Номер 324, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.8. Числовое значение целого выражения. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 324, страница 96.

Условие.

324. При любых ли значениях a верно равенство:

a) $-a^2 = (-a)^2$;

б) $-a^3 = (-a)^3$;

в) $a^2 = a^3$;

г) $a^2 + a^3 = 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $-a^2 = (-a)^2$
Рассмотрим обе части равенства.
Левая часть: $-a^2$. Согласно порядку вычислений, сначала выполняется возведение в степень, а затем унарный минус (умножение на -1). То есть, $-a^2 = -(a^2)$.
Правая часть: $(-a)^2$. Это произведение $(-a)$ на себя: $(-a) \cdot (-a) = a^2$.
Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $-a^2 = a^2$.
Это уравнение можно переписать как $2a^2 = 0$, что верно только при $a=0$.
Поскольку равенство выполняется не для всех, а только для одного значения $a$, оно не является верным при любых значениях. Например, при $a=1$, получаем $-1^2 = -1$ и $(-1)^2 = 1$, а $-1 \neq 1$.
Ответ: нет, равенство верно не при любых значениях $a$.

б) $-a^3 = (-a)^3$
Рассмотрим обе части равенства.
Левая часть: $-a^3 = -(a^3)$.
Правая часть: $(-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) = -a^3$. Это следует из свойства нечетной степени, которая сохраняет знак основания.
Таким образом, мы получаем тождество $-a^3 = -a^3$.
Это равенство справедливо для любого действительного числа $a$.
Ответ: да, равенство верно при любых значениях $a$.

в) $a^2 = a^3$
Для анализа этого равенства перенесем все его члены в одну сторону: $a^3 - a^2 = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $a^2$: $a^2(a - 1) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:
1) $a^2 = 0$, откуда $a=0$.
2) $a-1 = 0$, откуда $a=1$.
Равенство выполняется только для двух значений ($a=0$ и $a=1$), а не для всех. Например, при $a=2$ имеем $2^2=4$ и $2^3=8$, но $4 \neq 8$.
Ответ: нет, равенство верно не при любых значениях $a$.

г) $a^2 + a^3 = 0$
Для анализа этого равенства вынесем за скобки общий множитель $a^2$: $a^2(1 + a) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:
1) $a^2 = 0$, откуда $a=0$.
2) $1+a = 0$, откуда $a=-1$.
Равенство выполняется только для двух значений ($a=0$ и $a=-1$), а не для всех. Например, при $a=1$ имеем $1^2+1^3 = 2$, но $2 \neq 0$.
Ответ: нет, равенство верно не при любых значениях $a$.