Страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

376. Представьте выражение в виде многочлена двумя способами:

а) $(p + q)(p - q)$;

б) $(a - b)(a + b)$;

в) $(c + d)(d - c)$;

г) $(y - x)(x + y)$;

д) $(a - 3)(3 + a)$;

е) $(2 - b)(b + 2)$;

ж) $(m + 1)(m - 1)$;

з) $(7 - n)(7 + n)$.

а)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.
$(p + q)(p - q) = p \cdot p + p \cdot (-q) + q \cdot p + q \cdot (-q) = p^2 - pq + qp - q^2$.
Так как $pq = qp$, приводим подобные слагаемые: $p^2 - pq + pq - q^2 = p^2 - q^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
Выражение является произведением суммы и разности двух выражений $p$ и $q$. Применим формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
$(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$.

Ответ: $p^2 - q^2$

б)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + (-b) \cdot a + (-b) \cdot b = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Ответ: $a^2 - b^2$

в)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(c + d)(d - c) = c \cdot d + c \cdot (-c) + d \cdot d + d \cdot (-c) = cd - c^2 + d^2 - dc$.
Приводим подобные слагаемые: $cd - c^2 + d^2 - cd = d^2 - c^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
От перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому $(c+d) = (d+c)$. Выражение принимает вид $(d+c)(d-c)$.
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=d$ и $b=c$.
$(d + c)(d - c) = d^2 - c^2$.

Ответ: $d^2 - c^2$

г)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(y - x)(x + y) = y \cdot x + y \cdot y + (-x) \cdot x + (-x) \cdot y = yx + y^2 - x^2 - xy = y^2 - x^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
В множителе $(x+y)$ поменяем слагаемые местами: $(x+y) = (y+x)$. Получим выражение $(y-x)(y+x)$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=y$ и $b=x$.
$(y - x)(y + x) = y^2 - x^2$.

Ответ: $y^2 - x^2$

д)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(a - 3)(3 + a) = a \cdot 3 + a \cdot a - 3 \cdot 3 - 3 \cdot a = 3a + a^2 - 9 - 3a = a^2 - 9$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
В множителе $(3+a)$ поменяем слагаемые местами: $(3+a) = (a+3)$. Получим выражение $(a-3)(a+3)$.
Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=a$ и $y=3$.
$(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.

Ответ: $a^2 - 9$

е)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(2 - b)(b + 2) = 2 \cdot b + 2 \cdot 2 - b \cdot b - b \cdot 2 = 2b + 4 - b^2 - 2b = 4 - b^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
В множителе $(b+2)$ поменяем слагаемые местами: $(b+2) = (2+b)$. Получим выражение $(2-b)(2+b)$.
Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=2$ и $y=b$.
$(2 - b)(2 + b) = 2^2 - b^2 = 4 - b^2$.

Ответ: $4 - b^2$

ж)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(m + 1)(m - 1) = m \cdot m + m \cdot (-1) + 1 \cdot m + 1 \cdot (-1) = m^2 - m + m - 1 = m^2 - 1$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=m$ и $b=1$.
$(m + 1)(m - 1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1$.

Ответ: $m^2 - 1$

з)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(7 - n)(7 + n) = 7 \cdot 7 + 7 \cdot n - n \cdot 7 - n \cdot n = 49 + 7n - 7n - n^2 = 49 - n^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=7$ и $b=n$.
$(7 - n)(7 + n) = 7^2 - n^2 = 49 - n^2$.

Ответ: $49 - n^2$

377. Упростите выражение, используя формулу разности квадратов. Сначала представьте выражение в виде разности квадратов, затем упростите запись степени.

Например: $(3a - 2b)(3a + 2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2$

a) $(x + 2y)(x - 2y)$

б) $(2a + b)(2a - b)$

в) $(3m - n)(3m + n)$

г) $(p - 7q)(7q + p)$

д) $(2a - 3b)(2a + 3b)$

е) $(5x + 4y)(4y - 5x)$

ж) $(4p - 1)(1 + 4p)$

з) $(5m + 8n)(8n - 5m)$

и) $(4y - 7x)(7x + 4y)$

к) $(11a - 13b)(11a + 13b)$

Во всех заданиях используется формула разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

а) Применяем формулу к выражению $(x + 2y)(x - 2y)$. Здесь $a=x$, $b=2y$.
$(x + 2y)(x - 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$.
Ответ: $x^2 - 4y^2$.

б) Применяем формулу к выражению $(2a + b)(2a - b)$. Здесь $a=2a$, $b=b$.
$(2a + b)(2a - b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Ответ: $4a^2 - b^2$.

в) Применяем формулу к выражению $(3m - n)(3m + n)$. Здесь $a=3m$, $b=n$.
$(3m - n)(3m + n) = (3m)^2 - n^2 = 9m^2 - n^2$.
Ответ: $9m^2 - n^2$.

г) В выражении $(p - 7q)(7q + p)$ поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(p - 7q)(p + 7q)$.
Теперь применим формулу, где $a=p$, $b=7q$.
$(p - 7q)(p + 7q) = p^2 - (7q)^2 = p^2 - 49q^2$.
Ответ: $p^2 - 49q^2$.

д) Применяем формулу к выражению $(2a - 3b)(2a + 3b)$. Здесь $a=2a$, $b=3b$.
$(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$.
Ответ: $4a^2 - 9b^2$.

е) В выражении $(5x + 4y)(4y - 5x)$ представим его в виде $(4y + 5x)(4y - 5x)$.
Теперь применим формулу, где $a=4y$, $b=5x$.
$(4y + 5x)(4y - 5x) = (4y)^2 - (5x)^2 = 16y^2 - 25x^2$.
Ответ: $16y^2 - 25x^2$.

ж) В выражении $(4p - 1)(1 + 4p)$ поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(4p - 1)(4p + 1)$.
Применим формулу, где $a=4p$, $b=1$.
$(4p - 1)(4p + 1) = (4p)^2 - 1^2 = 16p^2 - 1$.
Ответ: $16p^2 - 1$.

з) В выражении $(5m + 8n)(8n - 5m)$ представим его в виде $(8n + 5m)(8n - 5m)$.
Применим формулу, где $a=8n$, $b=5m$.
$(8n + 5m)(8n - 5m) = (8n)^2 - (5m)^2 = 64n^2 - 25m^2$.
Ответ: $64n^2 - 25m^2$.

и) В выражении $(4y - 7x)(7x + 4y)$ поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(4y - 7x)(4y + 7x)$.
Применим формулу, где $a=4y$, $b=7x$.
$(4y - 7x)(4y + 7x) = (4y)^2 - (7x)^2 = 16y^2 - 49x^2$.
Ответ: $16y^2 - 49x^2$.

к) Применяем формулу к выражению $(11a - 13b)(11a + 13b)$. Здесь $a=11a$, $b=13b$.
$(11a - 13b)(11a + 13b) = (11a)^2 - (13b)^2 = 121a^2 - 169b^2$.
Ответ: $121a^2 - 169b^2$.

378. Вычислите, используя формулу разности квадратов:

a) $71 \cdot 69$;

б) $82 \cdot 78$;

в) $299 \cdot 301$;

г) $498 \cdot 502$;

д) $3,01 \cdot 2,99$;

е) $10,2 \cdot 9,8$.

Для решения данной задачи используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Мы будем применять ее в обратном порядке: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Для каждого произведения необходимо представить множители в виде суммы и разности двух чисел.

а)

Чтобы вычислить произведение $71 \cdot 69$, представим каждый множитель относительно их среднего арифметического. Среднее арифметическое для 71 и 69 равно $(71 + 69) / 2 = 70$.

Тогда $71 = 70 + 1$, а $69 = 70 - 1$.

Теперь применим формулу разности квадратов:

$71 \cdot 69 = (70 + 1)(70 - 1) = 70^2 - 1^2 = 4900 - 1 = 4899$.

Ответ: 4899

б)

Для вычисления произведения $82 \cdot 78$ найдем среднее арифметическое множителей: $(82 + 78) / 2 = 80$.

Представим множители как $82 = 80 + 2$ и $78 = 80 - 2$.

Применим формулу:

$82 \cdot 78 = (80 + 2)(80 - 2) = 80^2 - 2^2 = 6400 - 4 = 6396$.

Ответ: 6396

в)

Для вычисления произведения $299 \cdot 301$ найдем среднее арифметическое: $(299 + 301) / 2 = 300$.

Представим множители как $299 = 300 - 1$ и $301 = 300 + 1$.

Применим формулу:

$299 \cdot 301 = (300 - 1)(300 + 1) = 300^2 - 1^2 = 90000 - 1 = 89999$.

Ответ: 89999

г)

Для вычисления произведения $498 \cdot 502$ найдем среднее арифметическое: $(498 + 502) / 2 = 500$.

Представим множители как $498 = 500 - 2$ и $502 = 500 + 2$.

Применим формулу:

$498 \cdot 502 = (500 - 2)(500 + 2) = 500^2 - 2^2 = 250000 - 4 = 249996$.

Ответ: 249996

д)

Для вычисления произведения $3,01 \cdot 2,99$ найдем среднее арифметическое: $(3,01 + 2,99) / 2 = 3$.

Представим множители как $3,01 = 3 + 0,01$ и $2,99 = 3 - 0,01$.

Применим формулу:

$3,01 \cdot 2,99 = (3 + 0,01)(3 - 0,01) = 3^2 - (0,01)^2 = 9 - 0,0001 = 8,9999$.

Ответ: 8,9999

е)

Для вычисления произведения $10,2 \cdot 9,8$ найдем среднее арифметическое: $(10,2 + 9,8) / 2 = 10$.

Представим множители как $10,2 = 10 + 0,2$ и $9,8 = 10 - 0,2$.

Применим формулу:

$10,2 \cdot 9,8 = (10 + 0,2)(10 - 0,2) = 10^2 - (0,2)^2 = 100 - 0,04 = 99,96$.

Ответ: 99,96

379. Представьте выражение в виде квадрата:

а) $121$;

б) $x^4$;

в) $a^6$;

г) $4x^2y^6$;

д) $25m^2n^6$;

е) $\frac{1}{4}p^2$;

ж) $0,25x^4$;

з) $2\frac{1}{4}x^4q^2$.

а) Чтобы представить число 121 в виде квадрата, нужно найти число, которое при возведении во вторую степень дает 121. Этим числом является 11, поскольку $11 \cdot 11 = 121$.
Таким образом, $121 = 11^2$.
Ответ: $11^2$.

б) Для представления выражения $x^4$ в виде квадрата используется свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Мы ищем такое выражение, которое при возведении в квадрат даст $x^4$. Показатель степени 4 нужно разделить на 2: $4 / 2 = 2$.
Следовательно, $x^4 = (x^2)^2$. Проверка: $(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$.
Ответ: $(x^2)^2$.

в) Аналогично предыдущему пункту, чтобы представить $a^6$ в виде квадрата, делим показатель степени 6 на 2: $6 / 2 = 3$.
Таким образом, $a^6 = (a^3)^2$. Проверка: $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.
Ответ: $(a^3)^2$.

г) Чтобы представить одночлен $4x^2y^6$ в виде квадрата, необходимо представить в виде квадрата каждый его множитель.
$4 = 2^2$
$x^2 = (x)^2$
$y^6 = (y^3)^2$
Используя свойство $(abc)^2 = a^2b^2c^2$, объединяем полученные квадраты: $4x^2y^6 = 2^2 \cdot (x)^2 \cdot (y^3)^2 = (2xy^3)^2$.
Ответ: $(2xy^3)^2$.

д) Представляем каждый множитель одночлена $25m^2n^6$ в виде квадрата:
$25 = 5^2$
$m^2 = (m)^2$
$n^6 = (n^3)^2$
Объединяем результаты: $25m^2n^6 = 5^2 \cdot (m)^2 \cdot (n^3)^2 = (5mn^3)^2$.
Ответ: $(5mn^3)^2$.

е) Для выражения $\frac{1}{4}p^2$ представим каждый множитель в виде квадрата:
$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$
$p^2 = (p)^2$
Следовательно, $\frac{1}{4}p^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (p)^2 = (\frac{1}{2}p)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{2}p)^2$.

ж) Для выражения $0,25x^4$ представим каждый множитель в виде квадрата:
$0,25 = 0.5^2$
$x^4 = (x^2)^2$
Таким образом, $0,25x^4 = (0.5)^2 \cdot (x^2)^2 = (0.5x^2)^2$.
Ответ: $(0.5x^2)^2$.

з) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Теперь представим выражение $\frac{9}{4}x^4q^2$ в виде квадрата. Для этого представим в виде квадрата каждый множитель:
$\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$
$x^4 = (x^2)^2$
$q^2 = (q)^2$
Следовательно, $2\frac{1}{4}x^4q^2 = \frac{9}{4}x^4q^2 = (\frac{3}{2})^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (q)^2 = (\frac{3}{2}x^2q)^2$.
Ответ: $(\frac{3}{2}x^2q)^2$.

380. Представьте выражение в виде разности квадратов:

а) $x^4 - 1$;

б) $4a^2 - 4$;

в) $m^6 - 25$;

г) $16y^2 - 49x^2$;

д) $9p^4 - 16q^6$;

е) $36m^2 - 16n^2$.

Для представления выражения в виде разности квадратов используется основная идея: найти такие выражения A и B, для которых исходное выражение можно записать в форме $A^2 - B^2$. Для этого необходимо каждый член исходного выражения представить в виде квадрата.

а) Чтобы представить выражение $x^4 - 1$ в виде разности квадратов, необходимо каждый член выражения представить в виде квадрата некоторого выражения.

Первый член, $x^4$, можно представить как квадрат от $x^2$, так как по свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$.

Второй член, $1$, является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.

Таким образом, выражение $x^4 - 1$ можно записать в виде разности квадратов: $(x^2)^2 - 1^2$.

Ответ: $(x^2)^2 - 1^2$.

б) Рассмотрим выражение $4a^2 - 4$.

Первый член, $4a^2$, можно представить как квадрат выражения $2a$, поскольку $(2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$.

Второй член, $4$, является квадратом числа $2$, то есть $4 = 2^2$.

Следовательно, выражение $4a^2 - 4$ в виде разности квадратов записывается как $(2a)^2 - 2^2$.

Ответ: $(2a)^2 - 2^2$.

в) Рассмотрим выражение $m^6 - 25$.

Первый член, $m^6$, можно представить как квадрат от $m^3$, так как по свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ имеем $(m^3)^2 = m^{3 \cdot 2} = m^6$.

Второй член, $25$, является квадратом числа $5$, то есть $25 = 5^2$.

Таким образом, выражение $m^6 - 25$ можно записать в виде разности квадратов: $(m^3)^2 - 5^2$.

Ответ: $(m^3)^2 - 5^2$.

г) Рассмотрим выражение $16y^2 - 49x^2$.

Первый член, $16y^2$, можно представить как квадрат выражения $4y$, поскольку $16=4^2$, и значит $(4y)^2 = 4^2 \cdot y^2 = 16y^2$.

Второй член, $49x^2$, можно представить как квадрат выражения $7x$, поскольку $49=7^2$, и значит $(7x)^2 = 7^2 \cdot x^2 = 49x^2$.

Следовательно, выражение $16y^2 - 49x^2$ в виде разности квадратов записывается как $(4y)^2 - (7x)^2$.

Ответ: $(4y)^2 - (7x)^2$.

д) Рассмотрим выражение $9p^4 - 16q^6$.

Первый член, $9p^4$, можно представить как квадрат выражения $3p^2$, поскольку $9=3^2$ и $p^4=(p^2)^2$, следовательно, $(3p^2)^2 = 3^2 \cdot (p^2)^2 = 9p^4$.

Второй член, $16q^6$, можно представить как квадрат выражения $4q^3$, поскольку $16=4^2$ и $q^6=(q^3)^2$, следовательно, $(4q^3)^2 = 4^2 \cdot (q^3)^2 = 16q^6$.

Таким образом, выражение $9p^4 - 16q^6$ можно записать в виде разности квадратов: $(3p^2)^2 - (4q^3)^2$.

Ответ: $(3p^2)^2 - (4q^3)^2$.

е) Рассмотрим выражение $36m^2 - 16n^2$.

Первый член, $36m^2$, можно представить как квадрат выражения $6m$, так как $36=6^2$, и значит $(6m)^2 = 6^2 \cdot m^2 = 36m^2$.

Второй член, $16n^2$, можно представить как квадрат выражения $4n$, так как $16=4^2$, и значит $(4n)^2 = 4^2 \cdot n^2 = 16n^2$.

Следовательно, выражение $36m^2 - 16n^2$ в виде разности квадратов записывается как $(6m)^2 - (4n)^2$.

Ответ: $(6m)^2 - (4n)^2$.

Разложите многочлен на множители (381–382):

381. а) $a^2 - b^2$;

б) $y^2 - x^2$;

в) $(2x)^2 - 1$;

г) $9 - (3m)^2$;

д) $16 - p^4$;

е) $25 - a^6$;

ж) $m^4 - n^2$;

з) $p^8 - 49$;

и) $1 - x^4$;

к) $a^4 - b^4$.

а) Для разложения многочлена $a^2 - b^2$ на множители применим формулу разности квадратов. В данном случае $A = a$ и $B = b$.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Ответ: $(a - b)(a + b)$

б) Многочлен $y^2 - x^2$ также является разностью квадратов. Здесь $A = y$ и $B = x$.
По формуле разности квадратов получаем:
$y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$.
Ответ: $(y - x)(y + x)$

в) Рассмотрим выражение $(2x)^2 - 1$. Представим его в виде разности квадратов. Здесь $A = 2x$ и $B = 1$, так как $1 = 1^2$.
Выражение принимает вид $(2x)^2 - 1^2$. Применяем формулу:
$(2x)^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$.
Ответ: $(2x - 1)(2x + 1)$

г) Для разложения выражения $9 - (3m)^2$ представим $9$ как $3^2$. Получаем разность квадратов $3^2 - (3m)^2$.
Здесь $A = 3$ и $B = 3m$. Применяя формулу, получаем:
$9 - (3m)^2 = (3 - 3m)(3 + 3m)$.
Для полного разложения можно вынести общий множитель 3 из каждой скобки:
$(3 - 3m)(3 + 3m) = 3(1 - m) \cdot 3(1 + m) = 9(1 - m)(1 + m)$.
Ответ: $9(1 - m)(1 + m)$

д) Рассмотрим выражение $16 - p^4$. Представим его в виде разности квадратов: $16 = 4^2$ и $p^4 = (p^2)^2$.
Получаем $4^2 - (p^2)^2$. Здесь $A = 4$ и $B = p^2$. Применяем формулу:
$16 - p^4 = (4 - p^2)(4 + p^2)$.
Заметим, что первый множитель $(4 - p^2)$ также является разностью квадратов: $4 - p^2 = 2^2 - p^2 = (2 - p)(2 + p)$.
Окончательное разложение:
$16 - p^4 = (2 - p)(2 + p)(4 + p^2)$.
Ответ: $(2 - p)(2 + p)(4 + p^2)$

е) Рассмотрим выражение $25 - a^6$. Представим его как разность квадратов: $25 = 5^2$ и $a^6 = (a^3)^2$.
Получаем $5^2 - (a^3)^2$. Здесь $A = 5$ и $B = a^3$. Применяем формулу:
$25 - a^6 = (5 - a^3)(5 + a^3)$.
Дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.
Ответ: $(5 - a^3)(5 + a^3)$

ж) Рассмотрим выражение $m^4 - n^2$. Представим его как разность квадратов: $m^4 = (m^2)^2$.
Получаем $(m^2)^2 - n^2$. Здесь $A = m^2$ и $B = n$. Применяем формулу:
$m^4 - n^2 = (m^2 - n)(m^2 + n)$.
Так как $n$ не обязательно является полным квадратом, дальнейшее разложение в общем виде невозможно.
Ответ: $(m^2 - n)(m^2 + n)$

з) Рассмотрим выражение $p^8 - 49$. Представим его как разность квадратов: $p^8 = (p^4)^2$ и $49 = 7^2$.
Получаем $(p^4)^2 - 7^2$. Здесь $A = p^4$ и $B = 7$. Применяем формулу:
$p^8 - 49 = (p^4 - 7)(p^4 + 7)$.
Так как 7 не является полным квадратом, дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.
Ответ: $(p^4 - 7)(p^4 + 7)$

и) Рассмотрим выражение $1 - x^4$. Представим его как разность квадратов: $1 = 1^2$ и $x^4 = (x^2)^2$.
Получаем $1^2 - (x^2)^2$. Здесь $A = 1$ и $B = x^2$. Применяем формулу:
$1 - x^4 = (1 - x^2)(1 + x^2)$.
Первый множитель $(1 - x^2)$ также является разностью квадратов: $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$.
Окончательное разложение:
$1 - x^4 = (1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$.
Ответ: $(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$

к) Рассмотрим выражение $a^4 - b^4$. Представим его как разность квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$.
Получаем $(a^2)^2 - (b^2)^2$. Здесь $A = a^2$ и $B = b^2$. Применяем формулу:
$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
Первый множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Окончательное разложение:
$a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

382. а) $4a^2 - 1;$

б) $4a^2 - 9b^2;$

В) $9x^4 - 4;$

Г) $x^4 - 16.$

а) Для разложения выражения $4a^2 - 1$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим выражение в виде разности квадратов. Слагаемое $4a^2$ является квадратом выражения $2a$, то есть $4a^2 = (2a)^2$. Слагаемое $1$ является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.

Таким образом, $4a^2 - 1 = (2a)^2 - 1^2$.

Применяя формулу разности квадратов, где $A = 2a$ и $B = 1$, получаем:

$(2a)^2 - 1^2 = (2a - 1)(2a + 1)$.

Ответ: $(2a - 1)(2a + 1)$

б) Для разложения выражения $4a^2 - 9b^2$ на множители снова используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждое слагаемое в виде квадрата. $4a^2 = (2a)^2$ и $9b^2 = (3b)^2$.

Следовательно, выражение можно переписать как $(2a)^2 - (3b)^2$.

Применяя формулу, где $A = 2a$ и $B = 3b$, получаем:

$(2a)^2 - (3b)^2 = (2a - 3b)(2a + 3b)$.

Ответ: $(2a - 3b)(2a + 3b)$

в) Для разложения выражения $9x^4 - 4$ на множители используем ту же формулу разности квадратов.

Представим слагаемые в виде квадратов. Слагаемое $9x^4$ является квадратом выражения $3x^2$, так как $(3x^2)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 = 9x^4$. Слагаемое $4$ является квадратом числа $2$, то есть $4=2^2$.

Выражение принимает вид: $(3x^2)^2 - 2^2$.

Применяя формулу, где $A = 3x^2$ и $B = 2$, получаем:

$(3x^2)^2 - 2^2 = (3x^2 - 2)(3x^2 + 2)$.

Ответ: $(3x^2 - 2)(3x^2 + 2)$

г) Для разложения выражения $x^4 - 16$ на множители применим формулу разности квадратов последовательно.

Сначала представим выражение как разность квадратов: $x^4 = (x^2)^2$ и $16 = 4^2$.

Получаем: $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2$.

Применяя формулу, где $A = x^2$ и $B = 4$, имеем:

$(x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.

Заметим, что первый множитель $(x^2 - 4)$ также является разностью квадратов, так как $x^2 = (x)^2$ и $4 = 2^2$.

Разложим его по той же формуле: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Второй множитель $(x^2 + 4)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собирая все вместе, получаем итоговое разложение:

$x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$

383. Доказываем. Пользуясь рисунком 15, докажите формулу разности квадратов для $a > 0, b > 0, a > b$.

Рис. 15

Для доказательства формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ воспользуемся геометрической интерпретацией, представленной на рисунке 15. На рисунке изображён большой квадрат со стороной $a$, площадь которого равна $S_{большой} = a^2$.

Этот квадрат, в свою очередь, разделен на четыре меньшие прямоугольные области:

1. 1. Квадрат в левом верхнем углу со стороной $(a-b)$. Его площадь равна $(a-b)^2$.
2. 2. Прямоугольник в правом верхнем углу (закрашенный) со сторонами $b$ и $(a-b)$. Его площадь равна $b(a-b)$.
3. 3. Прямоугольник в левом нижнем углу (закрашенный) со сторонами $(a-b)$ и $b$. Его площадь равна $(a-b)b$.
4. 4. Квадрат в правом нижнем углу со стороной $b$. Его площадь равна $b^2$.

Левая часть доказываемой формулы, выражение $a^2 - b^2$, геометрически представляет собой площадь большого квадрата ($a^2$) за вычетом площади квадрата в правом нижнем углу ($b^2$). Эта площадь соответствует сумме площадей трёх оставшихся фигур: левого верхнего квадрата и двух закрашенных прямоугольников. Запишем это в виде математического выражения:

$a^2 - b^2 = (a-b)^2 + b(a-b) + (a-b)b$

Теперь преобразуем правую часть этого равенства. Можно заметить, что у всех трёх слагаемых есть общий множитель $(a-b)$. Вынесем его за скобки:

$a^2 - b^2 = (a-b) \cdot [(a-b) + b + b]$

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв их и приведя подобные члены:

$a^2 - b^2 = (a-b) \cdot (a - b + b + b)$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Таким образом, мы геометрически и алгебраически показали, что площадь фигуры, равная $a^2 - b^2$, также равна $(a-b)(a+b)$. Следовательно, формула верна.

Ответ: Формула доказана. Площадь $a^2 - b^2$ на рисунке представлена как сумма площадей трёх частей: $(a-b)^2$, $b(a-b)$ и $(a-b)b$. После вынесения общего множителя $(a-b)$ за скобки и упрощения выражения в скобках $[(a-b) + b + b]$ получается $(a-b)(a+b)$, что и доказывает тождество $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

384. Вместо букв $C$ и $D$ подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:

а) $(2a - C)(2a + b^2) = 4a^2 - b^4;$

б) $(C + D)(x^2 - y) = x^4 - y^2;$

в) $(3m - C)(D + 2n) = 9m^2 - 4n^2;$

г) $(C + 5q)(5q + D) = 25q^2 - 16p^4.$

а)

Правая часть равенства, $4a^2 - b^4$, является разностью квадратов, так как её можно записать в виде $(2a)^2 - (b^2)^2$.

Применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В нашем случае $x = 2a$ и $y = b^2$, поэтому $4a^2 - b^4 = (2a - b^2)(2a + b^2)$.

Теперь сравним полученное выражение с левой частью исходного равенства: $(2a - C)(2a + b^2)$.

Множители $(2a + b^2)$ в обоих выражениях совпадают. Следовательно, должны совпадать и первые множители:

$2a - C = 2a - b^2$

Из этого уравнения очевидно, что искомый одночлен $C$ равен $b^2$.

Ответ: $C = b^2$.

б)

Рассмотрим правую часть равенства: $x^4 - y^2$. Это разность квадратов, которую можно представить как $(x^2)^2 - y^2$.

По формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ получаем:

$(x^2)^2 - y^2 = (x^2 - y)(x^2 + y)$.

Исходное равенство имеет вид $(C + D)(x^2 - y) = x^4 - y^2$.

Сравнивая левую часть $(C + D)(x^2 - y)$ с разложением $(x^2 + y)(x^2 - y)$, мы видим, что множитель $(x^2 - y)$ является общим.

Это означает, что второй множитель $(C + D)$ должен быть равен $(x^2 + y)$:

$C + D = x^2 + y$

По условию, C и D — это одночлены. Чтобы их сумма была равна многочлену $x^2 + y$, естественно выбрать $C = x^2$ и $D = y$ (или наоборот).

Ответ: $C = x^2, D = y$.

в)

Правая часть равенства $9m^2 - 4n^2$ является разностью квадратов: $(3m)^2 - (2n)^2$.

Применив формулу разности квадратов, получим разложение на множители:

$(3m)^2 - (2n)^2 = (3m - 2n)(3m + 2n)$.

Сравним это разложение с левой частью исходного уравнения: $(3m - C)(D + 2n)$.

Сопоставляя соответствующие множители, мы можем однозначно определить C и D:

Первый множитель: $3m - C$ должен быть равен $3m - 2n$. Отсюда следует, что $C = 2n$.

Второй множитель: $D + 2n$ должен быть равен $3m + 2n$. Отсюда следует, что $D = 3m$.

Найденные $C = 2n$ и $D = 3m$ являются одночленами, что соответствует условию задачи.

Ответ: $C = 2n, D = 3m$.

г)

Правая часть равенства $25q^2 - 16p^4$ — это разность квадратов вида $(5q)^2 - (4p^2)^2$.

Используя формулу разности квадратов, раскладываем это выражение на множители:

$(5q)^2 - (4p^2)^2 = (5q - 4p^2)(5q + 4p^2)$.

Левую часть равенства $(C + 5q)(5q + D)$ можно переписать, поменяв слагаемые в первой скобке: $(5q + C)(5q + D)$.

Теперь необходимо, чтобы произведение $(5q + C)(5q + D)$ было равно произведению $(5q - 4p^2)(5q + 4p^2)$. Это возможно в двух случаях, так как множители можно поменять местами.

Случай 1: $5q + C = 5q - 4p^2$ и $5q + D = 5q + 4p^2$.

Из первого уравнения получаем $C = -4p^2$. Из второго уравнения получаем $D = 4p^2$.

Случай 2: $5q + C = 5q + 4p^2$ и $5q + D = 5q - 4p^2$.

Из первого уравнения получаем $C = 4p^2$. Из второго уравнения получаем $D = -4p^2$.

Оба решения являются верными. Выберем одно из них.

Ответ: $C = -4p^2, D = 4p^2$ (или $C = 4p^2, D = -4p^2$).