Страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

348. Запишите в виде многочлена выражение:

а) $(a + 2b)(a + 2b)$;

б) $(2x + 3y)^2$;

в) $(3x + y)^2 + (x + 3y)^2$;

г) $(x + 2)^2$.

а) Чтобы записать выражение $(a + 2b)(a + 2b)$ в виде многочлена, можно представить его как квадрат суммы $(a + 2b)^2$. Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении $x = a$ и $y = 2b$. Подставим эти значения в формулу:

$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.

Ответ: $a^2 + 4ab + 4b^2$.

б) Для выражения $(2x + 3y)^2$ применим ту же формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = 2x$ и $b = 3y$.

$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$.

Ответ: $4x^2 + 12xy + 9y^2$.

в) Выражение $(3x + y)^2 + (x + 3y)^2$ представляет собой сумму двух квадратов. Необходимо раскрыть каждый из них по формуле квадрата суммы, а затем сложить полученные многочлены и привести подобные слагаемые.

Раскроем первое слагаемое: $(3x + y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2$.

Раскроем второе слагаемое: $(x + 3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$.

Теперь сложим полученные многочлены:

$(9x^2 + 6xy + y^2) + (x^2 + 6xy + 9y^2) = (9x^2 + x^2) + (6xy + 6xy) + (y^2 + 9y^2) = 10x^2 + 12xy + 10y^2$.

Ответ: $10x^2 + 12xy + 10y^2$.

г) Для выражения $(x + 2)^2$ снова используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = x$ и $b = 2$.

$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.

Ответ: $x^2 + 4x + 4$.

349. Выясните, является ли многочлен квадратом какого-либо двучлена:

а) $a^2 + 4ac + 4c^2;$

б) $1 + x^2 + 2x;$

в) $a^2c^2 + 2acd + d^2;$

г) $9 + 6x + x^2.$

Чтобы выяснить, является ли многочлен квадратом какого-либо двучлена, необходимо проверить, соответствует ли он формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Во всех представленных случаях многочлены состоят из трех слагаемых со знаком "+", что позволяет проверить их на соответствие этой формуле.

а) $a^2 + 4ac + 4c^2$

Проверим, можно ли представить данный многочлен в виде $(x+y)^2$.

Первый член $a^2$ может быть квадратом $a$, то есть $x = a$.

Третий член $4c^2$ может быть квадратом $2c$, то есть $y = 2c$.

Теперь проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $x$ и $y$: $2xy = 2 \cdot a \cdot (2c) = 4ac$.

Это значение совпадает со средним членом исходного многочлена. Следовательно, данный многочлен является полным квадратом.

$a^2 + 4ac + 4c^2 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot (2c) + (2c)^2 = (a + 2c)^2$.

Ответ: да, является квадратом двучлена $(a+2c)$.

б) $1 + x^2 + 2x$

Для удобства расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $x$: $x^2 + 2x + 1$.

Проверим, соответствует ли этот многочлен формуле $(x+y)^2$.

Первый член $x^2$ является квадратом $x$, то есть $x = x$.

Третий член $1$ является квадратом $1$, то есть $y = 1$.

Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$.

Это значение совпадает со средним членом многочлена. Значит, многочлен является квадратом двучлена.

$x^2 + 2x + 1 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + (1)^2 = (x+1)^2$.

Ответ: да, является квадратом двучлена $(x+1)$.

в) $a^2c^2 + 2acd + d^2$

Проверим, можно ли представить данный многочлен в виде $(x+y)^2$.

Первый член $a^2c^2$ может быть квадратом $ac$, то есть $x = ac$.

Третий член $d^2$ является квадратом $d$, то есть $y = d$.

Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (ac) \cdot d = 2acd$.

Это значение совпадает со средним членом исходного многочлена. Следовательно, многочлен является полным квадратом.

$a^2c^2 + 2acd + d^2 = (ac)^2 + 2 \cdot (ac) \cdot d + (d)^2 = (ac+d)^2$.

Ответ: да, является квадратом двучлена $(ac+d)$.

г) $9 + 6x + x^2$

Расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $x$: $x^2 + 6x + 9$.

Проверим, соответствует ли этот многочлен формуле $(x+y)^2$.

Первый член $x^2$ является квадратом $x$, то есть $x=x$.

Третий член $9$ является квадратом $3$, то есть $y=3$.

Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x$.

Это значение совпадает со средним членом многочлена. Значит, многочлен является квадратом двучлена.

$x^2 + 6x + 9 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + (3)^2 = (x+3)^2$.

Ответ: да, является квадратом двучлена $(x+3)$.

350. Используя приближённое равенство $ (1 + x)^2 \approx 1 + 2x $, вычислите:
а) $1,002^2$; б) $1,0001^2$; в) $1,00003^2$; г) $1,000004^2$.

Замечание. Приближённое значение числа отличается от точного значения на величину $x^2$, которая будет мала при значениях $x$, близких к нулю.

Например:

$1,001^2 = (1 + 0,001)^2 \approx 1 + 0,002 = 1,002$.

а) $1,002^2 = (1 + 0,002)^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,002 = 1 + 0,004 = 1,004$.

Ответ: $1,004$.

б) $1,0001^2 = (1 + 0,0001)^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,0001 = 1 + 0,0002 = 1,0002$.

Ответ: $1,0002$.

в) $1,00003^2 = (1 + 0,00003)^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,00003 = 1 + 0,00006 = 1,00006$.

Ответ: $1,00006$.

г) $1,000004^2 = (1 + 0,000004)^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,000004 = 1 + 0,000008 = 1,000008$.

Ответ: $1,000008$.