Номер 372, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 372, страница 107.

Условие.

372. Докажите, что для любого числа $x$ верно неравенство:

a) $x^2 + 2x + 2 > 0;$

б) $x^2 + 4x + 5 > 0;$

в) $x^2 - 6x + 11 > 0;$

г) $x^2 - 8x + 17 > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы доказать неравенство $x^2+2x+2 > 0$, преобразуем его левую часть, выделив полный квадрат. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$x^2+2x+2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 2 = (x+1)^2 - 1 + 2 = (x+1)^2 + 1$.
Выражение $(x+1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x+1)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+1)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Таким образом, $(x+1)^2 + 1 \ge 1$, а так как $1 > 0$, то и $x^2+2x+2 > 0$ для любого числа $x$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $x^2+4x+5 > 0$, выделив полный квадрат в левой части.
$x^2+4x+5 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 5 = (x+2)^2 - 4 + 5 = (x+2)^2 + 1$.
Так как $(x+2)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то наименьшее значение выражения $(x+2)^2 + 1$ достигается при $x=-2$ и равно $0+1=1$.
Поскольку $(x+2)^2 + 1 \ge 1$ и $1 > 0$, то неравенство $x^2+4x+5 > 0$ верно для любого $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $x^2-6x+11 > 0$. Для этого выделим полный квадрат, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$x^2-6x+11 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$.
Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно: $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Значит, наименьшее значение выражения $(x-3)^2 + 2$ равно $0 + 2 = 2$.
Так как $(x-3)^2+2 \ge 2$ и $2 > 0$, то неравенство $x^2-6x+11 > 0$ справедливо для любого $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Докажем неравенство $x^2-8x+17 > 0$. Снова выделим полный квадрат в левой части.
$x^2-8x+17 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 17 = (x-4)^2 - 16 + 17 = (x-4)^2 + 1$.
Поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным, $(x-4)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x-4)^2+1$ равно $0+1=1$.
Так как $(x-4)^2+1 \ge 1$ и $1 > 0$, то неравенство $x^2-8x+17 > 0$ верно для любого числа $x$.
Ответ: Неравенство доказано.