Номер 395, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.5. Сумма кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 395, страница 110.

Условие.

395. Упростите выражение:

а) $(a^3 + 1)(a^6 - a^3 + 1);$

б) $(2 + n^2)(n^4 - 2n^2 + 4);$

в) $(x + y^2)(x^2 - xy^2 + y^4);$

г) $(p^3 + q^2)(q^4 - p^3q^2 + p^6);$

д) $(a^4b^2 - 2a^2b + 4)(2 + a^2b);$

е) $(9n^2 - 3nm + m^2)(m + 3n);$

ж) $(3x + y)(9x^2 - 3xy + y^2);$

з) $(a^4 + 1)(a^8 - a^4 + 1);$

и) $(4x^4y^2 - 6x^2ya + 9a^2)(3a + 2x^2y);$

к) $(5p^3 + 2q^2)(4q^4 - 10p^3q^2 + 25p^6).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Данное выражение является произведением суммы и неполного квадрата разности. Для его упрощения применим формулу суммы кубов: $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$. В данном случае $A = a^3$ и $B = 1$. Второй множитель $(a^6-a^3+1)$ соответствует выражению $(A^2-AB+B^2)$, так как $A^2 = (a^3)^2 = a^6$, $AB = a^3 \cdot 1 = a^3$, и $B^2 = 1^2 = 1$. Следовательно, выражение равно $(a^3)^3 + 1^3 = a^9 + 1$.
Ответ: $a^9 + 1$

б) Переставим слагаемые в первой скобке для удобства: $(n^2 + 2)(n^4 - 2n^2 + 4)$. Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$, где $A = n^2$ и $B = 2$. Проверим второй множитель: $A^2 = (n^2)^2 = n^4$, $AB = n^2 \cdot 2 = 2n^2$, и $B^2 = 2^2 = 4$. Таким образом, выражение упрощается до $(n^2)^3 + 2^3 = n^6 + 8$.
Ответ: $n^6 + 8$

в) Это выражение является произведением суммы и неполного квадрата разности и упрощается по формуле суммы кубов: $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$. Здесь $A = x$ и $B = y^2$. Второй множитель $(x^2 - xy^2 + y^4)$ соответствует $(A^2 - AB + B^2)$: $A^2 = x^2$, $AB = x \cdot y^2 = xy^2$, и $B^2 = (y^2)^2 = y^4$. Следовательно, результат равен $x^3 + (y^2)^3 = x^3 + y^6$.
Ответ: $x^3 + y^6$

г) Переставим члены во втором множителе, чтобы привести выражение к стандартному виду: $(p^3 + q^2)(p^6 - p^3q^2 + q^4)$. Используем формулу суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$, где $A = p^3$ и $B = q^2$. Второй множитель соответствует $(A^2 - AB + B^2)$: $A^2 = (p^3)^2 = p^6$, $AB = p^3 \cdot q^2 = p^3q^2$, и $B^2 = (q^2)^2 = q^4$. Таким образом, выражение равно $(p^3)^3 + (q^2)^3 = p^9 + q^6$.
Ответ: $p^9 + q^6$

д) Переставим множители и слагаемые для наглядности: $(a^2b + 2)(a^4b^2 - 2a^2b + 4)$. Применим формулу суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$ с $A = a^2b$ и $B = 2$. Проверим второй множитель: $A^2 = (a^2b)^2 = a^4b^2$, $AB = a^2b \cdot 2 = 2a^2b$, и $B^2 = 2^2 = 4$. Выражение упрощается до $(a^2b)^3 + 2^3 = a^6b^3 + 8$.
Ответ: $a^6b^3 + 8$

е) Переставим множители и слагаемые: $(3n + m)(9n^2 - 3nm + m^2)$. Это формула суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$, где $A = 3n$ и $B = m$. Проверим второй множитель: $A^2 = (3n)^2 = 9n^2$, $AB = 3n \cdot m = 3nm$, и $B^2 = m^2$. Следовательно, результат равен $(3n)^3 + m^3 = 27n^3 + m^3$.
Ответ: $27n^3 + m^3$

ж) Данное выражение является классическим примером формулы суммы кубов: $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$. Здесь $A = 3x$ и $B = y$. Второй множитель $(9x^2 - 3xy + y^2)$ является неполным квадратом разности $(3x)^2 - (3x)y + y^2$. Таким образом, выражение равно $(3x)^3 + y^3 = 27x^3 + y^3$.
Ответ: $27x^3 + y^3$

з) Используем формулу суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$. В этом случае $A = a^4$ и $B = 1$. Второй множитель $(a^8 - a^4 + 1)$ соответствует $(A^2-AB+B^2)$, так как $A^2 = (a^4)^2 = a^8$, $AB = a^4 \cdot 1 = a^4$, и $B^2 = 1^2 = 1$. Следовательно, выражение упрощается до $(a^4)^3 + 1^3 = a^{12} + 1$.
Ответ: $a^{12} + 1$

и) Переставим множители и слагаемые для соответствия формуле: $(2x^2y + 3a)(4x^4y^2 - 6x^2ya + 9a^2)$. Это формула суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$, где $A = 2x^2y$ и $B = 3a$. Проверим второй множитель: $A^2 = (2x^2y)^2 = 4x^4y^2$, $AB = (2x^2y)(3a) = 6x^2ya$, и $B^2 = (3a)^2 = 9a^2$. Таким образом, результат равен $(2x^2y)^3 + (3a)^3 = 8x^6y^3 + 27a^3$.
Ответ: $8x^6y^3 + 27a^3$

к) Переставим члены во втором множителе: $(5p^3 + 2q^2)(25p^6 - 10p^3q^2 + 4q^4)$. Применим формулу суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$ с $A = 5p^3$ и $B = 2q^2$. Проверим второй множитель: $A^2 = (5p^3)^2 = 25p^6$, $AB = (5p^3)(2q^2) = 10p^3q^2$, и $B^2 = (2q^2)^2 = 4q^4$. Следовательно, выражение равно $(5p^3)^3 + (2q^2)^3 = 125p^9 + 8q^6$.
Ответ: $125p^9 + 8q^6$