Номер 393, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.5. Сумма кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 393, страница 110.

Условие.

393. Укажите полные и неполные квадраты разности:

а) $a^2 - 5a + 25;$

б) $x^2 - 2x + 1;$

в) $9 - 3m + m^2;$

г) $49 - 14p + p^2;$

д) $4k^2 - 4k + 1;$

е) $4 - 4a + 4a^2;$

ж) $x^2 - 6x + 36;$

з) $9 - 6y + y^2;$

и) $\frac{1}{4}n^2 - n + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения этой задачи необходимо различать две похожие алгебраические конструкции: полный квадрат разности и неполный квадрат разности.

Полный квадрат разности двух выражений $A$ и $B$ — это трехчлен, который можно свернуть по формуле квадрата разности: $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$. Характерной чертой является наличие удвоенного произведения $2AB$ в качестве среднего члена.

Неполный квадрат разности двух выражений $A$ и $B$ — это трехчлен вида $A^2 - AB + B^2$. Он отличается от полного квадрата тем, что средний член является просто произведением $AB$, а не удвоенным произведением. Это выражение встречается, например, при разложении суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.

Проанализируем каждое из данных выражений.

а) $a^2 - 5a + 25$

В этом выражении первый член — это квадрат $a$ ($A=a$), а третий член — это квадрат $5$ ($B=5$).

Проверим средний член. Для полного квадрата разности он должен быть равен удвоенному произведению $2AB = 2 \cdot a \cdot 5 = 10a$. Для неполного квадрата — просто произведению $AB = a \cdot 5 = 5a$.

Так как средний член в выражении равен $5a$, оно соответствует формуле неполного квадрата разности $a^2 - a \cdot 5 + 5^2$.

Ответ: неполный квадрат разности.

б) $x^2 - 2x + 1$

Здесь первый член — это квадрат $x$ ($A=x$), а третий член — это квадрат $1$ ($B=1$).

Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$.

Средний член в выражении равен $2x$, что полностью соответствует формуле полного квадрата разности $x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x - 1)^2$.

Ответ: полный квадрат разности.

в) $9 - 3m + m^2$

Перепишем выражение в стандартном порядке: $m^2 - 3m + 9$. Здесь первый член — квадрат $m$ ($A=m$), третий — квадрат $3$ ($B=3$).

Проверим средний член. Для полного квадрата: $2AB = 2 \cdot m \cdot 3 = 6m$. Для неполного квадрата: $AB = m \cdot 3 = 3m$.

Средний член в выражении равен $3m$, следовательно, это неполный квадрат разности $m^2 - m \cdot 3 + 3^2$.

Ответ: неполный квадрат разности.

г) $49 - 14p + p^2$

Перепишем как $p^2 - 14p + 49$. Здесь $A=p$ и $B=7$.

Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot p \cdot 7 = 14p$.

Средний член в выражении равен $14p$, что соответствует формуле полного квадрата разности $p^2 - 2 \cdot p \cdot 7 + 7^2 = (p - 7)^2$.

Ответ: полный квадрат разности.

д) $4k^2 - 4k + 1$

Здесь первый член — это квадрат $2k$ ($A=2k$), а третий — квадрат $1$ ($B=1$).

Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot (2k) \cdot 1 = 4k$.

Средний член в выражении равен $4k$, что соответствует формуле полного квадрата разности $(2k)^2 - 2 \cdot (2k) \cdot 1 + 1^2 = (2k - 1)^2$.

Ответ: полный квадрат разности.

е) $4 - 4a + 4a^2$

Перепишем как $4a^2 - 4a + 4$. Здесь первый член — квадрат $2a$ ($A=2a$), а третий — квадрат $2$ ($B=2$).

Проверим средний член. Для полного квадрата: $2AB = 2 \cdot (2a) \cdot 2 = 8a$. Для неполного квадрата: $AB = (2a) \cdot 2 = 4a$.

Средний член в выражении равен $4a$, следовательно, это неполный квадрат разности $(2a)^2 - (2a) \cdot 2 + 2^2$.

Ответ: неполный квадрат разности.

ж) $x^2 - 6x + 36$

Здесь $A=x$ и $B=6$.

Проверим средний член. Для полного квадрата: $2AB = 2 \cdot x \cdot 6 = 12x$. Для неполного квадрата: $AB = x \cdot 6 = 6x$.

Средний член в выражении равен $6x$, значит, это неполный квадрат разности $x^2 - x \cdot 6 + 6^2$.

Ответ: неполный квадрат разности.

з) $9 - 6y + y^2$

Перепишем как $y^2 - 6y + 9$. Здесь $A=y$ и $B=3$.

Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot y \cdot 3 = 6y$.

Средний член в выражении равен $6y$, что соответствует формуле полного квадрата разности $y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y - 3)^2$.

Ответ: полный квадрат разности.

и) $\frac{1}{4}n^2 - n + 1$

Здесь первый член — это квадрат $\frac{1}{2}n$ ($A=\frac{1}{2}n$), а третий — квадрат $1$ ($B=1$).

Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot (\frac{1}{2}n) \cdot 1 = n$.

Средний член в выражении равен $n$, что соответствует формуле полного квадрата разности $(\frac{1}{2}n)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}n) \cdot 1 + 1^2 = (\frac{1}{2}n - 1)^2$.

Ответ: полный квадрат разности.