Страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

412. Доказываем. Докажите тождество:

а) $(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2) = a^6 - b^6$

б) $(a - 1)(a - 2)(a^2 + a + 1)(a^2 + 2a + 4) = a^6 - 9a^3 + 8.$

Для доказательства тождества $(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2) = a^6 - b^6$ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем множители для применения формул сокращенного умножения:

$[(a + b)(a^2 - ab + b^2)] \cdot [(a - b)(a^2 + ab + b^2)]$

Первая группа множителей $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ соответствует формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$ и равна $a^3 + b^3$.

Вторая группа множителей $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ соответствует формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ и равна $a^3 - b^3$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)$

Теперь применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$, где $x=a^3$ и $y=b^3$:

$(a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6 - b^6$

Левая часть тождества равна правой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

Для доказательства тождества $(a - 1)(a - 2)(a^2 + a + 1)(a^2 + 2a + 4) = a^6 - 9a^3 + 8$ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем множители, чтобы использовать формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$[(a - 1)(a^2 + a + 1)] \cdot [(a - 2)(a^2 + 2a + 4)]$

Для первой группы множителей, где $x=a$ и $y=1$, получаем $a^3 - 1^3 = a^3 - 1$.

Для второй группы множителей, где $x=a$ и $y=2$, получаем $a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.

Теперь перемножим полученные двучлены:

$(a^3 - 1)(a^3 - 8)$

Раскроем скобки:

$a^3 \cdot a^3 + a^3 \cdot (-8) - 1 \cdot a^3 - 1 \cdot (-8) = a^6 - 8a^3 - a^3 + 8$

Приведем подобные слагаемые:

$a^6 - 9a^3 + 8$

Полученное выражение совпадает с правой частью равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

413. Запишите и прочитайте формулу куба суммы.

Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Читается так: "Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения."

Формула куба суммы двух выражений, которые мы обозначим как a и b, записывается следующим образом:
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Прочитать эту формулу можно так:
«Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения».

Ответ: Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Она читается так: куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения.

414. Заполните пропуски, применив формулу куба суммы:

а) $(x+y)^3=...$

б) $m^3+3m^2n+3mn^2+n^3=...$

Чтобы заполнить пропуск, необходимо раскрыть скобки, применив формулу куба суммы двух выражений: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
В нашем случае, в выражении $(x+y)^3$, первое слагаемое $a=x$, а второе $b=y$.
Подставляем эти значения в формулу и получаем:
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Ответ: $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

В этом задании нужно выполнить обратное действие: представить многочлен в виде куба суммы. Мы используем ту же формулу, но в обратном порядке: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$.
Сравним данное выражение $m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3$ с левой частью формулы. Мы видим, что оно полностью ей соответствует, где $a=m$ и $b=n$:
- куб первого члена — $m^3$;
- утроенное произведение квадрата первого члена на второй — $3m^2n$;
- утроенное произведение первого члена на квадрат второго — $3mn^2$;
- куб второго члена — $n^3$.
Следовательно, данный многочлен можно свернуть в куб суммы $(m+n)$:
$m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3 = (m+n)^3$.
Ответ: $(m+n)^3$

415. Запишите:

a) сумму $a$ и $b$;

б) квадрат суммы $a$ и $b$;

в) куб суммы $a$ и $b$;

г) сумму квадратов $a$ и $b$;

д) сумму кубов $a$ и $b$;

е) удвоенное произведение $a$ и $b$;

ж) утроенное произведение $a$ и $b$;

з) утроенное произведение квадрата $a$ и $b$;

и) утроенное произведение $a$ и квадрата $b$.

а) Сумма чисел $a$ и $b$ — это результат их сложения.
Ответ: $a + b$

б) Сначала необходимо найти сумму чисел $a$ и $b$, что записывается как $(a + b)$, а затем возвести эту сумму в квадрат (во вторую степень).
Ответ: $(a + b)^2$

в) Сначала необходимо найти сумму чисел $a$ и $b$, то есть $(a + b)$, а затем возвести эту сумму в куб (в третью степень).
Ответ: $(a + b)^3$

г) Сначала необходимо найти квадраты каждого из чисел: квадрат $a$ — это $a^2$, а квадрат $b$ — это $b^2$. Затем нужно сложить полученные квадраты.
Ответ: $a^2 + b^2$

д) Сначала необходимо найти кубы каждого из чисел: куб $a$ — это $a^3$, а куб $b$ — это $b^3$. Затем нужно сложить полученные кубы.
Ответ: $a^3 + b^3$

е) Произведение чисел $a$ и $b$ — это $ab$. "Удвоенное" означает, что это произведение нужно умножить на 2.
Ответ: $2ab$

ж) Произведение чисел $a$ и $b$ — это $ab$. "Утроенное" означает, что это произведение нужно умножить на 3.
Ответ: $3ab$

з) Квадрат числа $a$ — это $a^2$. Произведение квадрата $a$ и числа $b$ записывается как $a^2b$. "Утроенное" означает, что это выражение нужно умножить на 3.
Ответ: $3a^2b$

и) Квадрат числа $b$ — это $b^2$. Произведение числа $a$ и квадрата $b$ записывается как $ab^2$. "Утроенное" означает, что это выражение нужно умножить на 3.
Ответ: $3ab^2$

Запишите выражение в виде многочлена (416–417):

416. а) $(x + y)^3$; б) $(x + 1)^3$; в) $(x + 2)^3$; г) $(3 + y)^3$.

Для решения данных задач необходимо использовать формулу сокращенного умножения для куба суммы:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

а) Для выражения $(x + y)^3$ применим формулу, где $a = x$ и $b = y$.

$(x + y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

Ответ: $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

б) Для выражения $(x + 1)^3$ применим формулу, где $a = x$ и $b = 1$.

$(x + 1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Ответ: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

в) Для выражения $(x + 2)^3$ применим формулу, где $a = x$ и $b = 2$.

$(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Ответ: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

г) Для выражения $(3 + y)^3$ применим формулу, где $a = 3$ и $b = y$.

$(3 + y)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot y + 3 \cdot 3 \cdot y^2 + y^3 = 27 + 3 \cdot 9 \cdot y + 9y^2 + y^3 = 27 + 27y + 9y^2 + y^3$

Запишем полученный многочлен в стандартном виде, расположив его члены по убыванию степеней переменной: $y^3 + 9y^2 + 27y + 27$.

Ответ: $y^3 + 9y^2 + 27y + 27$

417. а) $(a + b)^3;

б) $(a + 4)^3;

В) $(2a + 1)^3;

Г) $(2a + 3b)^3;

Д) $(x + 3z)^3;

е) $(2b + 3)^3.

Для решения всех пунктов используется формула куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

а) $(a + b)^3$

Данное выражение является классической формулой куба суммы, где $x=a$ и $y=b$.

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Ответ: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

б) $(a + 4)^3$

Применим формулу куба суммы, где $x=a$ и $y=4$.

Подставляем значения в формулу:

$(a + 4)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 4 + 3 \cdot a \cdot 4^2 + 4^3$.

Выполняем вычисления:

$a^3 + 12a^2 + 3 \cdot a \cdot 16 + 64 = a^3 + 12a^2 + 48a + 64$.

Ответ: $a^3 + 12a^2 + 48a + 64$.

в) $(2a + 1)^3$

Используем формулу куба суммы, где $x=2a$ и $y=1$.

Подставляем значения в формулу:

$(2a + 1)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2a) \cdot 1^2 + 1^3$.

Упрощаем выражение:

$8a^3 + 3 \cdot (4a^2) \cdot 1 + 6a \cdot 1 + 1 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1$.

Ответ: $8a^3 + 12a^2 + 6a + 1$.

г) $(2a + 3b)^3$

Применяем формулу куба суммы, где $x=2a$ и $y=3b$.

Подставляем значения:

$(2a + 3b)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot (3b) + 3 \cdot (2a) \cdot (3b)^2 + (3b)^3$.

Выполняем вычисления поэтапно:

$8a^3 + 3 \cdot (4a^2) \cdot (3b) + 6a \cdot (9b^2) + 27b^3 = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$.

Ответ: $8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$.

д) $(x + 3z)^3$

Используем формулу куба суммы. В данном случае первый член равен $x$, а второй $3z$.

Подставляем в формулу:

$(x + 3z)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (3z) + 3 \cdot x \cdot (3z)^2 + (3z)^3$.

Упрощаем полученное выражение:

$x^3 + 9x^2z + 3x \cdot (9z^2) + 27z^3 = x^3 + 9x^2z + 27xz^2 + 27z^3$.

Ответ: $x^3 + 9x^2z + 27xz^2 + 27z^3$.

е) $(2b + 3)^3$

Применим формулу куба суммы, где $x=2b$ и $y=3$.

Подставляем значения:

$(2b + 3)^3 = (2b)^3 + 3 \cdot (2b)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2b) \cdot 3^2 + 3^3$.

Выполняем вычисления:

$8b^3 + 3 \cdot (4b^2) \cdot 3 + 6b \cdot 9 + 27 = 8b^3 + 36b^2 + 54b + 27$.

Ответ: $8b^3 + 36b^2 + 54b + 27$.