Страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

323. Вычислите значение выражения:

а) $-x^2$;

б) $(-x)^2$;

в) $-x^3$;

г) $(-x)^3

при $x = -1\frac{1}{3}$.

Для выполнения вычислений сначала преобразуем данное смешанное число в неправильную дробь:

$x = -1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$

а) Подставим значение $x = -\frac{4}{3}$ в выражение $-x^2$. Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется унарный минус (умножение на -1).
$-x^2 = -(-\frac{4}{3})^2 = -(\frac{16}{9}) = -\frac{16}{9}$.
При необходимости можно преобразовать неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9}$.
Ответ: $-\frac{16}{9}$

б) Подставим значение $x = -\frac{4}{3}$ в выражение $(-x)^2$. Сначала выполним действие в скобках, а затем возведем в степень.
$-x = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$.
$(-x)^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.
Преобразуем в смешанное число: $\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{16}{9}$

в) Подставим значение $x = -\frac{4}{3}$ в выражение $-x^3$. Сначала возведем число в степень, а потом применим знак минус.
$x^3 = (-\frac{4}{3})^3 = (-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{64}{27}$.
$-x^3 = -(-\frac{64}{27}) = \frac{64}{27}$.
Преобразуем в смешанное число: $\frac{64}{27} = 2\frac{10}{27}$.
Ответ: $\frac{64}{27}$

г) Подставим значение $x = -\frac{4}{3}$ в выражение $(-x)^3$. Сначала выполним действие в скобках, затем возведем в степень.
$-x = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$.
$(-x)^3 = (\frac{4}{3})^3 = \frac{64}{27}$.
Преобразуем в смешанное число: $\frac{64}{27} = 2\frac{10}{27}$.
Ответ: $\frac{64}{27}$

324. При любых ли значениях a верно равенство:

a) $-a^2 = (-a)^2$;

б) $-a^3 = (-a)^3$;

в) $a^2 = a^3$;

г) $a^2 + a^3 = 0$?

а) $-a^2 = (-a)^2$
Рассмотрим обе части равенства.
Левая часть: $-a^2$. Согласно порядку вычислений, сначала выполняется возведение в степень, а затем унарный минус (умножение на -1). То есть, $-a^2 = -(a^2)$.
Правая часть: $(-a)^2$. Это произведение $(-a)$ на себя: $(-a) \cdot (-a) = a^2$.
Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $-a^2 = a^2$.
Это уравнение можно переписать как $2a^2 = 0$, что верно только при $a=0$.
Поскольку равенство выполняется не для всех, а только для одного значения $a$, оно не является верным при любых значениях. Например, при $a=1$, получаем $-1^2 = -1$ и $(-1)^2 = 1$, а $-1 \neq 1$.
Ответ: нет, равенство верно не при любых значениях $a$.

б) $-a^3 = (-a)^3$
Рассмотрим обе части равенства.
Левая часть: $-a^3 = -(a^3)$.
Правая часть: $(-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) = -a^3$. Это следует из свойства нечетной степени, которая сохраняет знак основания.
Таким образом, мы получаем тождество $-a^3 = -a^3$.
Это равенство справедливо для любого действительного числа $a$.
Ответ: да, равенство верно при любых значениях $a$.

в) $a^2 = a^3$
Для анализа этого равенства перенесем все его члены в одну сторону: $a^3 - a^2 = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $a^2$: $a^2(a - 1) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:
1) $a^2 = 0$, откуда $a=0$.
2) $a-1 = 0$, откуда $a=1$.
Равенство выполняется только для двух значений ($a=0$ и $a=1$), а не для всех. Например, при $a=2$ имеем $2^2=4$ и $2^3=8$, но $4 \neq 8$.
Ответ: нет, равенство верно не при любых значениях $a$.

г) $a^2 + a^3 = 0$
Для анализа этого равенства вынесем за скобки общий множитель $a^2$: $a^2(1 + a) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:
1) $a^2 = 0$, откуда $a=0$.
2) $1+a = 0$, откуда $a=-1$.
Равенство выполняется только для двух значений ($a=0$ и $a=-1$), а не для всех. Например, при $a=1$ имеем $1^2+1^3 = 2$, но $2 \neq 0$.
Ответ: нет, равенство верно не при любых значениях $a$.

325. Вычислите площадь $S$ квадрата со стороной:

а) 3 см; б) 5 см; в) 10 см;

г) 0,5 см; д) 2,1 м; е) 1,5 м.

Площадь $S$ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = a^2$.

а)

Если сторона квадрата $a = 3$ см, то его площадь равна:

$S = (3 \text{ см})^2 = 3 \times 3 \text{ см}^2 = 9 \text{ см}^2$.

Ответ: $9 \text{ см}^2$.

б)

Если сторона квадрата $a = 5$ см, то его площадь равна:

$S = (5 \text{ см})^2 = 5 \times 5 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2$.

Ответ: $25 \text{ см}^2$.

в)

Если сторона квадрата $a = 10$ см, то его площадь равна:

$S = (10 \text{ см})^2 = 10 \times 10 \text{ см}^2 = 100 \text{ см}^2$.

Ответ: $100 \text{ см}^2$.

г)

Если сторона квадрата $a = 0,5$ см, то его площадь равна:

$S = (0,5 \text{ см})^2 = 0,5 \times 0,5 \text{ см}^2 = 0,25 \text{ см}^2$.

Ответ: $0,25 \text{ см}^2$.

д)

Если сторона квадрата $a = 2,1$ м, то его площадь равна:

$S = (2,1 \text{ м})^2 = 2,1 \times 2,1 \text{ м}^2 = 4,41 \text{ м}^2$.

Ответ: $4,41 \text{ м}^2$.

е)

Если сторона квадрата $a = 1,5$ м, то его площадь равна:

$S = (1,5 \text{ м})^2 = 1,5 \times 1,5 \text{ м}^2 = 2,25 \text{ м}^2$.

Ответ: $2,25 \text{ м}^2$.

326. Вычислите объём $V$ куба, ребро которого равно:

а) 1 см;

б) 3 см;

в) 10 см;

г) 20 см;

д) 0,5 м;

е) 1,2 м.

Объём $V$ куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.

а) Дано ребро куба $a = 1$ см.
Вычисляем объём: $V = (1 \text{ см})^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \text{ см}^3$.
Ответ: $1 \text{ см}^3$.

б) Дано ребро куба $a = 3$ см.
Вычисляем объём: $V = (3 \text{ см})^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \text{ см}^3$.
Ответ: $27 \text{ см}^3$.

в) Дано ребро куба $a = 10$ см.
Вычисляем объём: $V = (10 \text{ см})^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 \text{ см}^3$.
Ответ: $1000 \text{ см}^3$.

г) Дано ребро куба $a = 20$ см.
Вычисляем объём: $V = (20 \text{ см})^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000 \text{ см}^3$.
Ответ: $8000 \text{ см}^3$.

д) Дано ребро куба $a = 0,5$ м.
Вычисляем объём: $V = (0,5 \text{ м})^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125 \text{ м}^3$.
Ответ: $0,125 \text{ м}^3$.

е) Дано ребро куба $a = 1,2$ м.
Вычисляем объём: $V = (1,2 \text{ м})^3 = 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 = 1,44 \cdot 1,2 = 1,728 \text{ м}^3$.
Ответ: $1,728 \text{ м}^3$.

Вычислите значение выражения (327–329):

327. а) $(3a^2b - 5x)(7a - 4bx^2)$ при $a = 1, b = 1, x = 1;$

б) $(2xy^2 - 3a)(4x - 5ya^3)$ при $x = 1, y = -1, a = 2;$

в) $(x^3yz^2 - 4xy^3)(3x^2y^3 - 5xy^2z^3)$ при $x = 2, y = -1, z = -1;$

г) $(a^2b^2c - 3b^5c^3)(5a^3bc^4 + 7ab^4c)$ при $a = -1, b = -1, c = -1.$

а)

Чтобы вычислить значение выражения $(3a^2b - 5x)(7a - 4bx^2)$, подставим в него заданные значения переменных $a = 1$, $b = 1$, $x = 1$.

Вычисляем значение выражения в первой скобке: $3a^2b - 5x = 3 \cdot 1^2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = 3 \cdot 1 \cdot 1 - 5 = 3 - 5 = -2$.

Вычисляем значение выражения во второй скобке: $7a - 4bx^2 = 7 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1^2 = 7 - 4 \cdot 1 = 7 - 4 = 3$.

Перемножаем полученные значения: $(-2) \cdot 3 = -6$.

Ответ: -6

б)

Чтобы вычислить значение выражения $(2xy^2 - 3a)(4x - 5ya^3)$, подставим в него заданные значения переменных $x = 1$, $y = -1$, $a = 2$.

Вычисляем значение выражения в первой скобке: $2xy^2 - 3a = 2 \cdot 1 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot 2 = 2 \cdot 1 \cdot 1 - 6 = 2 - 6 = -4$.

Вычисляем значение выражения во второй скобке: $4x - 5ya^3 = 4 \cdot 1 - 5 \cdot (-1) \cdot 2^3 = 4 - 5 \cdot (-1) \cdot 8 = 4 - (-40) = 4 + 40 = 44$.

Перемножаем полученные значения: $(-4) \cdot 44 = -176$.

Ответ: -176

в)

Чтобы вычислить значение выражения $(x^3yz^2 - 4xy^3)(3x^2y^3 - 5xy^2z^3)$, подставим в него заданные значения переменных $x = 2$, $y = -1$, $z = -1$.

Вычисляем значение выражения в первой скобке: $x^3yz^2 - 4xy^3 = 2^3 \cdot (-1) \cdot (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)^3 = 8 \cdot (-1) \cdot 1 - 8 \cdot (-1) = -8 - (-8) = -8 + 8 = 0$.

Так как значение первого множителя равно нулю, то все произведение равно нулю, независимо от значения второго множителя.

$0 \cdot (3x^2y^3 - 5xy^2z^3) = 0$.

Ответ: 0

г)

Чтобы вычислить значение выражения $(a^2b^2c - 3b^5c^3)(5a^3bc^4 + 7ab^4c)$, подставим в него заданные значения переменных $a = -1$, $b = -1$, $c = -1$.

Вычисляем значение выражения в первой скобке: $a^2b^2c - 3b^5c^3 = (-1)^2 \cdot (-1)^2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1)^5 \cdot (-1)^3 = (1 \cdot 1 \cdot (-1)) - (3 \cdot (-1) \cdot (-1)) = -1 - (3 \cdot 1) = -1 - 3 = -4$.

Вычисляем значение выражения во второй скобке: $5a^3bc^4 + 7ab^4c = 5 \cdot (-1)^3 \cdot (-1) \cdot (-1)^4 + 7 \cdot (-1) \cdot (-1)^4 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 1 + 7 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot (-1) = 5 \cdot 1 + 7 \cdot 1 = 5 + 7 = 12$.

Перемножаем полученные значения: $(-4) \cdot 12 = -48$.

Ответ: -48

328. а) $(a + b + c)(a^2 + b^2)$ при $a = -3, b = -2, c = 4;

б) $(a + b - c)(a^2 - b^2)$ при $a = 3, b = 2, c = -4;

в) $(0,1 - x)(0,1 + y)(0,1 + z)$ при $x = 2, y = -1, z = 2;

г) $(x + 0,1y)(0,1x + y)(0,1x + y)$ при $x = -2, y = 1;

д) $(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{2} - x)$ при $x = 4;

е) $(\frac{1}{3} p + \frac{1}{2} q)(\frac{1}{3} p + \frac{1}{2} q)(\frac{1}{3} p + \frac{1}{2} q)$ при $p = 9, q = -1;

ж) $(1 + x)(x + 2)(3 + x)(x + 4)$ при $x = -\frac{1}{3};

з) $(a - 1)(a + 1)(b - 1)(b + 1)$ при $a = -3, b = -5;

и) $(m - n)(m + n)(n - m)(n + m)$ при $m = -0,5, n = 0,3;

к) $(1 - x)(x - 2)(3 - x)(x - 4)$ при $x = 2.

а) Подставим значения $a = -3, b = -2, c = 4$ в выражение $(a + b + c)(a^2 + b^2)$:
$(-3 + (-2) + 4) \times ((-3)^2 + (-2)^2) = (-5 + 4) \times (9 + 4) = -1 \times 13 = -13$.
Ответ: -13

б) Подставим значения $a = 3, b = 2, c = -4$ в выражение $(a + b - c)(a^2 - b^2)$:
$(3 + 2 - (-4)) \times (3^2 - 2^2) = (5 + 4) \times (9 - 4) = 9 \times 5 = 45$.
Ответ: 45

в) Подставим значения $x = 2, y = -1, z = 2$ в выражение $(0,1 - x)(0,1 + y)(0,1 + z)$:
$(0,1 - 2) \times (0,1 + (-1)) \times (0,1 + 2) = (-1,9) \times (-0,9) \times 2,1 = 1,71 \times 2,1 = 3,591$.
Ответ: 3,591

г) Подставим значения $x = -2, y = 1$ в выражение $(x + 0,1y)(0,1x + y)(0,1x + y)$:
Выражение можно записать как $(x + 0,1y)(0,1x + y)^2$.
$(-2 + 0,1 \times 1) \times (0,1 \times (-2) + 1)^2 = (-2 + 0,1) \times (-0,2 + 1)^2 = -1,9 \times (0,8)^2 = -1,9 \times 0,64 = -1,216$.
Ответ: -1,216

д) Подставим значение $x = 4$ в выражение $(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{2} - x)$:
Выражение можно записать как $(\frac{1}{2} - x)^3$.
$(\frac{1}{2} - 4)^3 = (0,5 - 4)^3 = (-3,5)^3 = -42,875$.
Ответ: -42,875

е) Подставим значения $p = 9, q = -1$ в выражение $(\frac{1}{3}p + \frac{1}{2}q)(\frac{1}{3}p + \frac{1}{2}q)(\frac{1}{3}p + \frac{1}{2}q)$:
Выражение можно записать как $(\frac{1}{3}p + \frac{1}{2}q)^3$.
$(\frac{1}{3} \times 9 + \frac{1}{2} \times (-1))^3 = (3 - \frac{1}{2})^3 = (3 - 0,5)^3 = (2,5)^3 = 15,625$.
Ответ: 15,625

ж) Подставим значение $x = -\frac{1}{3}$ в выражение $(1 + x)(x + 2)(3 + x)(x + 4)$:
$(1 + (-\frac{1}{3})) \times (-\frac{1}{3} + 2) \times (3 + (-\frac{1}{3})) \times (-\frac{1}{3} + 4) = (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) \times (-\frac{1}{3} + \frac{6}{3}) \times (\frac{9}{3} - \frac{1}{3}) \times (-\frac{1}{3} + \frac{12}{3}) = \frac{2}{3} \times \frac{5}{3} \times \frac{8}{3} \times \frac{11}{3} = \frac{2 \times 5 \times 8 \times 11}{3^4} = \frac{880}{81}$.
Ответ: $\frac{880}{81}$

з) Подставим значения $a = -3, b = -5$ в выражение $(a - 1)(a + 1)(b - 1)(b + 1)$.
Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:
$(a^2 - 1)(b^2 - 1) = ((-3)^2 - 1) \times ((-5)^2 - 1) = (9 - 1) \times (25 - 1) = 8 \times 24 = 192$.
Ответ: 192

и) Подставим значения $m = -0,5, n = 0,3$ в выражение $(m - n)(m + n)(n - m)(n + m)$.
Упростим выражение. Заметим, что $(n - m) = -(m - n)$, а $(n + m) = (m + n)$.
Выражение равно $(m - n)(m + n) \times (-(m - n))(m + n) = -(m - n)^2(m + n)^2$.
Используя формулу разности квадратов, $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$, получаем $-(m^2-n^2)^2$.
Подставляем значения: $-((-0,5)^2 - (0,3)^2)^2 = -(0,25 - 0,09)^2 = -(0,16)^2 = -0,0256$.
Ответ: -0,0256

к) Подставим значение $x = 2$ в выражение $(1 - x)(x - 2)(3 - x)(x - 4)$:
$(1 - 2) \times (2 - 2) \times (3 - 2) \times (2 - 4) = (-1) \times 0 \times 1 \times (-2)$.
Так как один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю.
Ответ: 0

329. а) $a^2 + 5a - 13$ при $a = -3$;

б) $0,2a^2 + 3b - \frac{1}{5}a + \frac{7}{4}$ при $a = 1, b = -2;

в) $x - y + (z - x) + z(t + y)$ при $x = 0, y = -1, z = -3, t = 2$;

г) $2x + 3y - z + 3$ при $x = 1, y = -1, z = -1$;

д) $\frac{1}{3}a - \frac{1}{15}b + c(a + b)$ при $a = 3, b = -5, c = 0,3$;

е) $(a - b)(c - d)$ при $a = 1, b = 2, c = -3, d = 4$.

а) Чтобы найти значение выражения $a^2 + 5a - 13$ при $a = -3$, подставим это значение в выражение:
$(-3)^2 + 5 \cdot (-3) - 13 = 9 - 15 - 13$
$9 - 15 = -6$
$-6 - 13 = -19$
Ответ: -19

б) Подставим значения $a = 1$ и $b = -2$ в выражение $0,2a^2 + 3b - \frac{1}{5}a + \frac{7}{4}$.
$0,2 \cdot (1)^2 + 3 \cdot (-2) - \frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{7}{4} = 0,2 \cdot 1 - 6 - \frac{1}{5} + \frac{7}{4}$
Так как $0,2 = \frac{1}{5}$, выражение принимает вид:
$\frac{1}{5} - 6 - \frac{1}{5} + \frac{7}{4}$
Члены $\frac{1}{5}$ и $-\frac{1}{5}$ взаимно уничтожаются, и остается:
$-6 + \frac{7}{4}$
Приведем к общему знаменателю:
$-\frac{24}{4} + \frac{7}{4} = \frac{-24 + 7}{4} = -\frac{17}{4} = -4,25$
Ответ: -4,25

в) Подставим значения $x = 0, y = -1, z = -3, t = 2$ в выражение $x - y + (z - x) + z(t + y)$.
Сначала можно упростить выражение, раскрыв скобки:
$x - y + z - x + zt + zy$
Сократим подобные члены ($x$ и $-x$):
$-y + z + zt + zy$
Теперь подставим числовые значения:
$-(-1) + (-3) + (-3) \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 1 - 3 - 6 + 3$
$1 - 3 - 6 + 3 = -2 - 6 + 3 = -8 + 3 = -5$
Ответ: -5

г) Подставим значения $x = 1, y = -1, z = -1$ в выражение $2x + 3y - z + 3$:
$2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) - (-1) + 3 = 2 - 3 + 1 + 3$
$2 - 3 + 1 + 3 = -1 + 1 + 3 = 0 + 3 = 3$
Ответ: 3

д) Подставим значения $a = 3, b = -5, c = 0,3$ в выражение $\frac{1}{3}a - \frac{1}{15}b + c(a+b)$:
$\frac{1}{3} \cdot 3 - \frac{1}{15} \cdot (-5) + 0,3 \cdot (3 + (-5)) = 1 - (-\frac{5}{15}) + 0,3 \cdot (-2)$
$1 + \frac{1}{3} - 0,6$
Переведем $0,6$ в обыкновенную дробь: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$1 + \frac{1}{3} - \frac{3}{5}$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$\frac{15}{15} + \frac{5}{15} - \frac{9}{15} = \frac{15 + 5 - 9}{15} = \frac{20 - 9}{15} = \frac{11}{15}$
Ответ: $\frac{11}{15}$

е) Подставим значения $a = 1, b = 2, c = -3, d = 4$ в выражение $(a - b)(c - d)$:
$(1 - 2) \cdot (-3 - 4) = (-1) \cdot (-7)$
$(-1) \cdot (-7) = 7$
Ответ: 7

330. Верно ли, что значение выражения $-a$ отрицательно при любом значении $a$?

Утверждение о том, что значение выражения $-a$ всегда отрицательно, является неверным. Чтобы это доказать, достаточно найти хотя бы один случай (контрпример), когда это не так. Рассмотрим, каким будет значение выражения $-a$ в зависимости от знака числа $a$.

Если $a$ — положительное число ($a > 0$):
В этом случае выражение $-a$ действительно будет отрицательным. Например, если $a = 10$, то значение выражения $-a$ равно $-10$, что является отрицательным числом.

Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$):
В этом случае выражение $-a$ будет положительным. Выражение $-a$ означает число, противоположное $a$. Число, противоположное отрицательному, является положительным. Например, если $a = -5$, то значение выражения $-a$ равно $-(-5) = 5$, что является положительным числом. Это является контрпримером, который опровергает исходное утверждение.

Если $a$ равно нулю ($a = 0$):
В этом случае выражение $-a$ будет равно нулю: $-a = -0 = 0$. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Это также является контрпримером, так как значение выражения не является отрицательным.

Таким образом, утверждение "значение выражения $-a$ отрицательно при любом значении $a$" неверно, потому что оно не выполняется, если $a$ является отрицательным числом или нулем.

Ответ: Нет, неверно. Утверждение справедливо только для положительных значений $a$. Если $a$ — отрицательное число (например, $a=-2$), то $-a=2$ (положительное число). Если $a=0$, то $-a=0$ (не является отрицательным числом).