Страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

448. Задача Пифагора. Докажите, что всякое нечётное натуральное число, кроме 1, есть разность квадратов двух последовательных натуральных чисел.

Для доказательства утверждения нам нужно показать, что для любого нечётного натурального числа $N > 1$ существуют два последовательных натуральных числа, скажем $n$ и $n+1$, такие, что $N = (n+1)^2 - n^2$.

Шаг 1: Представление нечётного числа.
Любое нечётное натуральное число $N$ можно записать в виде $N = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).По условию задачи, мы рассматриваем числа $N > 1$. Это значит, что $2k+1 > 1$, откуда $2k > 0$ и, следовательно, $k > 0$.Поскольку $k$ — целое число и $k > 0$, то $k$ является натуральным числом ($k \in \{1, 2, 3, \dots\}$).

Шаг 2: Анализ разности квадратов.
Рассмотрим разность квадратов двух последовательных натуральных чисел $n$ и $n+1$. Используем формулу сокращённого умножения для разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n)((n+1) + n) = 1 \cdot (2n+1) = 2n+1$.Таким образом, разность квадратов двух любых последовательных натуральных чисел всегда является нечётным числом вида $2n+1$.

Шаг 3: Сопоставление и нахождение искомых чисел.
Мы хотим доказать, что наше нечётное число $N$ можно представить в виде такой разности. Приравняем два выражения:$N = (n+1)^2 - n^2$Подставим известные нам формы для обеих частей уравнения:$2k+1 = 2n+1$Из этого равенства следует, что $2k = 2n$, а значит $k=n$.

Поскольку мы ранее установили, что для любого нечётного $N>1$ соответствующее ему $k = \frac{N-1}{2}$ является натуральным числом, мы можем всегда найти такое натуральное число $n$, которое равно этому $k$.Следовательно, для любого нечётного натурального числа $N > 1$ можно найти два последовательных натуральных числа:$n = k = \frac{N-1}{2}$и$n+1 = k+1 = \frac{N-1}{2} + 1 = \frac{N-1+2}{2} = \frac{N+1}{2}$.

Разность квадратов этих чисел всегда будет равна $N$.

Примеры:

• Пусть $N=3$. Тогда $n = \frac{3-1}{2}=1$. Искомые числа — 1 и 2. Проверка: $2^2 - 1^2 = 4-1=3$.
• Пусть $N=7$. Тогда $n = \frac{7-1}{2}=3$. Искомые числа — 3 и 4. Проверка: $4^2 - 3^2 = 16-9=7$.
• Пусть $N=21$. Тогда $n = \frac{21-1}{2}=10$. Искомые числа — 10 и 11. Проверка: $11^2 - 10^2 = 121-100=21$.

Почему исключается число 1?
Если мы возьмём $N=1$, то по нашей формуле $n = \frac{1-1}{2} = 0$. Число 0 не является натуральным числом (согласно стандартному определению натуральных чисел как множества $\{1, 2, 3, \dots\}$). Поэтому 1 нельзя представить как разность квадратов двух последовательных натуральных чисел.

Ответ: Утверждение доказано. Всякое нечётное натуральное число $N > 1$ представимо в виде $( \frac{N+1}{2} )^2 - ( \frac{N-1}{2} )^2$, где $\frac{N-1}{2}$ и $\frac{N+1}{2}$ являются последовательными натуральными числами.

449. Задача Диофанта.

Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2$;

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$.

Утверждение задачи заключается в доказательстве двух алгебраических тождеств. Докажем каждое из них по отдельности методом прямого преобразования выражений, раскрывая скобки в левой и правой частях равенств и сравнивая результаты.

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2$

Сначала преобразуем левую часть (ЛЧ) равенства, раскрыв скобки:

ЛЧ $= (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ). Используем формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

ПЧ $= (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (b^2c^2 - 2abcd + a^2d^2)$.

Сложив выражения в скобках и сократив противоположные члены $2abcd$ и $-2abcd$, получим:

ПЧ $= a^2c^2 + b^2d^2 + b^2c^2 + a^2d^2$.

Перегруппировав слагаемые, видим, что правая часть равна левой:

ПЧ $= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = $ ЛЧ.

Следовательно, первое тождество доказано.

Ответ: Тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2$ верно.

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$

Левая часть (ЛЧ) этого тождества такая же, как и в предыдущем случае:

ЛЧ $= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Преобразуем правую часть (ПЧ), используя те же формулы сокращенного умножения:

ПЧ $= (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2 = (a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2) + (b^2c^2 + 2abcd + a^2d^2)$.

После сложения и сокращения взаимно уничтожающихся членов $-2abcd$ и $2abcd$, получаем:

ПЧ $= a^2c^2 + b^2d^2 + b^2c^2 + a^2d^2$.

Сравнивая с левой частью, убеждаемся в их равенстве:

ПЧ $= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = $ ЛЧ.

Таким образом, второе тождество также доказано.

Ответ: Тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$ верно.

Мы доказали оба тождества. Они показывают, что произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, само может быть представлено как сумма двух квадратов двумя различными способами. Это свойство известно как тождество Брахмагупты-Фибоначчи.