Номер 313, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.7. Целые выражения. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 313, страница 92.

Условие.

313. Какие из данных выражений являются целыми:

а) $7 \left( 2 \frac{1}{2} - 5 \cdot 24 \right)$;

б) $7a^2bc$;

в) $3xy(2a+3b)$;

г) $(x-2)(3y+4) - \frac{2abc}{mn}$;

д) $\left( \frac{7}{8} a^2 - \frac{3}{5} ab^4 \right) \frac{7}{12} a - 8b^4$;

е) $2x(3-x)+4-8x?$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Целым выражением называется алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также возведения в натуральную степень. Важно, что целые выражения не содержат деления на переменную. Проанализируем каждое из данных выражений:

а) $7\left(2\frac{1}{2} - 5 \cdot 24\right)$

Данное выражение является числовым, так как не содержит переменных. Следовательно, оно не содержит и деления на переменную. Таким образом, это целое выражение.

Ответ: является целым выражением.

б) $7a^2bc$

Это выражение представляет собой одночлен — произведение числового коэффициента $7$ и переменных $a, b, c$ в натуральных степенях. В нём отсутствует деление на переменную, поэтому оно является целым.

Ответ: является целым выражением.

в) $3xy(2a + 3b)$

Для анализа раскроем скобки: $3xy(2a + 3b) = 3xy \cdot 2a + 3xy \cdot 3b = 6axy + 9bxy$. В результате мы получаем многочлен, который является суммой одночленов. Деление на переменную отсутствует. Следовательно, это целое выражение.

Ответ: является целым выражением.

г) $(x - 2)(3y + 4) - \frac{2abc}{mn}$

Это выражение содержит дробь $\frac{2abc}{mn}$, в знаменателе которой находятся переменные $m$ и $n$. Наличие деления на переменные означает, что выражение не является целым. Такие выражения называют дробно-рациональными.

Ответ: не является целым выражением.

д) $\left(\frac{7}{8}a^2 - \frac{3}{5}ab^4\right)\frac{7}{12}a - 8b^4$

Хотя в этом выражении присутствуют дроби, они являются числовыми коэффициентами. Деления на переменные нет. Раскроем скобки: $(\frac{7}{8}a^2 - \frac{3}{5}ab^4)\frac{7}{12}a - 8b^4 = \frac{49}{96}a^3 - \frac{21}{60}a^2b^4 - 8b^4 = \frac{49}{96}a^3 - \frac{7}{20}a^2b^4 - 8b^4$. Это многочлен, а любой многочлен является целым выражением.

Ответ: является целым выражением.

е) $2x(3 - x) + 4 - 8x$

Упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $2x(3 - x) + 4 - 8x = 6x - 2x^2 + 4 - 8x = -2x^2 - 2x + 4$. В результате получился многочлен (квадратный трёхчлен), который не содержит деления на переменную. Таким образом, это целое выражение.

Ответ: является целым выражением.

Итог: Целыми являются выражения под пунктами а), б), в), д), е).