Номер 314, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.7. Целые выражения. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 314, страница 92.

Условие.

314. Упростите выражение:

а) $2(x-1) + 3(2-x)$;

б) $2ab(3-2a) + 4b(3a-7a^2)$;

в) $7m(m-n) - 3n(n+m)$;

г) $(x-2y) \cdot 2xy - 28x^2y$;

д) $x(x+2y) - y(2x-1)$;

е) $x(x-2y) - y(5-2x)$;

ж) $x^2(x+2y) - y(2x^2+1)$;

з) $x(x^2-y^2) + y(xy-y^2)$;

и) $(x-y)^2(x+1) - (x-y)^2x$;

к) $(x+y)^2(x-1) - (x-y)^2x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для упрощения выражения $2(x - 1) + 3(2 - x)$ сначала раскроем скобки, умножив множитель перед скобками на каждый член внутри них.
$2 \cdot x + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 + 3 \cdot (-x) = 2x - 2 + 6 - 3x$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2x - 3x) + (-2 + 6) = -x + 4$
Ответ: $4 - x$.

б) Упростим выражение $2ab(3 - 2a) + 4b(3a - 7a^2)$. Раскроем скобки:
$(2ab \cdot 3 - 2ab \cdot 2a) + (4b \cdot 3a - 4b \cdot 7a^2) = 6ab - 4a^2b + 12ab - 28a^2b$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(6ab + 12ab) + (-4a^2b - 28a^2b) = 18ab - 32a^2b$
Ответ: $18ab - 32a^2b$.

в) Упростим выражение $7m(m - n) - 3n(n + m)$. Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед вторым слагаемым:
$7m \cdot m - 7m \cdot n - (3n \cdot n + 3n \cdot m) = 7m^2 - 7mn - 3n^2 - 3mn$
Приведем подобные слагаемые:
$7m^2 - 3n^2 + (-7mn - 3mn) = 7m^2 - 3n^2 - 10mn$
Ответ: $7m^2 - 10mn - 3n^2$.

г) Упростим выражение $(x - 2y) \cdot 2xy - 28x^2y$. Сначала умножим многочлен $(x - 2y)$ на одночлен $2xy$:
$x \cdot 2xy - 2y \cdot 2xy - 28x^2y = 2x^2y - 4xy^2 - 28x^2y$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(2x^2y - 28x^2y) - 4xy^2 = -26x^2y - 4xy^2$
Ответ: $-26x^2y - 4xy^2$.

д) Упростим выражение $x(x + 2y) - y(2x - 1)$. Раскроем скобки:
$x \cdot x + x \cdot 2y - (y \cdot 2x - y \cdot 1) = x^2 + 2xy - 2xy + y$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (2xy - 2xy) + y = x^2 + y$
Ответ: $x^2 + y$.

е) Упростим выражение $x(x - 2y) - y(5 - 2x)$. Раскроем скобки:
$x \cdot x - x \cdot 2y - (y \cdot 5 - y \cdot 2x) = x^2 - 2xy - 5y + 2xy$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (-2xy + 2xy) - 5y = x^2 - 5y$
Ответ: $x^2 - 5y$.

ж) Упростим выражение $x^2(x + 2y) - y(2x^2 + 1)$. Раскроем скобки:
$x^2 \cdot x + x^2 \cdot 2y - (y \cdot 2x^2 + y \cdot 1) = x^3 + 2x^2y - 2x^2y - y$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (2x^2y - 2x^2y) - y = x^3 - y$
Ответ: $x^3 - y$.

з) Упростим выражение $x(x^2 - y^2) + y(xy - y^2)$. Раскроем скобки:
$x \cdot x^2 - x \cdot y^2 + y \cdot xy - y \cdot y^2 = x^3 - xy^2 + xy^2 - y^3$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-xy^2 + xy^2) - y^3 = x^3 - y^3$
Ответ: $x^3 - y^3$.

и) В выражении $(x - y)^2(x + 1) - (x - y)^2 x$ заметим общий множитель $(x - y)^2$. Вынесем его за скобки:
$(x - y)^2 \cdot ((x + 1) - x)$
Упростим выражение во вторых скобках:
$(x + 1) - x = x - x + 1 = 1$
Таким образом, выражение равно:
$(x - y)^2 \cdot 1 = (x - y)^2$
Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2xy + y^2$
Ответ: $x^2 - 2xy + y^2$.

к) Для упрощения выражения $(x + y)^2(x - 1) - (x - y)^2 x$ сначала воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности:
$(x^2 + 2xy + y^2)(x - 1) - (x^2 - 2xy + y^2)x$
Теперь раскроем скобки, перемножая многочлены:
$(x^3 + 2x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2) - (x^3 - 2x^2y + xy^2)$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$x^3 + 2x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 - x^3 + 2x^2y - xy^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (2x^2y + 2x^2y) + (xy^2 - xy^2) - x^2 - 2xy - y^2 = 4x^2y - x^2 - 2xy - y^2$
Ответ: $4x^2y - x^2 - 2xy - y^2$.