Страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

390. а) Запишите неполный квадрат разности $a$ и $b$.

б) Запишите и прочитайте формулу суммы кубов.

а)

Выражение "неполный квадрат разности" тесно связано с формулой полного квадрата разности. Полный квадрат разности двух выражений $a$ и $b$ выглядит так: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Он состоит из квадрата первого выражения, квадрата второго выражения и их удвоенного произведения со знаком минус.

Неполный квадрат разности отличается от полного тем, что в среднем члене отсутствует множитель 2. Это выражение часто встречается в формулах сокращенного умножения, в частности, в формуле суммы кубов.

Таким образом, неполный квадрат разности $a$ и $b$ — это многочлен $a^2 - ab + b^2$.

Ответ: $a^2 - ab + b^2$.

б)

Формула суммы кубов — это одна из формул сокращенного умножения, которая позволяет разложить на множители сумму кубов двух выражений.

Запись формулы:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Чтение формулы (как она произносится):
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Ответ: Формула: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Чтение: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

391. Заполните пропуски, применив формулу суммы кубов:

а) $(x+y) \cdot (x^2 - xy + y^2) = ...$

б) $m^3 + n^3 = ...$

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу сокращенного умножения "сумма кубов":

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

а) В данном выражении $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$ мы имеем правую часть формулы суммы кубов, где в качестве $a$ выступает $x$, а в качестве $b$ выступает $y$.

Применяя формулу в обратном порядке (справа налево), мы "сворачиваем" выражение в сумму кубов:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$

Ответ: $x^3 + y^3$

б) В выражении $m^3 + n^3$ мы имеем левую часть формулы суммы кубов. Нам нужно разложить ее на множители.

В данном случае $a = m$ и $b = n$.

Подставляя эти значения в правую часть формулы, получаем:

$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$

Ответ: $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$

392. Запишите:

а) куб $a^3$;

б) сумму $x+y$;

в) разность квадрата $a^2$ и произведения $ab$;

г) полный квадрат разности $(x-y)^2$;

д) неполный квадрат разности $a^2 - ab + b^2$;

е) сумму кубов $m^3 + n^3$.

а) Куб числа $a$ — это результат умножения этого числа на себя три раза, то есть возведение числа $a$ в третью степень.
Математическая запись: $a^3$.
Ответ: $a^3$

б) Сумма чисел $x$ и $y$ — это результат их сложения.
Математическая запись: $x + y$.
Ответ: $x + y$

в) Данное выражение является разностью. Уменьшаемое — это квадрат числа $a$, то есть $a^2$. Вычитаемое — это произведение чисел $a$ и $b$, то есть $ab$.
Математическая запись разности: $a^2 - ab$.
Ответ: $a^2 - ab$

г) Полный квадрат разности $x$ и $y$ — это выражение $(x - y)$, возведенное в квадрат. Для его записи используется формула сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Применяя эту формулу к $x$ и $y$, получаем: $x^2 - 2xy + y^2$.
Ответ: $x^2 - 2xy + y^2$

д) Неполный квадрат разности $a$ и $b$ — это многочлен, который отличается от полного квадрата разности $(a^2 - 2ab + b^2)$ тем, что у среднего члена отсутствует коэффициент 2. Этот многочлен является одним из множителей в формуле разложения суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Математическая запись: $a^2 - ab + b^2$.
Ответ: $a^2 - ab + b^2$

е) Сумма кубов $m$ и $n$ — это результат сложения куба числа $m$ ($m^3$) и куба числа $n$ ($n^3$).
Математическая запись: $m^3 + n^3$.
Ответ: $m^3 + n^3$

393. Укажите полные и неполные квадраты разности:

а) $a^2 - 5a + 25;$

б) $x^2 - 2x + 1;$

в) $9 - 3m + m^2;$

г) $49 - 14p + p^2;$

д) $4k^2 - 4k + 1;$

е) $4 - 4a + 4a^2;$

ж) $x^2 - 6x + 36;$

з) $9 - 6y + y^2;$

и) $\frac{1}{4}n^2 - n + 1.$

Для решения этой задачи необходимо различать две похожие алгебраические конструкции: полный квадрат разности и неполный квадрат разности.

Полный квадрат разности двух выражений $A$ и $B$ — это трехчлен, который можно свернуть по формуле квадрата разности: $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$. Характерной чертой является наличие удвоенного произведения $2AB$ в качестве среднего члена.

Неполный квадрат разности двух выражений $A$ и $B$ — это трехчлен вида $A^2 - AB + B^2$. Он отличается от полного квадрата тем, что средний член является просто произведением $AB$, а не удвоенным произведением. Это выражение встречается, например, при разложении суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.

Проанализируем каждое из данных выражений.

а) $a^2 - 5a + 25$

В этом выражении первый член — это квадрат $a$ ($A=a$), а третий член — это квадрат $5$ ($B=5$).

Проверим средний член. Для полного квадрата разности он должен быть равен удвоенному произведению $2AB = 2 \cdot a \cdot 5 = 10a$. Для неполного квадрата — просто произведению $AB = a \cdot 5 = 5a$.

Так как средний член в выражении равен $5a$, оно соответствует формуле неполного квадрата разности $a^2 - a \cdot 5 + 5^2$.

Ответ: неполный квадрат разности.

б) $x^2 - 2x + 1$

Здесь первый член — это квадрат $x$ ($A=x$), а третий член — это квадрат $1$ ($B=1$).

Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$.

Средний член в выражении равен $2x$, что полностью соответствует формуле полного квадрата разности $x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x - 1)^2$.

Ответ: полный квадрат разности.

в) $9 - 3m + m^2$

Перепишем выражение в стандартном порядке: $m^2 - 3m + 9$. Здесь первый член — квадрат $m$ ($A=m$), третий — квадрат $3$ ($B=3$).

Проверим средний член. Для полного квадрата: $2AB = 2 \cdot m \cdot 3 = 6m$. Для неполного квадрата: $AB = m \cdot 3 = 3m$.

Средний член в выражении равен $3m$, следовательно, это неполный квадрат разности $m^2 - m \cdot 3 + 3^2$.

Ответ: неполный квадрат разности.

г) $49 - 14p + p^2$

Перепишем как $p^2 - 14p + 49$. Здесь $A=p$ и $B=7$.

Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot p \cdot 7 = 14p$.

Средний член в выражении равен $14p$, что соответствует формуле полного квадрата разности $p^2 - 2 \cdot p \cdot 7 + 7^2 = (p - 7)^2$.

Ответ: полный квадрат разности.

д) $4k^2 - 4k + 1$

Здесь первый член — это квадрат $2k$ ($A=2k$), а третий — квадрат $1$ ($B=1$).

Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot (2k) \cdot 1 = 4k$.

Средний член в выражении равен $4k$, что соответствует формуле полного квадрата разности $(2k)^2 - 2 \cdot (2k) \cdot 1 + 1^2 = (2k - 1)^2$.

Ответ: полный квадрат разности.

е) $4 - 4a + 4a^2$

Перепишем как $4a^2 - 4a + 4$. Здесь первый член — квадрат $2a$ ($A=2a$), а третий — квадрат $2$ ($B=2$).

Проверим средний член. Для полного квадрата: $2AB = 2 \cdot (2a) \cdot 2 = 8a$. Для неполного квадрата: $AB = (2a) \cdot 2 = 4a$.

Средний член в выражении равен $4a$, следовательно, это неполный квадрат разности $(2a)^2 - (2a) \cdot 2 + 2^2$.

Ответ: неполный квадрат разности.

ж) $x^2 - 6x + 36$

Здесь $A=x$ и $B=6$.

Проверим средний член. Для полного квадрата: $2AB = 2 \cdot x \cdot 6 = 12x$. Для неполного квадрата: $AB = x \cdot 6 = 6x$.

Средний член в выражении равен $6x$, значит, это неполный квадрат разности $x^2 - x \cdot 6 + 6^2$.

Ответ: неполный квадрат разности.

з) $9 - 6y + y^2$

Перепишем как $y^2 - 6y + 9$. Здесь $A=y$ и $B=3$.

Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot y \cdot 3 = 6y$.

Средний член в выражении равен $6y$, что соответствует формуле полного квадрата разности $y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y - 3)^2$.

Ответ: полный квадрат разности.

и) $\frac{1}{4}n^2 - n + 1$

Здесь первый член — это квадрат $\frac{1}{2}n$ ($A=\frac{1}{2}n$), а третий — квадрат $1$ ($B=1$).

Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot (\frac{1}{2}n) \cdot 1 = n$.

Средний член в выражении равен $n$, что соответствует формуле полного квадрата разности $(\frac{1}{2}n)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}n) \cdot 1 + 1^2 = (\frac{1}{2}n - 1)^2$.

Ответ: полный квадрат разности.

394. Запишите выражение в виде многочлена:

а) $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$;

Б) $(q + p)(p^2 - pq + q^2)$;

В) $(a + 1)(a^2 - a + 1)$;

Г) $(2 + x)(4 - 2x + x^2)$;

Д) $(p^2 - 4p + 16)(p + 4)$;

Е) $(25 - 5m + m^2)(5 + m).

а) Данное выражение является произведением суммы двух выражений на их неполный квадрат разности. Это соответствует формуле сокращенного умножения для суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. В данном случае $a=m$ и $b=n$.
Применим формулу:
$(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 + n^3$.
Ответ: $m^3 + n^3$.

б) Переставим слагаемые в первой скобке, используя переместительное свойство сложения: $(q + p) = (p + q)$. Выражение примет вид: $(p + q)(p^2 - pq + q^2)$.
Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=p$ и $b=q$.
Применив формулу, получим:
$(p + q)(p^2 - pq + q^2) = p^3 + q^3$.
Ответ: $p^3 + q^3$.

в) Это выражение также соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
Здесь $a$ в формуле соответствует $a$ в выражении, а $b=1$. Проверим вторую скобку: $a^2 - a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - a + 1$, что совпадает с выражением в задаче.
Следовательно, мы можем применить формулу:
$(a + 1)(a^2 - a + 1) = a^3 + 1^3 = a^3 + 1$.
Ответ: $a^3 + 1$.

г) Рассмотрим выражение $(2 + x)(4 - 2x + x^2)$. Оно соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
В этом случае $a = 2$ и $b = x$. Проверим соответствие второй скобки: $a^2 - ab + b^2 = 2^2 - 2 \cdot x + x^2 = 4 - 2x + x^2$. Выражение совпадает.
Применяем формулу:
$(2 + x)(4 - 2x + x^2) = 2^3 + x^3 = 8 + x^3$.
Ответ: $8 + x^3$.

д) Для удобства поменяем множители местами: $(p^2 - 4p + 16)(p + 4) = (p + 4)(p^2 - 4p + 16)$.
Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
Здесь $a = p$ и $b = 4$. Проверим вторую скобку: $a^2 - ab + b^2 = p^2 - p \cdot 4 + 4^2 = p^2 - 4p + 16$. Выражение совпадает.
Применяем формулу:
$(p + 4)(p^2 - 4p + 16) = p^3 + 4^3 = p^3 + 64$.
Ответ: $p^3 + 64$.

е) Поменяем множители местами: $(25 - 5m + m^2)(5 + m) = (5 + m)(25 - 5m + m^2)$.
Это выражение является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
Здесь $a = 5$ и $b = m$. Проверим вторую скобку: $a^2 - ab + b^2 = 5^2 - 5 \cdot m + m^2 = 25 - 5m + m^2$. Выражение совпадает.
Применяя формулу, получаем:
$(5 + m)(25 - 5m + m^2) = 5^3 + m^3 = 125 + m^3$.
Ответ: $125 + m^3$.

395. Упростите выражение:

а) $(a^3 + 1)(a^6 - a^3 + 1);$

б) $(2 + n^2)(n^4 - 2n^2 + 4);$

в) $(x + y^2)(x^2 - xy^2 + y^4);$

г) $(p^3 + q^2)(q^4 - p^3q^2 + p^6);$

д) $(a^4b^2 - 2a^2b + 4)(2 + a^2b);$

е) $(9n^2 - 3nm + m^2)(m + 3n);$

ж) $(3x + y)(9x^2 - 3xy + y^2);$

з) $(a^4 + 1)(a^8 - a^4 + 1);$

и) $(4x^4y^2 - 6x^2ya + 9a^2)(3a + 2x^2y);$

к) $(5p^3 + 2q^2)(4q^4 - 10p^3q^2 + 25p^6).$

а) Данное выражение является произведением суммы и неполного квадрата разности. Для его упрощения применим формулу суммы кубов: $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$. В данном случае $A = a^3$ и $B = 1$. Второй множитель $(a^6-a^3+1)$ соответствует выражению $(A^2-AB+B^2)$, так как $A^2 = (a^3)^2 = a^6$, $AB = a^3 \cdot 1 = a^3$, и $B^2 = 1^2 = 1$. Следовательно, выражение равно $(a^3)^3 + 1^3 = a^9 + 1$.
Ответ: $a^9 + 1$

б) Переставим слагаемые в первой скобке для удобства: $(n^2 + 2)(n^4 - 2n^2 + 4)$. Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$, где $A = n^2$ и $B = 2$. Проверим второй множитель: $A^2 = (n^2)^2 = n^4$, $AB = n^2 \cdot 2 = 2n^2$, и $B^2 = 2^2 = 4$. Таким образом, выражение упрощается до $(n^2)^3 + 2^3 = n^6 + 8$.
Ответ: $n^6 + 8$

в) Это выражение является произведением суммы и неполного квадрата разности и упрощается по формуле суммы кубов: $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$. Здесь $A = x$ и $B = y^2$. Второй множитель $(x^2 - xy^2 + y^4)$ соответствует $(A^2 - AB + B^2)$: $A^2 = x^2$, $AB = x \cdot y^2 = xy^2$, и $B^2 = (y^2)^2 = y^4$. Следовательно, результат равен $x^3 + (y^2)^3 = x^3 + y^6$.
Ответ: $x^3 + y^6$

г) Переставим члены во втором множителе, чтобы привести выражение к стандартному виду: $(p^3 + q^2)(p^6 - p^3q^2 + q^4)$. Используем формулу суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$, где $A = p^3$ и $B = q^2$. Второй множитель соответствует $(A^2 - AB + B^2)$: $A^2 = (p^3)^2 = p^6$, $AB = p^3 \cdot q^2 = p^3q^2$, и $B^2 = (q^2)^2 = q^4$. Таким образом, выражение равно $(p^3)^3 + (q^2)^3 = p^9 + q^6$.
Ответ: $p^9 + q^6$

д) Переставим множители и слагаемые для наглядности: $(a^2b + 2)(a^4b^2 - 2a^2b + 4)$. Применим формулу суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$ с $A = a^2b$ и $B = 2$. Проверим второй множитель: $A^2 = (a^2b)^2 = a^4b^2$, $AB = a^2b \cdot 2 = 2a^2b$, и $B^2 = 2^2 = 4$. Выражение упрощается до $(a^2b)^3 + 2^3 = a^6b^3 + 8$.
Ответ: $a^6b^3 + 8$

е) Переставим множители и слагаемые: $(3n + m)(9n^2 - 3nm + m^2)$. Это формула суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$, где $A = 3n$ и $B = m$. Проверим второй множитель: $A^2 = (3n)^2 = 9n^2$, $AB = 3n \cdot m = 3nm$, и $B^2 = m^2$. Следовательно, результат равен $(3n)^3 + m^3 = 27n^3 + m^3$.
Ответ: $27n^3 + m^3$

ж) Данное выражение является классическим примером формулы суммы кубов: $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$. Здесь $A = 3x$ и $B = y$. Второй множитель $(9x^2 - 3xy + y^2)$ является неполным квадратом разности $(3x)^2 - (3x)y + y^2$. Таким образом, выражение равно $(3x)^3 + y^3 = 27x^3 + y^3$.
Ответ: $27x^3 + y^3$

з) Используем формулу суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$. В этом случае $A = a^4$ и $B = 1$. Второй множитель $(a^8 - a^4 + 1)$ соответствует $(A^2-AB+B^2)$, так как $A^2 = (a^4)^2 = a^8$, $AB = a^4 \cdot 1 = a^4$, и $B^2 = 1^2 = 1$. Следовательно, выражение упрощается до $(a^4)^3 + 1^3 = a^{12} + 1$.
Ответ: $a^{12} + 1$

и) Переставим множители и слагаемые для соответствия формуле: $(2x^2y + 3a)(4x^4y^2 - 6x^2ya + 9a^2)$. Это формула суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$, где $A = 2x^2y$ и $B = 3a$. Проверим второй множитель: $A^2 = (2x^2y)^2 = 4x^4y^2$, $AB = (2x^2y)(3a) = 6x^2ya$, и $B^2 = (3a)^2 = 9a^2$. Таким образом, результат равен $(2x^2y)^3 + (3a)^3 = 8x^6y^3 + 27a^3$.
Ответ: $8x^6y^3 + 27a^3$

к) Переставим члены во втором множителе: $(5p^3 + 2q^2)(25p^6 - 10p^3q^2 + 4q^4)$. Применим формулу суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$ с $A = 5p^3$ и $B = 2q^2$. Проверим второй множитель: $A^2 = (5p^3)^2 = 25p^6$, $AB = (5p^3)(2q^2) = 10p^3q^2$, и $B^2 = (2q^2)^2 = 4q^4$. Следовательно, выражение равно $(5p^3)^3 + (2q^2)^3 = 125p^9 + 8q^6$.
Ответ: $125p^9 + 8q^6$

396. Представьте выражение в виде степени с показателем 3:

а) 125;

б) 8;

в) $27x^3$;

г) $64y^3$;

д) $m^3y^3$;

е) $a^6b^3$;

ж) $x^3y^6$;

з) $\frac{1}{8}p^3$;

и) $0,001c^6$.

а) Чтобы представить число $125$ в виде степени с показателем 3, нужно найти такое число, куб которого равен $125$. Таким числом является $5$, так как $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: $5^3$.

б) Чтобы представить число $8$ в виде степени с показателем 3, нужно найти такое число, куб которого равен $8$. Таким числом является $2$, так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Ответ: $2^3$.

в) Для представления выражения $27x^3$ в виде степени с показателем 3, представим каждый множитель в виде куба. Число $27$ - это $3^3$. Выражение $x^3$ уже является кубом переменной $x$. Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $27x^3 = 3^3 \cdot x^3 = (3x)^3$.
Ответ: $(3x)^3$.

г) Представим каждый множитель выражения $64y^3$ в виде куба. Число $64$ - это $4^3$, так как $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$. Выражение $y^3$ - это куб переменной $y$. Таким образом, $64y^3 = 4^3 \cdot y^3 = (4y)^3$.
Ответ: $(4y)^3$.

д) Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$. В выражении $m^3y^3$ оба множителя уже представлены в виде кубов. Следовательно, $m^3y^3 = (my)^3$.
Ответ: $(my)^3$.

е) Для выражения $a^6b^3$ нужно представить каждый множитель в виде куба. Множитель $b^3$ уже является кубом переменной $b$. Для множителя $a^6$ используем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$. Нам нужно найти такое основание, чтобы при возведении в куб получилось $a^6$. Это будет $a^2$, так как $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$. Таким образом, $a^6b^3 = (a^2)^3 \cdot b^3 = (a^2b)^3$.
Ответ: $(a^2b)^3$.

ж) В выражении $x^3y^6$ множитель $x^3$ является кубом переменной $x$. Множитель $y^6$ нужно представить в виде куба. Используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$, находим, что $y^6 = (y^2)^3$, так как $2 \cdot 3 = 6$. Следовательно, $x^3y^6 = x^3 \cdot (y^2)^3 = (xy^2)^3$.
Ответ: $(xy^2)^3$.

з) Рассмотрим выражение $\frac{1}{8}p^3$. Представим каждый множитель в виде куба. Дробь $\frac{1}{8}$ можно записать как $(\frac{1}{2})^3$, так как $2^3=8$. Множитель $p^3$ является кубом переменной $p$. Тогда $\frac{1}{8}p^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot p^3 = (\frac{1}{2}p)^3$.
Ответ: $(\frac{1}{2}p)^3$.

и) Рассмотрим выражение $0,001c^6$. Представим каждый множитель в виде куба. Десятичная дробь $0,001$ является кубом числа $0,1$, так как $0,1^3 = 0,001$. Множитель $c^6$ можно представить как $(c^2)^3$, поскольку $2 \cdot 3 = 6$. Таким образом, $0,001c^6 = (0,1)^3 \cdot (c^2)^3 = (0,1c^2)^3$.
Ответ: $(0,1c^2)^3$.

397. Представьте выражение в виде суммы кубов:

а) $x^3 + 8;$

б) $27 + a^3;$

в) $1 + m^6;$

г) $p^9 + 64;$

д) $x^6 + 8y^3;$

е) $a^9 + 27b^3;$

ж) $8m^6 + n^9;$

з) $64p^9 + q^{12};$

и) $\frac{1}{8} + x^6 y^9.$

а) Чтобы представить выражение $x^3 + 8$ в виде суммы кубов, необходимо каждый член выражения представить в виде куба некоторого одночлена. Первый член $x^3$ уже является кубом переменной $x$. Второй член $8$ можно представить как $2^3$. Таким образом, выражение принимает вид:

$x^3 + 8 = (x)^3 + (2)^3$

Ответ: $(x)^3 + (2)^3$.

б) В выражении $27 + a^3$ первый член $27$ является кубом числа $3$, так как $27 = 3^3$. Второй член $a^3$ уже представлен в виде куба. Следовательно:

$27 + a^3 = (3)^3 + (a)^3$

Ответ: $(3)^3 + (a)^3$.

в) В выражении $1 + m^6$ представим каждый член в виде куба. Число $1$ можно записать как $1^3$. Член $m^6$ можно представить как куб, используя свойство степеней $(a^n)^k = a^{nk}$. В нашем случае $m^6 = m^{2 \cdot 3} = (m^2)^3$. Таким образом:

$1 + m^6 = (1)^3 + (m^2)^3$

Ответ: $(1)^3 + (m^2)^3$.

г) Для выражения $p^9 + 64$ представим $p^9$ как $(p^3)^3$, так как $p^9 = p^{3 \cdot 3}$. Число $64$ является кубом числа $4$, так как $64 = 4^3$. Получаем:

$p^9 + 64 = (p^3)^3 + (4)^3$

Ответ: $(p^3)^3 + (4)^3$.

д) В выражении $x^6 + 8y^3$ представим $x^6$ как $(x^2)^3$. Второй член $8y^3$ представим как куб произведения: $8y^3 = 2^3 \cdot y^3 = (2y)^3$. В результате получаем:

$x^6 + 8y^3 = (x^2)^3 + (2y)^3$

Ответ: $(x^2)^3 + (2y)^3$.

е) Для выражения $a^9 + 27b^3$ представим $a^9$ как $(a^3)^3$. Член $27b^3$ представим как куб произведения: $27b^3 = 3^3 \cdot b^3 = (3b)^3$. Следовательно:

$a^9 + 27b^3 = (a^3)^3 + (3b)^3$

Ответ: $(a^3)^3 + (3b)^3$.

ж) В выражении $8m^6 + n^9$ представим первый член $8m^6$ как куб произведения. $8 = 2^3$ и $m^6 = (m^2)^3$, поэтому $8m^6 = (2m^2)^3$. Второй член $n^9$ можно представить как $(n^3)^3$. Получаем сумму кубов:

$8m^6 + n^9 = (2m^2)^3 + (n^3)^3$

Ответ: $(2m^2)^3 + (n^3)^3$.

з) Для выражения $64p^9 + q^{12}$ представим каждый член в виде куба. $64p^9 = 4^3 \cdot (p^3)^3 = (4p^3)^3$. Второй член $q^{12}$ можно записать как $(q^4)^3$, так как $q^{12} = q^{4 \cdot 3}$. Таким образом:

$64p^9 + q^{12} = (4p^3)^3 + (q^4)^3$

Ответ: $(4p^3)^3 + (q^4)^3$.

и) В выражении $\frac{1}{8} + x^6y^9$ первый член $\frac{1}{8}$ является кубом дроби $\frac{1}{2}$, то есть $(\frac{1}{2})^3$. Второй член $x^6y^9$ можно представить в виде куба: $x^6 = (x^2)^3$ и $y^9 = (y^3)^3$, поэтому $x^6y^9 = (x^2y^3)^3$. В итоге получаем:

$\frac{1}{8} + x^6y^9 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + (x^2y^3)^3$

Ответ: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 + (x^2y^3)^3$.

398. Разложите двучлен на множители:

а) $m^3 + n^3$;

б) $a^3 + 1$;

в) $b^3 + 8$;

г) $x^3 + y^6$;

д) $p^6 + q^6$;

е) $m^6 + n^{15}$;

ж) $27a^3 + b^3$;

з) $x^3 + 64y^3$;

и) $c^6 + 125d^3$;

к) $8p^6 + q^{12}$.

Для разложения двучленов на множители в данной задаче используется формула суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

а) $m^3 + n^3$

Это выражение является классическим примером суммы кубов, где $A = m$ и $B = n$. Применяя формулу, получаем:

$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$.

Ответ: $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$

б) $a^3 + 1$

Представим 1 как $1^3$, чтобы привести выражение к виду суммы кубов: $a^3 + 1^3$.

Применяем формулу, где $A = a$ и $B = 1$:

$a^3 + 1^3 = (a + 1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a + 1)(a^2 - a + 1)$.

Ответ: $(a + 1)(a^2 - a + 1)$

в) $b^3 + 8$

Представим 8 как $2^3$, чтобы привести выражение к виду суммы кубов: $b^3 + 2^3$.

Применяем формулу, где $A = b$ и $B = 2$:

$b^3 + 2^3 = (b + 2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = (b + 2)(b^2 - 2b + 4)$.

Ответ: $(b + 2)(b^2 - 2b + 4)$

г) $x^3 + y^6$

Представим $y^6$ как куб выражения, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $y^6 = (y^2)^3$.

Выражение принимает вид $x^3 + (y^2)^3$. Применяем формулу, где $A = x$ и $B = y^2$:

$x^3 + (y^2)^3 = (x + y^2)(x^2 - x(y^2) + (y^2)^2) = (x + y^2)(x^2 - xy^2 + y^4)$.

Ответ: $(x + y^2)(x^2 - xy^2 + y^4)$

д) $p^6 + q^6$

Представим оба слагаемых в виде кубов: $p^6 = (p^2)^3$ и $q^6 = (q^2)^3$.

Выражение принимает вид $(p^2)^3 + (q^2)^3$. Применяем формулу, где $A = p^2$ и $B = q^2$:

$(p^2)^3 + (q^2)^3 = (p^2 + q^2)((p^2)^2 - (p^2)(q^2) + (q^2)^2) = (p^2 + q^2)(p^4 - p^2q^2 + q^4)$.

Ответ: $(p^2 + q^2)(p^4 - p^2q^2 + q^4)$

е) $m^6 + n^{15}$

Представим слагаемые в виде кубов: $m^6 = (m^2)^3$ и $n^{15} = (n^5)^3$.

Выражение принимает вид $(m^2)^3 + (n^5)^3$. Применяем формулу, где $A = m^2$ и $B = n^5$:

$(m^2)^3 + (n^5)^3 = (m^2 + n^5)((m^2)^2 - (m^2)(n^5) + (n^5)^2) = (m^2 + n^5)(m^4 - m^2n^5 + n^{10})$.

Ответ: $(m^2 + n^5)(m^4 - m^2n^5 + n^{10})$

ж) $27a^3 + b^3$

Представим первое слагаемое в виде куба: $27a^3 = 3^3a^3 = (3a)^3$.

Выражение принимает вид $(3a)^3 + b^3$. Применяем формулу, где $A = 3a$ и $B = b$:

$(3a)^3 + b^3 = (3a + b)((3a)^2 - (3a)(b) + b^2) = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)$.

Ответ: $(3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)$

з) $x^3 + 64y^3$

Представим второе слагаемое в виде куба: $64y^3 = 4^3y^3 = (4y)^3$.

Выражение принимает вид $x^3 + (4y)^3$. Применяем формулу, где $A = x$ и $B = 4y$:

$x^3 + (4y)^3 = (x + 4y)(x^2 - x(4y) + (4y)^2) = (x + 4y)(x^2 - 4xy + 16y^2)$.

Ответ: $(x + 4y)(x^2 - 4xy + 16y^2)$

и) $c^6 + 125d^3$

Представим слагаемые в виде кубов: $c^6 = (c^2)^3$ и $125d^3 = 5^3d^3 = (5d)^3$.

Выражение принимает вид $(c^2)^3 + (5d)^3$. Применяем формулу, где $A = c^2$ и $B = 5d$:

$(c^2)^3 + (5d)^3 = (c^2 + 5d)((c^2)^2 - (c^2)(5d) + (5d)^2) = (c^2 + 5d)(c^4 - 5c^2d + 25d^2)$.

Ответ: $(c^2 + 5d)(c^4 - 5c^2d + 25d^2)$

к) $8p^6 + q^{12}$

Представим слагаемые в виде кубов: $8p^6 = 2^3(p^2)^3 = (2p^2)^3$ и $q^{12} = (q^4)^3$.

Выражение принимает вид $(2p^2)^3 + (q^4)^3$. Применяем формулу, где $A = 2p^2$ и $B = q^4$:

$(2p^2)^3 + (q^4)^3 = (2p^2 + q^4)((2p^2)^2 - (2p^2)(q^4) + (q^4)^2) = (2p^2 + q^4)(4p^4 - 2p^2q^4 + q^8)$.

Ответ: $(2p^2 + q^4)(4p^4 - 2p^2q^4 + q^8)$