Номер 315, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.7. Целые выражения. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 315, страница 93.

Условие.

315. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида и определите его степень.

Чтобы избежать ошибок со знаком при вычислении, следует выполнить преобразования, например, так:

$(x + 1)(x + 2) - (x + 3)(x + 4) =$

$= (x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 + 4x + 3x + 12) =$

$= (x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 7x + 12) =$

$= x^2 + 3x + 2 - x^2 - 7x - 12 = -4x - 10.$

а) $2x + (x - 1)(x + 1);$

б) $7p^2 - (p + 1)(p + 2);$

в) $(a + 2)(a - 1) - (a + 1)(a - 2);$

г) $(p + 2)(p - 1) + (p + 3)(p - 5);$

д) $(4 - x)(2 - x) - (x + 2)(1 - x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $2x + (x - 1)(x + 1)$
Для преобразования выражения сначала раскроем скобки. Произведение $(x - 1)(x + 1)$ является формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$2x + (x^2 - 1) = 2x + x^2 - 1$.
Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной $x$:
$x^2 + 2x - 1$.
Степень многочлена определяется наибольшей степенью его членов. В данном случае это 2.
Ответ: многочлен $x^2 + 2x - 1$, степень 2.

б) $7p^2 - (p + 1)(p + 2)$
Сначала раскроем скобки в произведении $(p + 1)(p + 2)$, умножая каждый член одной скобки на каждый член другой:
$(p + 1)(p + 2) = p \cdot p + p \cdot 2 + 1 \cdot p + 1 \cdot 2 = p^2 + 2p + p + 2 = p^2 + 3p + 2$.
Теперь подставим это в исходное выражение. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки меняются на противоположные:
$7p^2 - (p^2 + 3p + 2) = 7p^2 - p^2 - 3p - 2$.
Приведем подобные члены:
$(7p^2 - p^2) - 3p - 2 = 6p^2 - 3p - 2$.
Это многочлен стандартного вида. Наибольшая степень переменной $p$ равна 2.
Ответ: многочлен $6p^2 - 3p - 2$, степень 2.

в) $(a + 2)(a - 1) - (a + 1)(a - 2)$
Раскроем скобки в каждом произведении по отдельности:
$(a + 2)(a - 1) = a^2 - a + 2a - 2 = a^2 + a - 2$.
$(a + 1)(a - 2) = a^2 - 2a + a - 2 = a^2 - a - 2$.
Подставим полученные многочлены в исходное выражение:
$(a^2 + a - 2) - (a^2 - a - 2) = a^2 + a - 2 - a^2 + a + 2$.
Приведем подобные члены:
$(a^2 - a^2) + (a + a) + (-2 + 2) = 0 + 2a + 0 = 2a$.
Это многочлен стандартного вида. Наибольшая степень переменной $a$ равна 1.
Ответ: многочлен $2a$, степень 1.

г) $(p + 2)(p - 1) + (p + 3)(p - 5)$
Раскроем скобки в каждом произведении:
$(p + 2)(p - 1) = p^2 - p + 2p - 2 = p^2 + p - 2$.
$(p + 3)(p - 5) = p^2 - 5p + 3p - 15 = p^2 - 2p - 15$.
Теперь сложим полученные многочлены:
$(p^2 + p - 2) + (p^2 - 2p - 15) = p^2 + p - 2 + p^2 - 2p - 15$.
Приведем подобные члены:
$(p^2 + p^2) + (p - 2p) + (-2 - 15) = 2p^2 - p - 17$.
Это многочлен стандартного вида. Наибольшая степень переменной $p$ равна 2.
Ответ: многочлен $2p^2 - p - 17$, степень 2.

д) $(4 - x)(2 - x) - (x + 2)(1 - x)$
Раскроем скобки в каждом произведении:
$(4 - x)(2 - x) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot x - x \cdot 2 + x \cdot x = 8 - 4x - 2x + x^2 = x^2 - 6x + 8$.
$(x + 2)(1 - x) = x \cdot 1 - x \cdot x + 2 \cdot 1 - 2 \cdot x = x - x^2 + 2 - 2x = -x^2 - x + 2$.
Подставим в исходное выражение и раскроем скобки, учитывая знак минус:
$(x^2 - 6x + 8) - (-x^2 - x + 2) = x^2 - 6x + 8 + x^2 + x - 2$.
Приведем подобные члены:
$(x^2 + x^2) + (-6x + x) + (8 - 2) = 2x^2 - 5x + 6$.
Это многочлен стандартного вида. Наибольшая степень переменной $x$ равна 2.
Ответ: многочлен $2x^2 - 5x + 6$, степень 2.