Номер 317, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.7. Целые выражения. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 317, страница 93.

Условие.

317. a) $(a^2 + 1)(a^2 + 1) + (a - 1)(a^2 + 1) - a^2;$б) $(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 - 1);$в) $(m + \frac{1}{2})(m^2 - \frac{1}{2}m + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{2}m^3 - \frac{1}{2}m^2);$г) $(\frac{1}{2}a - 2b)(\frac{1}{4}a^2 + ab + 4b^2) - (\frac{1}{8}a^3 - 8b^3);$д) $15x^3y^2 - (5xy - 2)(3x^2y + x);$е) $\frac{1}{2}(a + b + c)(a + b - c) - ab;$ж) $(a + 2b)(a + c) - (a - 2b)(a - c).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Исходное выражение: $(a^2 + 1)(a^2 + 1) + (a - 1)(a^2 + 1) - a^2$.
Вынесем общий множитель $(a^2 + 1)$ за скобки из первых двух слагаемых:
$(a^2 + 1) \cdot ((a^2 + 1) + (a - 1)) - a^2$
Упростим выражение во второй скобке:
$(a^2 + 1)(a^2 + 1 + a - 1) - a^2 = (a^2 + 1)(a^2 + a) - a^2$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$a^2 \cdot a^2 + a^2 \cdot a + 1 \cdot a^2 + 1 \cdot a - a^2 = a^4 + a^3 + a^2 + a - a^2$
Приведем подобные слагаемые:
$a^4 + a^3 + (a^2 - a^2) + a = a^4 + a^3 + a$.
Ответ: $a^4 + a^3 + a$.

б) Исходное выражение: $(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 - 1)(x^2 - 1)$.
Первое произведение $(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$ является формулой разности кубов $(A - B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3$, где $A = x^2$ и $B = 1$. Таким образом, оно равно $(x^2)^3 - 1^3 = x^6 - 1$.
Второе произведение - это $(x^2 - 1)^3$.
Выражение можно упростить, вынеся общий множитель $(x^2 - 1)$:
$(x^2 - 1) \cdot [(x^4 + x^2 + 1) - (x^2 - 1)^2]$
Раскроем квадрат разности внутри квадратных скобок: $(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.
Подставим и упростим выражение в квадратных скобках:
$(x^2 - 1) \cdot [x^4 + x^2 + 1 - (x^4 - 2x^2 + 1)] = (x^2 - 1) \cdot (x^4 + x^2 + 1 - x^4 + 2x^2 - 1)$
$(x^2 - 1) \cdot (3x^2)$
Раскроем скобки: $3x^2 \cdot x^2 - 3x^2 \cdot 1 = 3x^4 - 3x^2$.
Ответ: $3x^4 - 3x^2$.

в) Исходное выражение: $(m + \frac{1}{2})(m^2 - \frac{1}{2}m + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{2}m^3 - \frac{1}{2}m^2)$.
Первое произведение является формулой суммы кубов $(A + B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3$, где $A = m$ и $B = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $(m + \frac{1}{2})(m^2 - \frac{1}{2}m + \frac{1}{4}) = m^3 + (\frac{1}{2})^3 = m^3 + \frac{1}{8}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(m^3 + \frac{1}{8}) - (\frac{1}{2}m^3 - \frac{1}{2}m^2) = m^3 + \frac{1}{8} - \frac{1}{2}m^3 + \frac{1}{2}m^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(m^3 - \frac{1}{2}m^3) + \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}m^3 + \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{2}m^3 + \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{8}$.

г) Исходное выражение: $(\frac{1}{2}a - 2b)(\frac{1}{4}a^2 + ab + 4b^2) - (\frac{1}{8}a^3 - 8b^3)$.
Первое произведение является формулой разности кубов $(A - B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3$, где $A = \frac{1}{2}a$ и $B = 2b$.
Таким образом, $(\frac{1}{2}a - 2b)(\frac{1}{4}a^2 + ab + 4b^2) = (\frac{1}{2}a)^3 - (2b)^3 = \frac{1}{8}a^3 - 8b^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\frac{1}{8}a^3 - 8b^3) - (\frac{1}{8}a^3 - 8b^3)$
Выражение представляет собой разность двух одинаковых членов, что равно нулю.
$\frac{1}{8}a^3 - 8b^3 - \frac{1}{8}a^3 + 8b^3 = 0$.
Ответ: $0$.

д) Исходное выражение: $15x^3y^2 - (5xy - 2)(3x^2y + x)$.
Раскроем скобки в произведении:
$(5xy - 2)(3x^2y + x) = 5xy \cdot 3x^2y + 5xy \cdot x - 2 \cdot 3x^2y - 2 \cdot x = 15x^3y^2 + 5x^2y - 6x^2y - 2x$
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:
$15x^3y^2 - x^2y - 2x$
Подставим результат в исходное выражение:
$15x^3y^2 - (15x^3y^2 - x^2y - 2x) = 15x^3y^2 - 15x^3y^2 + x^2y + 2x$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2y + 2x$.
Ответ: $x^2y + 2x$.

е) Исходное выражение: $\frac{1}{2}(a + b + c)(a + b - c) - ab$.
Сгруппируем члены в произведении, чтобы использовать формулу разности квадратов $(X+Y)(X-Y)=X^2-Y^2$:
$\frac{1}{2}((a + b) + c)((a + b) - c) - ab$
Здесь $X = a+b$ и $Y = c$. Применим формулу:
$\frac{1}{2}((a+b)^2 - c^2) - ab$
Раскроем квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2 - c^2) - ab$
Умножим выражение в скобках на $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}(2ab) + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2 - ab = \frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2 - ab$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2 + (ab - ab) = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2$.
Ответ: $\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2$.

ж) Исходное выражение: $(a + 2b)(a + c) - (a - 2b)(a - c)$.
Раскроем скобки в первом произведении:
$(a + 2b)(a + c) = a^2 + ac + 2ab + 2bc$
Раскроем скобки во втором произведении:
$(a - 2b)(a - c) = a^2 - ac - 2ab + 2bc$
Вычтем второе выражение из первого:
$(a^2 + ac + 2ab + 2bc) - (a^2 - ac - 2ab + 2bc)$
Раскроем скобки, меняя знаки, и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + ac + 2ab + 2bc - a^2 + ac + 2ab - 2bc = (a^2 - a^2) + (ac + ac) + (2ab + 2ab) + (2bc - 2bc) = 2ac + 4ab$.
Ответ: $4ab + 2ac$.