Номер 376, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.4. Разность квадратов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 376, страница 108.

Условие.

376. Представьте выражение в виде многочлена двумя способами:

а) $(p + q)(p - q)$;

б) $(a - b)(a + b)$;

в) $(c + d)(d - c)$;

г) $(y - x)(x + y)$;

д) $(a - 3)(3 + a)$;

е) $(2 - b)(b + 2)$;

ж) $(m + 1)(m - 1)$;

з) $(7 - n)(7 + n)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.
$(p + q)(p - q) = p \cdot p + p \cdot (-q) + q \cdot p + q \cdot (-q) = p^2 - pq + qp - q^2$.
Так как $pq = qp$, приводим подобные слагаемые: $p^2 - pq + pq - q^2 = p^2 - q^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
Выражение является произведением суммы и разности двух выражений $p$ и $q$. Применим формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
$(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$.

Ответ: $p^2 - q^2$

б)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + (-b) \cdot a + (-b) \cdot b = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Ответ: $a^2 - b^2$

в)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(c + d)(d - c) = c \cdot d + c \cdot (-c) + d \cdot d + d \cdot (-c) = cd - c^2 + d^2 - dc$.
Приводим подобные слагаемые: $cd - c^2 + d^2 - cd = d^2 - c^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
От перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому $(c+d) = (d+c)$. Выражение принимает вид $(d+c)(d-c)$.
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=d$ и $b=c$.
$(d + c)(d - c) = d^2 - c^2$.

Ответ: $d^2 - c^2$

г)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(y - x)(x + y) = y \cdot x + y \cdot y + (-x) \cdot x + (-x) \cdot y = yx + y^2 - x^2 - xy = y^2 - x^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
В множителе $(x+y)$ поменяем слагаемые местами: $(x+y) = (y+x)$. Получим выражение $(y-x)(y+x)$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=y$ и $b=x$.
$(y - x)(y + x) = y^2 - x^2$.

Ответ: $y^2 - x^2$

д)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(a - 3)(3 + a) = a \cdot 3 + a \cdot a - 3 \cdot 3 - 3 \cdot a = 3a + a^2 - 9 - 3a = a^2 - 9$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
В множителе $(3+a)$ поменяем слагаемые местами: $(3+a) = (a+3)$. Получим выражение $(a-3)(a+3)$.
Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=a$ и $y=3$.
$(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.

Ответ: $a^2 - 9$

е)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(2 - b)(b + 2) = 2 \cdot b + 2 \cdot 2 - b \cdot b - b \cdot 2 = 2b + 4 - b^2 - 2b = 4 - b^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
В множителе $(b+2)$ поменяем слагаемые местами: $(b+2) = (2+b)$. Получим выражение $(2-b)(2+b)$.
Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=2$ и $y=b$.
$(2 - b)(2 + b) = 2^2 - b^2 = 4 - b^2$.

Ответ: $4 - b^2$

ж)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(m + 1)(m - 1) = m \cdot m + m \cdot (-1) + 1 \cdot m + 1 \cdot (-1) = m^2 - m + m - 1 = m^2 - 1$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=m$ и $b=1$.
$(m + 1)(m - 1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1$.

Ответ: $m^2 - 1$

з)

Способ 1: Умножение многочлена на многочлен
$(7 - n)(7 + n) = 7 \cdot 7 + 7 \cdot n - n \cdot 7 - n \cdot n = 49 + 7n - 7n - n^2 = 49 - n^2$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=7$ и $b=n$.
$(7 - n)(7 + n) = 7^2 - n^2 = 49 - n^2$.

Ответ: $49 - n^2$