Страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

338. Запишите и прочитайте формулу квадрата суммы.

Формула квадрата суммы является одной из формул сокращённого умножения. Она позволяет представить квадрат суммы двух любых выражений в виде многочлена, то есть раскрыть скобки.

Запись формулы

Для любых двух выражений, которые мы обозначим как $a$ и $b$, формула квадрата суммы записывается следующим образом:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Чтение формулы

Словесно это тождество читается так: «Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения».

Ответ: Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Читается: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

$339.$ Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида двумя способами:

а) $(m+n)^2;$

б) $(2+x)^2;$

в) $(y+4)^2;$

г) $(1+p)^2;$

д) $(2x+1)^2;$

е) $(2+3a)^2;$

ж) $(2m+5n)^2;$

з) $(3x+4y)^2.$

Например:

$(2a + 3b)^2 = (2a + 3b)(2a + 3b) = 4a^2 + 6ab + 6ab + 9b^2 =$

$= 4a^2 + 12ab + 9b^2$

$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a3b + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2.$

а)

Способ 1: Преобразуем выражение, представив квадрат двучлена как произведение двух одинаковых двучленов и выполнив умножение:
$(m + n)^2 = (m + n)(m + n) = m \cdot m + m \cdot n + n \cdot m + n \cdot n = m^2 + mn + mn + n^2 = m^2 + 2mn + n^2$.

Способ 2: Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = m$ и $b = n$:
$(m + n)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot n + n^2 = m^2 + 2mn + n^2$.

Ответ: $m^2 + 2mn + n^2$.

б)

Способ 1: Раскроем скобки путем умножения:
$(2 + x)^2 = (2 + x)(2 + x) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot x + x \cdot 2 + x \cdot x = 4 + 2x + 2x + x^2 = x^2 + 4x + 4$.

Способ 2: Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 2$ и $b = x$:
$(2 + x)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 + 4x + x^2 = x^2 + 4x + 4$.

Ответ: $x^2 + 4x + 4$.

в)

Способ 1: Раскроем скобки путем умножения:
$(y + 4)^2 = (y + 4)(y + 4) = y \cdot y + y \cdot 4 + 4 \cdot y + 4 \cdot 4 = y^2 + 4y + 4y + 16 = y^2 + 8y + 16$.

Способ 2: Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = y$ и $b = 4$:
$(y + 4)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 + 8y + 16$.

Ответ: $y^2 + 8y + 16$.

г)

Способ 1: Раскроем скобки путем умножения:
$(1 + p)^2 = (1 + p)(1 + p) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot p + p \cdot 1 + p \cdot p = 1 + p + p + p^2 = p^2 + 2p + 1$.

Способ 2: Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 1$ и $b = p$:
$(1 + p)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot p + p^2 = 1 + 2p + p^2 = p^2 + 2p + 1$.

Ответ: $p^2 + 2p + 1$.

д)

Способ 1: Раскроем скобки путем умножения:
$(2x + 1)^2 = (2x + 1)(2x + 1) = (2x)(2x) + 2x \cdot 1 + 1 \cdot 2x + 1 \cdot 1 = 4x^2 + 2x + 2x + 1 = 4x^2 + 4x + 1$.

Способ 2: Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 2x$ и $b = 1$:
$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.

Ответ: $4x^2 + 4x + 1$.

е)

Способ 1: Раскроем скобки путем умножения:
$(2 + 3a)^2 = (2 + 3a)(2 + 3a) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3a + 3a \cdot 2 + 3a \cdot 3a = 4 + 6a + 6a + 9a^2 = 9a^2 + 12a + 4$.

Способ 2: Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 2$ и $b = 3a$:
$(2 + 3a)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot (3a) + (3a)^2 = 4 + 12a + 9a^2 = 9a^2 + 12a + 4$.

Ответ: $9a^2 + 12a + 4$.

ж)

Способ 1: Раскроем скобки путем умножения:
$(2m + 5n)^2 = (2m + 5n)(2m + 5n) = (2m)(2m) + (2m)(5n) + (5n)(2m) + (5n)(5n) = 4m^2 + 10mn + 10mn + 25n^2 = 4m^2 + 20mn + 25n^2$.

Способ 2: Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 2m$ и $b = 5n$:
$(2m + 5n)^2 = (2m)^2 + 2 \cdot (2m) \cdot (5n) + (5n)^2 = 4m^2 + 20mn + 25n^2$.

Ответ: $4m^2 + 20mn + 25n^2$.

з)

Способ 1: Раскроем скобки путем умножения:
$(3x + 4y)^2 = (3x + 4y)(3x + 4y) = (3x)(3x) + (3x)(4y) + (4y)(3x) + (4y)(4y) = 9x^2 + 12xy + 12xy + 16y^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2$.

Способ 2: Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 3x$ и $b = 4y$:
$(3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2$.

Ответ: $9x^2 + 24xy + 16y^2$.