(x^2 + 2)(x^2 + 2) - (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4);$

к) $5(a - 2)(a + 2) - \frac{1}{2}(8a - 6)(8a - 6) + 17.$

а) $(5ab^2 + 4b^3)(3ab^3 - 4a^2) - 18a^2b^3$

Сначала раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена:

$(5ab^2)(3ab^3) + (5ab^2)(-4a^2) + (4b^3)(3ab^3) + (4b^3)(-4a^2) - 18a^2b^3 = $

$= 15a^2b^5 - 20a^3b^2 + 12ab^6 - 16a^2b^3 - 18a^2b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые (в данном случае это $-16a^2b^3$ и $-18a^2b^3$):

$15a^2b^5 - 20a^3b^2 + 12ab^6 + (-16 - 18)a^2b^3 = 15a^2b^5 - 20a^3b^2 + 12ab^6 - 34a^2b^3$

Ответ: $15a^2b^5 - 20a^3b^2 + 12ab^6 - 34a^2b^3$.

б) $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3) + 12x^5y^4$

Раскроем скобки:

$(7x^3y^2)(-2x^2y^2) + (7x^3y^2)(5xy^3) + (-xy)(-2x^2y^2) + (-xy)(5xy^3) + 12x^5y^4 = $

$= -14x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4 + 12x^5y^4$

Приведем подобные слагаемые ($-14x^5y^4$ и $12x^5y^4$):

$(-14 + 12)x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4 = -2x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4$

Ответ: $-2x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4$.

в) $(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)(x - y) - x^2y(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 - x^2y)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(x - y)(x^3 + xy^2 + y^3)$

Теперь раскроем скобки:

$x(x^3 + xy^2 + y^3) - y(x^3 + xy^2 + y^3) = x^4 + x^2y^2 + xy^3 - x^3y - xy^3 - y^4$

Приведем подобные слагаемые ($xy^3$ и $-xy^3$):

$x^4 - x^3y + x^2y^2 - y^4$

Ответ: $x^4 - x^3y + x^2y^2 - y^4$.

г) $a^2(a^2 - b^2) - (a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)(a + b)$

Раскроем скобки в первом слагаемом: $a^2(a^2 - b^2) = a^4 - a^2b^2$.

Второе произведение является формулой разности четвертых степеней: $(a+b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) = a^4 - b^4$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(a^4 - a^2b^2) - (a^4 - b^4) = a^4 - a^2b^2 - a^4 + b^4$

Приведем подобные слагаемые ($a^4$ и $-a^4$):

$b^4 - a^2b^2$

Ответ: $b^4 - a^2b^2$.

д) $2 - (-4x + 1)(x - 1) + 2(6x - 4)(x + 3)$

Раскроем скобки в каждом произведении:

$(-4x + 1)(x - 1) = -4x^2 + 4x + x - 1 = -4x^2 + 5x - 1$

$2(6x - 4)(x + 3) = 2(6x^2 + 18x - 4x - 12) = 2(6x^2 + 14x - 12) = 12x^2 + 28x - 24$

Подставим в исходное выражение:

$2 - (-4x^2 + 5x - 1) + (12x^2 + 28x - 24) = 2 + 4x^2 - 5x + 1 + 12x^2 + 28x - 24$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 + 12x^2) + (-5x + 28x) + (2 + 1 - 24) = 16x^2 + 23x - 21$

Ответ: $16x^2 + 23x - 21$.

е) $6(x + 1)(x + 1) + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2(x + 1)$

Упростим каждое слагаемое, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и разность кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$6(x + 1)^2 = 6(x^2 + 2x + 1) = 6x^2 + 12x + 6$

$2(x - 1)(x^2 + x + 1) = 2(x^3 - 1^3) = 2x^3 - 2$

$-2(x + 1) = -2x - 2$

Сложим полученные выражения:

$(6x^2 + 12x + 6) + (2x^3 - 2) + (-2x - 2) = 2x^3 + 6x^2 + 12x - 2x + 6 - 2 - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^3 + 6x^2 + 10x + 2$

Ответ: $2x^3 + 6x^2 + 10x + 2$.

ж) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3)$

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Первая часть: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.

Вторая часть: $-x(x - 3)(x + 3) = -x(x^2 - 3^2) = -x(x^2 - 9) = -x^3 + 9x$.

Сложим полученные выражения:

$(x^3 + 8) + (-x^3 + 9x) = x^3 + 8 - x^3 + 9x$

Приведем подобные слагаемые:

$9x + 8$

Ответ: $9x + 8$.

з) $3(3x - 1)(2x + 5) - 6(2x - 1)(x + 2)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$3(6x^2 + 15x - 2x - 5) - 6(2x^2 + 4x - x - 2) = 3(6x^2 + 13x - 5) - 6(2x^2 + 3x - 2)$

Умножим на коэффициенты перед скобками:

$18x^2 + 39x - 15 - (12x^2 + 18x - 12) = 18x^2 + 39x - 15 - 12x^2 - 18x + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(18x^2 - 12x^2) + (39x - 18x) + (-15 + 12) = 6x^2 + 21x - 3$

Ответ: $6x^2 + 21x - 3$.

и) $(x^2 + 2)(x^2 + 2) - (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$

Упростим первую часть, используя формулу квадрата суммы: $(x^2 + 2)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(2) + 2^2 = x^4 + 4x^2 + 4$.

Упростим вторую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$

$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x^2)^2 - 4^2 = x^4 - 16$

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(x^4 + 4x^2 + 4) - (x^4 - 16) = x^4 + 4x^2 + 4 - x^4 + 16$

Приведем подобные слагаемые:

$4x^2 + 20$

Ответ: $4x^2 + 20$.

к) $5(a - 2)(a + 2) - \frac{1}{2}(8a - 6)^2 + 17$

Используем формулу разности квадратов для первого слагаемого и квадрата разности для второго.

$5(a^2 - 2^2) = 5(a^2 - 4) = 5a^2 - 20$

$-\frac{1}{2}(8a - 6)^2 = -\frac{1}{2}((8a)^2 - 2(8a)(6) + 6^2) = -\frac{1}{2}(64a^2 - 96a + 36)$

$= -32a^2 + 48a - 18$

Подставим все в исходное выражение:

$(5a^2 - 20) + (-32a^2 + 48a - 18) + 17 = 5a^2 - 20 - 32a^2 + 48a - 18 + 17$

Приведем подобные слагаемые:

$(5a^2 - 32a^2) + 48a + (-20 - 18 + 17) = -27a^2 + 48a - 21$

Ответ: $-27a^2 + 48a - 21$.

317. a) $(a^2 + 1)(a^2 + 1) + (a - 1)(a^2 + 1) - a^2;$б) $(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 - 1);$в) $(m + \frac{1}{2})(m^2 - \frac{1}{2}m + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{2}m^3 - \frac{1}{2}m^2);$г) $(\frac{1}{2}a - 2b)(\frac{1}{4}a^2 + ab + 4b^2) - (\frac{1}{8}a^3 - 8b^3);$д) $15x^3y^2 - (5xy - 2)(3x^2y + x);$е) $\frac{1}{2}(a + b + c)(a + b - c) - ab;$ж) $(a + 2b)(a + c) - (a - 2b)(a - c).$

а) Исходное выражение: $(a^2 + 1)(a^2 + 1) + (a - 1)(a^2 + 1) - a^2$.
Вынесем общий множитель $(a^2 + 1)$ за скобки из первых двух слагаемых:
$(a^2 + 1) \cdot ((a^2 + 1) + (a - 1)) - a^2$
Упростим выражение во второй скобке:
$(a^2 + 1)(a^2 + 1 + a - 1) - a^2 = (a^2 + 1)(a^2 + a) - a^2$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$a^2 \cdot a^2 + a^2 \cdot a + 1 \cdot a^2 + 1 \cdot a - a^2 = a^4 + a^3 + a^2 + a - a^2$
Приведем подобные слагаемые:
$a^4 + a^3 + (a^2 - a^2) + a = a^4 + a^3 + a$.
Ответ: $a^4 + a^3 + a$.

б) Исходное выражение: $(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 - 1)(x^2 - 1)$.
Первое произведение $(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$ является формулой разности кубов $(A - B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3$, где $A = x^2$ и $B = 1$. Таким образом, оно равно $(x^2)^3 - 1^3 = x^6 - 1$.
Второе произведение - это $(x^2 - 1)^3$.
Выражение можно упростить, вынеся общий множитель $(x^2 - 1)$:
$(x^2 - 1) \cdot [(x^4 + x^2 + 1) - (x^2 - 1)^2]$
Раскроем квадрат разности внутри квадратных скобок: $(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.
Подставим и упростим выражение в квадратных скобках:
$(x^2 - 1) \cdot [x^4 + x^2 + 1 - (x^4 - 2x^2 + 1)] = (x^2 - 1) \cdot (x^4 + x^2 + 1 - x^4 + 2x^2 - 1)$
$(x^2 - 1) \cdot (3x^2)$
Раскроем скобки: $3x^2 \cdot x^2 - 3x^2 \cdot 1 = 3x^4 - 3x^2$.
Ответ: $3x^4 - 3x^2$.

в) Исходное выражение: $(m + \frac{1}{2})(m^2 - \frac{1}{2}m + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{2}m^3 - \frac{1}{2}m^2)$.
Первое произведение является формулой суммы кубов $(A + B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3$, где $A = m$ и $B = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $(m + \frac{1}{2})(m^2 - \frac{1}{2}m + \frac{1}{4}) = m^3 + (\frac{1}{2})^3 = m^3 + \frac{1}{8}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(m^3 + \frac{1}{8}) - (\frac{1}{2}m^3 - \frac{1}{2}m^2) = m^3 + \frac{1}{8} - \frac{1}{2}m^3 + \frac{1}{2}m^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(m^3 - \frac{1}{2}m^3) + \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}m^3 + \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{2}m^3 + \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{8}$.

г) Исходное выражение: $(\frac{1}{2}a - 2b)(\frac{1}{4}a^2 + ab + 4b^2) - (\frac{1}{8}a^3 - 8b^3)$.
Первое произведение является формулой разности кубов $(A - B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3$, где $A = \frac{1}{2}a$ и $B = 2b$.
Таким образом, $(\frac{1}{2}a - 2b)(\frac{1}{4}a^2 + ab + 4b^2) = (\frac{1}{2}a)^3 - (2b)^3 = \frac{1}{8}a^3 - 8b^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\frac{1}{8}a^3 - 8b^3) - (\frac{1}{8}a^3 - 8b^3)$
Выражение представляет собой разность двух одинаковых членов, что равно нулю.
$\frac{1}{8}a^3 - 8b^3 - \frac{1}{8}a^3 + 8b^3 = 0$.
Ответ: $0$.

д) Исходное выражение: $15x^3y^2 - (5xy - 2)(3x^2y + x)$.
Раскроем скобки в произведении:
$(5xy - 2)(3x^2y + x) = 5xy \cdot 3x^2y + 5xy \cdot x - 2 \cdot 3x^2y - 2 \cdot x = 15x^3y^2 + 5x^2y - 6x^2y - 2x$
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:
$15x^3y^2 - x^2y - 2x$
Подставим результат в исходное выражение:
$15x^3y^2 - (15x^3y^2 - x^2y - 2x) = 15x^3y^2 - 15x^3y^2 + x^2y + 2x$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2y + 2x$.
Ответ: $x^2y + 2x$.

е) Исходное выражение: $\frac{1}{2}(a + b + c)(a + b - c) - ab$.
Сгруппируем члены в произведении, чтобы использовать формулу разности квадратов $(X+Y)(X-Y)=X^2-Y^2$:
$\frac{1}{2}((a + b) + c)((a + b) - c) - ab$
Здесь $X = a+b$ и $Y = c$. Применим формулу:
$\frac{1}{2}((a+b)^2 - c^2) - ab$
Раскроем квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2 - c^2) - ab$
Умножим выражение в скобках на $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}(2ab) + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2 - ab = \frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2 - ab$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2 + (ab - ab) = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2$.
Ответ: $\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2$.

ж) Исходное выражение: $(a + 2b)(a + c) - (a - 2b)(a - c)$.
Раскроем скобки в первом произведении:
$(a + 2b)(a + c) = a^2 + ac + 2ab + 2bc$
Раскроем скобки во втором произведении:
$(a - 2b)(a - c) = a^2 - ac - 2ab + 2bc$
Вычтем второе выражение из первого:
$(a^2 + ac + 2ab + 2bc) - (a^2 - ac - 2ab + 2bc)$
Раскроем скобки, меняя знаки, и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + ac + 2ab + 2bc - a^2 + ac + 2ab - 2bc = (a^2 - a^2) + (ac + ac) + (2ab + 2ab) + (2bc - 2bc) = 2ac + 4ab$.
Ответ: $4ab + 2ac$.

318. a) $(x^2 + y^2 + x + y)(x + y + xy)$;

б) $(2a^2bc - 3b^2c - 7bc^2)(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2)$;

в) $(m^2 - mn^2 - mn - n^2)(m - mn - n^2 + n)$;

г) $(0,1p^3 - 2p^2q - 0,5pq^2 + 1,2p^3)(8p^2 - 0,2pq + 5q^2)$.

а) $(x^2 + y^2 + x + y)(x + y + xy)$
Для решения данной задачи необходимо перемножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.
$x^2(x + y + xy) + y^2(x + y + xy) + x(x + y + xy) + y(x + y + xy) = $
$= (x^3 + x^2y + x^3y) + (xy^2 + y^3 + xy^3) + (x^2 + xy + x^2y) + (xy + y^2 + xy^2)$
Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:
$= x^3 + y^3 + (x^2y + x^2y) + (xy^2 + xy^2) + x^3y + xy^3 + x^2 + y^2 + (xy + xy) = $
$= x^3 + y^3 + 2x^2y + 2xy^2 + x^3y + xy^3 + x^2 + y^2 + 2xy$
Запишем итоговый многочлен, упорядочив слагаемые по убыванию степеней:
$= x^3y + xy^3 + x^3 + y^3 + 2x^2y + 2xy^2 + x^2 + y^2 + 2xy$
Ответ: $x^3y + xy^3 + x^3 + y^3 + 2x^2y + 2xy^2 + x^2 + y^2 + 2xy$.

б) $(2a^2bc - 3b^2c - 7bc^2)(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2)$
Раскроем скобки, последовательно умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$2a^2bc(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2) - 3b^2c(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2) - 7bc^2(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2) = $
$= (2a^4bc^2 - 2a^2b^4c^3 + 6a^2b^2c^4 - 16a^2bc^3) + (-3a^2b^2c^2 + 3b^5c^3 - 9b^3c^4 + 24b^2c^3) + (-7a^2bc^3 + 7b^4c^4 - 21b^2c^5 + 56bc^4)$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. В данном выражении есть только одна пара подобных слагаемых: $-16a^2bc^3$ и $-7a^2bc^3$.
$= 2a^4bc^2 - 2a^2b^4c^3 + 6a^2b^2c^4 + (-16a^2bc^3 - 7a^2bc^3) - 3a^2b^2c^2 + 3b^5c^3 - 9b^3c^4 + 24b^2c^3 + 7b^4c^4 - 21b^2c^5 + 56bc^4 = $
$= 2a^4bc^2 - 2a^2b^4c^3 + 6a^2b^2c^4 - 23a^2bc^3 - 3a^2b^2c^2 + 3b^5c^3 - 9b^3c^4 + 24b^2c^3 + 7b^4c^4 - 21b^2c^5 + 56bc^4$
Ответ: $2a^4bc^2 - 3a^2b^2c^2 - 23a^2bc^3 + 6a^2b^2c^4 - 2a^2b^4c^3 + 24b^2c^3 - 21b^2c^5 - 9b^3c^4 + 56bc^4 + 7b^4c^4 + 3b^5c^3$.

в) $(m^2 - mn^2 - mn - n^2)(m - mn - n^2 + n)$
Для выполнения умножения раскроем скобки, перемножая каждый член первого многочлена на каждый член второго.
$m^2(m - mn - n^2 + n) - mn^2(m - mn - n^2 + n) - mn(m - mn - n^2 + n) - n^2(m - mn - n^2 + n) = $
$= (m^3 - m^3n - m^2n^2 + m^2n) + (-m^2n^2 + m^2n^3 + mn^4 - mn^3) + (-m^2n + m^2n^2 + mn^3 - mn^2) + (-mn^2 + mn^3 + n^4 - n^3)$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= m^3 - m^3n + (m^2n - m^2n) + (-m^2n^2 - m^2n^2 + m^2n^2) + m^2n^3 + (-mn^2 - mn^2) + (-mn^3 + mn^3 + mn^3) + mn^4 - n^3 + n^4 = $
$= m^3 - m^3n - m^2n^2 + m^2n^3 - 2mn^2 + mn^3 + mn^4 - n^3 + n^4$
Ответ: $m^3 - m^3n - m^2n^2 + m^2n^3 + mn^4 - 2mn^2 + mn^3 + n^4 - n^3$.

г) $(0,1p^3 - 2p^2q - 0,5pq^2 + 1,2p^3)(8p^2 - 0,2pq + 5q^2)$
В первую очередь упростим выражение в первой скобке, приведя подобные слагаемые:
$0,1p^3 + 1,2p^3 = 1,3p^3$.
Таким образом, исходное выражение принимает вид: $(1,3p^3 - 2p^2q - 0,5pq^2)(8p^2 - 0,2pq + 5q^2)$.
Теперь выполним умножение многочленов:
$1,3p^3(8p^2 - 0,2pq + 5q^2) - 2p^2q(8p^2 - 0,2pq + 5q^2) - 0,5pq^2(8p^2 - 0,2pq + 5q^2) = $
$= (10,4p^5 - 0,26p^4q + 6,5p^3q^2) + (-16p^4q + 0,4p^3q^2 - 10p^2q^3) + (-4p^3q^2 + 0,1p^2q^3 - 2,5pq^4)$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= 10,4p^5 + (-0,26p^4q - 16p^4q) + (6,5p^3q^2 + 0,4p^3q^2 - 4p^3q^2) + (-10p^2q^3 + 0,1p^2q^3) - 2,5pq^4 = $
$= 10,4p^5 - 16,26p^4q + 2,9p^3q^2 - 9,9p^2q^3 - 2,5pq^4$
Ответ: $10,4p^5 - 16,26p^4q + 2,9p^3q^2 - 9,9p^2q^3 - 2,5pq^4$.